■馮克永

空間幾何體的體積問題是高中數(shù)學的重要內容之一,在高考中占有一定的比重。體積是考查空間想象力的有效載體,化歸與轉化的思想方法是破解體積問題的有效方法。下面介紹體積學習中的三種意識,以供同學們參考。

一、轉化意識

當給出的幾何體比較復雜,有關的計算公式無法運用,或者幾何體不復雜,但條件中的已知元素彼此離散時,可采用“割”“補”的技巧(本質是等體積轉化法),進而轉化為易求解的幾何體的體積。

例1 求棱長為a的正四面體ABCD的體積。

解：如圖1,將正四面體ABCD補成一個正方體,則正方體的棱長為

圖1

故所求的體積V=V正方體-4V三棱錐=

二、交匯意識

由于體積計算融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,它因而成為中學數(shù)學知識的一個交匯點和聯(lián)系其他知識的橋梁,也為高考增添了一道亮麗的風景線。

例2 在棱長為1的正方體內,有兩球相外切,并且又分別與正方體相切。

(1)求兩球的半徑之和。

(2)當兩球的半徑分別是多少時,兩球的體積之和最小?

解：(1)解題時,可化立體圖形為平面圖形求解。如圖2所示,長方形ABCD為過球心的對角面,其中AB=1,AC=3。

圖2

設兩球的半徑分別為R,r,則R+

(2)設兩球的體積之和為V,則

三、應用意識

學以致用,用以促學。同學們只有具有了應用意識,才能為知識的應用找到生長點,也才有可能進一步探索其應用價值。

例3 已知正方體ABCD-A"B"C"D"的棱長為1,求直線DA"與AC之間的距離。

圖3

解：解題時直接尋找公垂線段較難,因此可轉化為求平行直線與平面之間的距離。

因為AC∥面A"C"D,所以直線DA"與AC之間的距離可轉化為點A到面A"C"D之間的距離,設其距離為h。由VA-A"C"D=VC"-A"AD,可得