（廣東省深圳市龍崗區(qū)橫崗高級(jí)中學(xué) 廣東深圳 518100）

圓的方程及性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中的核心教學(xué)內(nèi)容。它經(jīng)常與其他知識(shí)巧妙地結(jié)合在一起，因而，學(xué)生不容易掌握。談到了圓在距離問(wèn)題、方程根問(wèn)題、不等式問(wèn)題、函數(shù)最值中的應(yīng)用。本文將從以下方面談?wù)剤A在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、與平面向量的聯(lián)系

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（－1，0），B（0，），C（3，0），動(dòng)點(diǎn)D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________。

分析:本題學(xué)生的常規(guī)思路是得到|＋＋|的表達(dá)式后消元，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問(wèn)題，這樣運(yùn)算量頗大。而用本文的方法，可獲簡(jiǎn)解。

解：設(shè)D（x，y），由||＝1，得（x－3）2＋y2＝1，

向量＋＋＝（x－1，y＋），

故|＋＋|＝的最大值為圓（x－3）2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)（1，－）距離的最大值，其最大值為圓（x－3）2＋y2＝1的圓心（3，0）到點(diǎn)（1，－）的距離加上圓的半徑，即＋1＝1＋。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的最值問(wèn)題通常用代數(shù)辦法解決，但如果函數(shù)的表達(dá)式與圓的方程類(lèi)似時(shí)，則數(shù)形結(jié)合的方法會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單。

二、與線性規(guī)劃問(wèn)題的聯(lián)系

解法2：由約束條件畫(huà)出可行域，如下圖。

三、與復(fù)數(shù)的聯(lián)系

例3 若復(fù)數(shù)z滿足的最大值和最小值。

分析：本題用代數(shù)方法計(jì)算，運(yùn)算量很大?？煽紤]用數(shù)形結(jié)合的方法，而的軌跡是一個(gè)圓形區(qū)域。

設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓形區(qū)域，如圖，

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，動(dòng)點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離最大值為2+r=2+1=3，最小值為2-1=1，

點(diǎn)評(píng)：若復(fù)數(shù)z滿足則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓。通常涉及復(fù)數(shù)的模問(wèn)題，可與圓聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合的方法。

四、與定積分求值的聯(lián)系

解：由定積分的幾何意義知，所求定積分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x軸圍成的圖象的面積，即圓（x－1）2＋y2＝1的面積的一半，∴。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)f(x)的原函數(shù)不容易求出時(shí)，可考慮定積分的幾何意義。