季云峰, 黃 睿, 施之皓, 任 杰

(1. 上海體育學院 中國乒乓球?qū)W院，上海 200438；2. 上海理工大學 機器智能研究院，上海 200093)

乒乓球的致勝因素分為速度、力量、旋轉(zhuǎn)、落點、弧線。其中，旋轉(zhuǎn)是乒乓球比賽中最核心的致勝因素。乒乓球的旋轉(zhuǎn)主要源于乒乓球與球拍、球臺之間的摩擦。由于它們在碰撞過程中，并不是絕對光滑的接觸，而是有摩擦力的作用，故而導(dǎo)致乒乓球所受合力偏離了球的重心而發(fā)生旋轉(zhuǎn)。由于乒乓球體積小、質(zhì)量輕，離心的摩擦力會使其產(chǎn)生較大的旋轉(zhuǎn)速度。這種高速旋轉(zhuǎn)將產(chǎn)生一個與旋轉(zhuǎn)角速度矢量和線速度矢量組成的平面相垂直的馬格努斯力，該力量導(dǎo)致整個乒乓球的運動軌跡發(fā)生偏移。運動員在擊球過程中，需要對乒乓球的旋轉(zhuǎn)進行預(yù)判，進而預(yù)估乒乓球的落點。運動員對乒乓球落點的預(yù)判是基于經(jīng)驗的判斷，而對于乒乓球科研而言，需要設(shè)計算法找到乒乓球運動軌跡和旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系，利用數(shù)據(jù)對運動員進行更加直觀的指導(dǎo)。

目前，對乒乓球旋轉(zhuǎn)與軌跡之間聯(lián)系的研究主要集中在乒乓球機器人控制領(lǐng)域，若使乒乓球機器人準確地擊打乒乓球，就必須準確預(yù)測乒乓球的軌跡[1-5]。目前，在乒乓球無旋轉(zhuǎn)的情況下，可以較準確地預(yù)測其軌跡。Zhang等[6-7]假設(shè)平行于接觸平面的2個方向上的速度在碰撞前后呈線性關(guān)系，在碰撞平面的法線方向上，利用彈性恢復(fù)系數(shù)得到了乒乓球碰撞后的速度，然后根據(jù)受力情況采用近似的物理模型對乒乓球的運動軌跡進行預(yù)測。該方法的優(yōu)點是預(yù)測時間短，可以滿足實時性，但參數(shù)的不確定性導(dǎo)致不能精確建模，難以推廣到旋轉(zhuǎn)球的應(yīng)用中。

針對有旋轉(zhuǎn)的乒乓球軌跡的預(yù)測問題，任艷青等[8-9]較全面地分析了馬格努斯力對飛行軌跡的影響。他們設(shè)計了一種基于模糊BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡預(yù)測分類器，該分類器經(jīng)過離線訓練之后可以在一定程度上區(qū)分球是否旋轉(zhuǎn)，但是對球的旋轉(zhuǎn)分類很簡單，數(shù)據(jù)量也不夠，誤差較大。季云峰等[10-11]針對無特殊標記乒乓球的旋轉(zhuǎn)計算問題提出了一種新的計算方法，在假設(shè)乒乓球上的商標被準確檢測出來的情況下，利用5幀圖像中商標的運動軌跡計算乒乓球旋轉(zhuǎn)速度及方向。其核心思想主要是根據(jù)3D轉(zhuǎn)2D投影中軌跡會發(fā)生變化計算旋轉(zhuǎn)軸的角度，并在后續(xù)的優(yōu)化算法中將5幀圖像縮短為連續(xù)的4幀圖像。

張遠輝等[12]利用擴展卡爾曼濾波方法對旋轉(zhuǎn)球的角速度進行在線測量，但是該方法的計算量很大，誤差也較大，很難滿足測量要求的實時性。張康潔等[13]通過分析旋轉(zhuǎn)乒乓球飛行過程的運動學模型，采用無跡卡爾曼濾波思想構(gòu)建過程方程和觀測方程，利用視覺系統(tǒng)觀測到的三維空間位置信息對線速度和角速度進行估計。孫智宇[14]采用Extreme Learning Machines (ELM)算法對乒乓球的旋轉(zhuǎn)進行分類估計，將旋轉(zhuǎn)類型分為上旋、下旋和側(cè)旋3種，在乒乓球的旋轉(zhuǎn)運動軌跡中找到連續(xù)10幀圖像作為ELM算法的輸入，然后創(chuàng)建ELM模式識別網(wǎng)絡(luò)。該算法在分類準確度和計算時間上有了一定進步，但算法較為簡單，分類不夠細致，很難應(yīng)用于真實的對打環(huán)境。

目前的旋轉(zhuǎn)軌跡預(yù)測算法對旋轉(zhuǎn)的分類較為簡單，但在實際的對打過程中，僅對乒乓球的旋轉(zhuǎn)進行簡單分類不能滿足正常回球需要。針對這一問題，本文通過設(shè)計實驗獲得乒乓球精確的初始位置坐標、精確的初始速率及方向、精確的旋轉(zhuǎn)速率及方向，把這9個初始數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入信息，將精確的落點坐標作為輸出信息，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法探討輸入、輸出信息之間的相關(guān)性，為精確預(yù)測旋轉(zhuǎn)球的軌跡提供理論及實驗基礎(chǔ)，為后續(xù)應(yīng)用于乒乓球機器人擊打旋轉(zhuǎn)球提供參考。

1 實驗設(shè)計

1.1實驗系統(tǒng)本實驗設(shè)計的數(shù)據(jù)采集實驗系統(tǒng)包括2臺中速攝像機、2臺高速攝像機、1臺高精度發(fā)球機、2臺補光燈和1臺同步燈，并在乒乓球桌后面擺放一塊記分牌和一幅長3.5 m、寬2 m的幕布。整套系統(tǒng)的設(shè)計思路是控制發(fā)球機發(fā)不同類型的旋轉(zhuǎn)球，利用2臺中速攝像機拍攝球的整個運動軌跡，利用2臺高速攝像機拍攝乒乓球的旋轉(zhuǎn)軌跡，再綜合運動軌跡和旋轉(zhuǎn)軌跡的數(shù)據(jù)信息進行分析。其中：中速攝像機擺放在乒乓球桌的兩邊，速度為250幀/s，對乒乓球的整個運動軌跡進行拍攝；同步燈在發(fā)球機發(fā)球的瞬間亮起，以便于后續(xù)處理運動軌跡時對2臺中速攝像機進行同步。高速攝像機放在乒乓球桌兩邊，主要拍攝發(fā)球機剛發(fā)出球的旋轉(zhuǎn)軌跡，速度采用3 000幀/s，利用乒乓球上商標的旋轉(zhuǎn)來確定乒乓球的旋轉(zhuǎn)速度。不同的擺放位置是為了擴大視野，確保至少有1臺高速攝像機能清晰地拍攝到乒乓球的商標。拍攝過程中會遇到拍攝不到商標的情況，這種情況比較少見，將其舍棄，重新拍攝。2臺補光燈用來對乒乓球的整個運動軌跡進行補光，以方便后續(xù)數(shù)據(jù)的采集，擺放位置以不影響攝像機拍攝為主，覆蓋整個乒乓球桌即可。

1.2實驗數(shù)據(jù)的采集在本實驗中，主要是采用SIMI Motion軟件對運動軌跡進行分析處理。SIMI Motion軟件是一款基于三維錄像的、可分析各種形式運動及動作的軟件系統(tǒng)，目前被廣泛應(yīng)用于體育運動的技術(shù)分析及教學中。它主要是利用多臺攝像機同步拍攝物體的運動軌跡，利用多維立體架進行定標，手動標記關(guān)節(jié)點，可以自動獲得物體移動的二維及三維數(shù)據(jù)，從而進行坐標值、速度、加速度以及標記點之間角度等多種數(shù)據(jù)的計算。本實驗主要利用SIMI Motion軟件與2臺攝像機同步獲得乒乓球的運動軌跡數(shù)據(jù)。SIMI Motion軟件的多維立體架如圖1所示，通過拍攝2臺攝像機中的多維立體架，手動標記立體架上的白色圓點，即可完成定標。

圖1 SIMI Motion軟件多維立體架Figure 1 Multi-dimensional shelf of SIMI Motion software

事先對2臺中速攝像機進行定標，之后利用同步燈同步2個視頻的時間，再利用SIMI Motion軟件手動標記確定每幀圖片中乒乓球的空間位置，如圖2所示，從而獲得乒乓球整個運動軌跡的三維數(shù)據(jù)。

獲得完整的運動軌跡后計算乒乓球的旋轉(zhuǎn)速度，旋轉(zhuǎn)速度是一個矢量，有大小和方向。

高速攝像機可以拍攝發(fā)球機發(fā)射乒乓球初始階段的旋轉(zhuǎn)軌跡。圖3(a)為乒乓球剛出發(fā)球機口時的狀態(tài)，此時記為視頻中的第n1幀；圖3(b)為乒乓球旋轉(zhuǎn)1周時的狀態(tài)，此時記為視頻中第n2幀。高速攝像機的幀率為3 000幀/s，從而可以得到乒乓球旋轉(zhuǎn)速度為3 000/(n2-n1)(r/s)。

圖2 2臺攝像機拍攝運動軌跡Figure 2 The trajectory of ball movement with two cameras

圖3 高速攝像機拍攝乒乓球的旋轉(zhuǎn)軌跡Figure 3 The rotation of ball movement with high-speed cameras

旋轉(zhuǎn)方向是通過發(fā)球機控制的，發(fā)球機通過2個滑輪對乒乓球進行摩擦產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，通過控制上下滑輪的速率和方向控制旋轉(zhuǎn)速度(大小和方向)。本實驗將發(fā)球機能發(fā)出來的所有旋轉(zhuǎn)類型發(fā)球都進行了實驗，一共有9種旋轉(zhuǎn)類型的發(fā)球，依次為上旋、下旋、不轉(zhuǎn)、左旋、右旋、左側(cè)上旋、左側(cè)下旋、右側(cè)上旋、右側(cè)下旋。旋轉(zhuǎn)類型說明如表1所示。

表1 發(fā)球機發(fā)球的旋轉(zhuǎn)類型Table 1 Rotation type of tables tennis from the serve machine

由表1可見，由于發(fā)球機的局限性，只能發(fā)出這9種類型的球，滑輪與水平方向的夾角決定了球的旋轉(zhuǎn)方向，而由于發(fā)球機的出球口是水平的，故出球方向是水平的。通過前文所述，可以獲得球的速度，而出球口的初始位置已知，因此可以獲得精確的9個初始數(shù)據(jù)，分別為：初始位置x方向的坐標(x)，初始位置y方向的坐標(y)，初始位置z方向的坐標(z)，初始位置x方向的速度(vx)，初始位置y方向的速度(vy)，初始位置z方向的速度(vz)，初始位置x方向的旋轉(zhuǎn)速度(ωx)，初始位置y方向的旋轉(zhuǎn)速度(ωy)，初始位置z方向的旋轉(zhuǎn)速度(ωz)。坐標系原點設(shè)在發(fā)球機所在臺面的中點，橫坐標沿橫向臺面，縱坐標沿縱向臺面，縱坐標垂直于臺面。發(fā)球機共發(fā)了171個有效球，涵蓋9種類型的發(fā)球，并獲得了所有球的9個初始數(shù)據(jù)及落點數(shù)據(jù)。因落點都是在臺面上，故縱坐標值為0。

2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及結(jié)果分析

2.1人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡介人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Networks,ANNs)是一種模擬大腦內(nèi)部神經(jīng)機理進行信息處理的數(shù)學模型，由大量功能簡單的神經(jīng)元以某種拓撲結(jié)構(gòu)連接而成。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意如圖4所示。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意Figure 4 Schematic of neural network

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中各個神經(jīng)元從前一級得到輸入，輸出給下一級神經(jīng)元，通過非線性函數(shù)的多次復(fù)合進行信息處理，同時根據(jù)修正信號反向修正權(quán)值，降低誤差，最終實現(xiàn)信號從輸入層到輸出層的變換。

2.2確定輸入輸出神經(jīng)元本實驗使用MATLAB模式識別函數(shù)對不同速度、旋轉(zhuǎn)類型的乒乓球軌跡落點坐標進行預(yù)測，輸入層神經(jīng)元節(jié)點數(shù)維數(shù)m=9，為前文所述的9個初始數(shù)據(jù)，記為

乒乓球的旋轉(zhuǎn)類型共有9種。對于每一種旋轉(zhuǎn)類型，設(shè)計不同的軌跡發(fā)球20種，共計180種。在實驗過程中，由于發(fā)球機的局限性以及攝像機拍攝等原因會造成一些實驗數(shù)據(jù)的缺失，最終導(dǎo)致獲得的有效數(shù)據(jù)共171組，基本被9種旋轉(zhuǎn)類型數(shù)據(jù)均分。在171組有效數(shù)據(jù)中，隨機選取70%(即119個數(shù)據(jù))作為訓練樣本，隨機選取15%(即26個數(shù)據(jù))作為修正樣本，剩余的15%(即26個數(shù)據(jù))作為測試樣本，驗證擬合的關(guān)聯(lián)度。

確定輸入輸出神經(jīng)元后，接下來要確定隱藏層的節(jié)點數(shù)，參照經(jīng)驗公式

h=0.43mn+0.12n2+2.54m+0.77n+0.35+0.51

來計算節(jié)點數(shù),代入m和n的值，并進行四舍五入即可計算出隱藏層節(jié)點數(shù)為6。

2.3神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合算法選擇MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的擬合算法，依次對Levenberg-Marquardt、Bayesian Regularization以及Scaled Conjugate Gradient算法進行實驗。實驗結(jié)果表明，Levenberg-Marquardt算法的擬合效果最好，故本文選擇Levenberg-Marquardt算法[15-18]，擬合步驟如下：

(1) 選取初始權(quán)值W。

(2) 輸入初始訓練樣本(M1,M2,…,Mq)，其中，q=119,共119組訓練數(shù)據(jù)。

(5) 計算所有樣本實際輸出與期望輸出的誤差之和，e=∑[(t-l)2/2]。其中，t為期望輸出。

(7) 返回步驟(2)，直至滿足以下條件之一跳出：誤差達到要求；訓練步數(shù)超過定值；μ值超過給定的最大值。

本文的擬合算法選用Levenberg-Marquardt算法是因為其擬合效果較好，抗噪能力強，擬合時間短，比較適合于本實驗，接下來對實驗流程進行描述。

2.4實驗步驟本文使用MATLAB中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計，具體的實驗步驟如下：

(1) 采集數(shù)據(jù)，將輸入、輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫。

(3) 建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)置輸入節(jié)點、輸出節(jié)點、隱含層節(jié)點及傳輸函數(shù)初始結(jié)構(gòu)。

(4) 將訓練次數(shù)、訓練目標、誤差等參數(shù)設(shè)置好，開始進行訓練，并加入修正數(shù)據(jù)進行權(quán)值修正。

(5) 訓練流程如圖5所示，訓練結(jié)束后輸入測試數(shù)據(jù)進行測試。

2.5實驗結(jié)果根據(jù)上述步驟利用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進行訓練，訓練結(jié)果如圖6所示?？梢姡寒斢柧毚螖?shù)為14次時出現(xiàn)最小的均方誤差，為0.057 159；當訓練次數(shù)為14次時，豎虛線與3條實線相交，3條實線從上向下依次為驗證數(shù)據(jù)、測試數(shù)據(jù)和訓練數(shù)據(jù)的均方誤差曲線。

圖7所示為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練狀態(tài)。圖7(a)表示訓練梯度的變化，可以看出，梯度值隨著訓練次數(shù)的增加總體呈下降的趨勢，當訓練次數(shù)為20次時，梯度值為0.001 598 8。圖7(b)表示Mu值的變化趨勢，本文的擬合算法選擇的是Levenberg Marquardt算法，Mu值是該算法中的一個參數(shù)，其隨著誤差變大而增加，直到誤差不再增加為止。當訓練次數(shù)為20時，Mu值為0.001，并保持穩(wěn)定。圖7(c)表示訓練過程中的有效驗證次數(shù)，可以看出，當訓練次數(shù)為20時，有效驗證次數(shù)為6次。

圖5 訓練流程Figure 5 Training flowchart

圖6 均方誤差曲線Figure 6 Mean square error curves

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練狀態(tài)Figure 7 Training state of network

圖8所示為擬合結(jié)果。圖中：虛線代表預(yù)期結(jié)果，R值代表的是預(yù)期結(jié)果和擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)，并且R∈[0,1]。一般而言，R值越接近1，說明擬合結(jié)果與預(yù)期結(jié)果越接近。在本實驗中，訓練及測試結(jié)果中的R值分別在9.5和9.3以上，這說明初始速度、旋轉(zhuǎn)類型及初始位置坐標與球落點坐標之間存在很大的相關(guān)性，本文選擇的方法也較為適當。

圖8 擬合結(jié)果Figure 8 Fitted results

3 結(jié)論

本文的創(chuàng)新點體現(xiàn)在以下幾點：①設(shè)計全新實驗獲得精確的速度、旋轉(zhuǎn)類型及位置坐標信息；②第1次利用精確的速度、旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)預(yù)測乒乓球的落點信息，之前的研究都是對乒乓球的旋轉(zhuǎn)進行模糊分類預(yù)測乒乓球的運動軌跡，但分類太粗糙，對旋轉(zhuǎn)球的真實軌跡預(yù)測不理想；③選用合適的擬合算法，擬合效果良好，便于后續(xù)研究。作為第1次探討精確速度、旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)對落點影響的實驗，本文同樣存在一些問題和不足：①數(shù)據(jù)較為單一，發(fā)球機集中在中路發(fā)球，軌跡較為類似；②旋轉(zhuǎn)方向類型受限，旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)不夠全面；③發(fā)球機發(fā)球旋轉(zhuǎn)速度最高為90 r/s，而運動員最高可擊打出的旋轉(zhuǎn)速度為170 r/s。

受設(shè)備及環(huán)境影響，數(shù)據(jù)量在短時間內(nèi)無法擴充。本文的主要目的是證明乒乓球的旋轉(zhuǎn)與運動軌跡之間的相關(guān)性很大，這可為后續(xù)利用乒乓球軌跡反推旋轉(zhuǎn)作為理論依據(jù)。乒乓球旋轉(zhuǎn)是最重要的制勝因素，研究乒乓球的特征必須將旋轉(zhuǎn)加入，筆者希望設(shè)計實驗驗證乒乓球旋轉(zhuǎn)直接影響乒乓球的運動軌跡，故通過其相關(guān)性來證明。最終Levenberg-Marquardt擬合相關(guān)性達到90%以上，雖然受到數(shù)據(jù)樣本量的困擾，并未達到最理想的效果，但是在一定程度上已經(jīng)可以證明乒乓球旋轉(zhuǎn)與運動軌跡之間的相關(guān)性很大。同時，針對以上不足之處，在后續(xù)研究中擬對運動員擊打球進行測試，同時設(shè)計旋轉(zhuǎn)計算公式，結(jié)合圖像處理方面的知識完成旋轉(zhuǎn)測速的自動化，以滿足更多的實驗設(shè)計。希望在后續(xù)工作中可以完善乒乓球軌跡預(yù)測算法，提高預(yù)測精度，縮短預(yù)測時間，最終能應(yīng)用于乒乓球機器人，為其擊打旋轉(zhuǎn)乒乓球奠定基礎(chǔ)。