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        ?

        “美麗的”誤會

        2018-12-13 05:20:14
        新教育時代電子雜志(教師版) 2018年38期
        關(guān)鍵詞:石河子證法十字

        (石河子第一中學(xué) 新疆石河子 832000)

        我就打開幾何畫板和學(xué)生一起做探索,讓點(diǎn)E在弧CD上運(yùn)動,同時度量四邊形AMNB的面積,發(fā)現(xiàn)恒成立,隨后我給出了下面的證明:

        在我奮筆疾書時,學(xué)生興奮的用鼠標(biāo)拖動點(diǎn)E,意外發(fā)現(xiàn)不論點(diǎn)E在哪個象限,S總為定值,于是我就和學(xué)生對點(diǎn)E在第二、第三象限的情況進(jìn)行探索(此時四邊形AMNB均為凹四邊形,如圖2,圖3),發(fā)現(xiàn)這兩種情況同樣符合關(guān)系式這樣,之前的證法照樣能用,正當(dāng)我準(zhǔn)備驗(yàn)證一下第一象限的情況時,上課的預(yù)備鈴響了,我就簡單的說了句:”第一象限時同樣可證?!辈莶萁Y(jié)束了講解。

        兩節(jié)課結(jié)束后,意猶未盡的我又打開剛才的幾何畫板文件,拖動E到第一象限時發(fā)現(xiàn)四邊形形狀很奇特,不妨稱之為“十字四邊形”,此時四邊形的面積好像不是我度量了發(fā)現(xiàn)這說明我剛才給學(xué)生講錯了,但為什么幾何畫板文件顯示為常數(shù)呢?我馬上在這個圖中探索了的幾何意義,

        這樣就解決了第一個困惑,但是另一個問題又來了:“十字四邊形”的面積這樣算合理嗎?有沒有一般情況下的四邊形面積公式?

        我百度了好一會兒,居然找不到以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的任意四邊形面積公式,只好自行探究:

        如圖5:

        如圖6:

        考慮到:凸四邊形的兩點(diǎn)若要具有對稱輪換性,須滿足:兩個點(diǎn)的下標(biāo)互換后不影響任何一邊的圖形位置,故只有對角線上兩點(diǎn)具有對稱輪換性,但此時上式中S四邊形ABCD取相反數(shù),故面積須加絕對值,

        這應(yīng)該就是幾何畫板軟件默認(rèn)的任意四邊形面積公式。

        3.下面檢驗(yàn)凹四邊形和“十字四邊形”:

        如圖8中的凹四邊形:引用圖5和圖6的公式

        如圖9中的“十字四邊形”:引用圖5和圖6的公式

        圖8中的SΔABD和圖9中的SΔABD同號,圖8中的SΔBCD和圖9中的SΔBCD異號,

        套用之前的四邊形面積公式此時將會得出:

        原來這才是之前出錯的根源。而且我們順帶著得到一個結(jié)論:之前的面積公式適用于一般的凸四邊形和凹四邊形,但對“十字四邊形”不適用。還有一個小小的遺憾,暫時沒找到這個問題的純平面幾何證法。

        最后,我要感謝來問題的學(xué)生,給了我一個這么好的研究素材;同時,我也慶幸:對于“十字四邊形”多看了一會兒,才有了后續(xù)的這些發(fā)現(xiàn)。

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