田康康,王利,張?jiān)撇?/p>

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

在凝聚態(tài)物理系統(tǒng)中,無(wú)序可以導(dǎo)致粒子的波函數(shù)出現(xiàn)局域化。自1958年Anderson提出著名的Anderson局域化[1]以來(lái),無(wú)序系統(tǒng)就成為理論與實(shí)驗(yàn)科學(xué)研究前沿的重要的焦點(diǎn)之一。對(duì)無(wú)序的物理效應(yīng)展開(kāi)細(xì)致的研究有助于揭示自然界普遍存在的輸運(yùn)與傳導(dǎo)現(xiàn)象背后的內(nèi)在機(jī)制。無(wú)序在不同物理系統(tǒng)中導(dǎo)致的局域化,陸續(xù)在實(shí)驗(yàn)上得到了印證,比如,觀測(cè)到了電磁波的局域化[2-3],聲波的局域化[4]等。

近年來(lái),超冷原子系統(tǒng)已經(jīng)成為模擬研究傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理系統(tǒng)的重要平臺(tái)[5],而且相較于傳統(tǒng)的固體系統(tǒng),它具有高度的可控性和多樣性,具有非常多的可調(diào)節(jié)參數(shù)。這樣的性質(zhì)無(wú)疑是開(kāi)展相關(guān)研究的重要優(yōu)勢(shì)。因而,無(wú)序問(wèn)題也不例外,許多與之相關(guān)的研究工作開(kāi)始基于超冷原子系統(tǒng)展開(kāi)。在光晶格中實(shí)現(xiàn)無(wú)序的手段有很多種,比如可以通過(guò)在主晶格上疊加非公度次晶格實(shí)現(xiàn),也可以通過(guò)在主晶格上照射各種光斑圖案實(shí)現(xiàn),還可以在光晶格中隨機(jī)撒入另一種重原子實(shí)現(xiàn),等等。沿著這樣的研究路線,人們觀測(cè)到了超冷原子物質(zhì)波中的局域化[6-7]等有趣的物理現(xiàn)象。

兩套一維的光晶格,如果彼此之間不可公度,疊加到一起可以形成一個(gè)非公度光晶格[7]。這樣的系統(tǒng)是一種準(zhǔn)無(wú)序的系統(tǒng),可以用來(lái)模擬真實(shí)的無(wú)序問(wèn)題。它的物理性質(zhì)可以用傳統(tǒng)的Aubry-André模型[8]來(lái)描述,即每個(gè)格點(diǎn)上具有不同的勢(shì)。在這樣的晶格系統(tǒng)中如果載入超冷的硬核玻色子氣體[9],隨著無(wú)序強(qiáng)度的增加,可以發(fā)生有趣的超流到玻色玻璃相[10-11]的量子相變。Aubry-André模型如今已經(jīng)成為研究局域化現(xiàn)象與拓?fù)鋺B(tài)的重要工具之一[12-13]。隨之也出現(xiàn)了很多Aubry-André模型的變體,其中一個(gè)重要的變形是非對(duì)角Aubry-André模型。在這樣的模型中可以看到傳統(tǒng)Aubry-André模型中看不到的Majorana零能模[14-15]。本文主要研究了非對(duì)角Aubry-André模型描述的一維光晶格中超冷硬核玻色氣體的量子相變。隨著非對(duì)角無(wú)序的增強(qiáng),系統(tǒng)由超流態(tài)轉(zhuǎn)變到了絕緣的玻璃相。我們計(jì)算了超流因子來(lái)刻畫和表征這一量子相變。此外還計(jì)算了單粒子約化密度矩陣、自然軌道及其占據(jù)等物理量來(lái)細(xì)致刻畫這兩個(gè)有趣的量子相的性質(zhì)。非對(duì)角無(wú)序展現(xiàn)出了許多不同于對(duì)角無(wú)序的性質(zhì)。

1 理論模型及研究方法

一維光晶格中的超冷玻色原子氣體,在單帶緊束縛近似下,可以用Bose-Hubbard模型[5]很好地描述,

(1)

(2)

其中,

Ji=t[1+λodcos(2παi+φ)],

(3)

上式中,α是一個(gè)無(wú)理數(shù),它使得硬核玻色原子在格點(diǎn)間的躍遷具有類似無(wú)序系統(tǒng)的性質(zhì)。(2)式即硬核玻色氣體的非對(duì)角Aubry-André模型。φ是一個(gè)任意的相位,不失一般性,我們?cè)谟?jì)算中取φ=0.λod是非對(duì)角無(wú)序的強(qiáng)度。

下面介紹我們的研究方法[16]。利用Jordan-Wigner變換,硬核玻色子體系可以映射到無(wú)自旋的費(fèi)米子體系[17]。其中,Jordan-Wigner變換形式如下:

(4)

變換后,與(2)式對(duì)應(yīng)的N個(gè)無(wú)自旋的費(fèi)米子的哈密頓量為:

(5)

(6)

上式中,L為光晶格的格點(diǎn)數(shù);P是由哈密頓量(5)的單粒子本征態(tài)組成的矩陣,每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)單粒子態(tài)且從左到右對(duì)應(yīng)的本征能依次增大,

(7)

2 超流到玻色玻璃相的量子相變

(8)

其中Eg是系統(tǒng)基態(tài)能量。處于一維非對(duì)角無(wú)序光晶格的硬核玻色氣體的超流因子的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1,我們計(jì)算了三種不同的晶格尺寸。這里我們計(jì)算奇數(shù)個(gè)粒子且周期性邊界條件的情形。從圖中我們可以看出當(dāng)非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度λod比較小時(shí),超流因子不為零,體系處于超流態(tài),隨著λod的增加,非對(duì)角無(wú)序增強(qiáng),使得硬核玻色子很難在格點(diǎn)上躍遷,超流逐漸變小,系統(tǒng)慢慢趨于局域化。當(dāng)λod>1時(shí),超流因子趨近于零,可知硬核玻色體系不再處于超流相。由此可以看出,非對(duì)角無(wú)序可以使硬核玻色氣體更快地進(jìn)入非超流相,對(duì)角無(wú)序的情況下,無(wú)序的強(qiáng)度則要達(dá)到躍遷強(qiáng)度的2倍才能破壞掉系統(tǒng)的超流態(tài)[11]。

Inset: enlargement of parameter regime around the critical point.Fig.1 (Color online)Superfluid fraction versus λod

已有的研究工作告訴我們,超流相的單粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)是隨距離冪函數(shù)衰減的,而玻色玻璃相是指數(shù)衰減的。為了分析λod>1時(shí)的非超流相的性質(zhì)。我們來(lái)計(jì)算非對(duì)角無(wú)序光晶格上硬核玻色氣體的單粒子密度矩陣,也即單粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)。

硬核玻色子的格林函數(shù)為:

(9)

(10)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo),我們得到,

(11)

Gij=〈ψA|ψB〉=det[(PA)?PB],

(12)

則單粒子密度矩陣可以表示為:

(13)

由于存在非對(duì)角無(wú)序,單粒子密度矩陣與距離的函數(shù)曲線不再是光滑的,而是存在許多毛刺。為了便于看到清晰的物理性質(zhì),我們按如下方式定義平均單粒子密度矩陣,

(14)

在圖2中,我們給出了平均后的單粒子密度矩陣的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)λod<1時(shí),平均的單粒子密度矩陣的衰減符合冪函數(shù)行為,在圖2中我們采用的是對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)坐標(biāo)系,所以數(shù)據(jù)分布近于直線。λod=0.5時(shí),通過(guò)數(shù)值擬合得到的冪指數(shù)為-1/2。當(dāng)λod繼續(xù)增加時(shí),只要λod<1,平均的單粒子密度矩陣就一直是冪函數(shù)行為衰減,只是冪指數(shù)會(huì)小于-1/2,衰減速度變快。但是當(dāng)λod>1時(shí),平均的單粒子密度矩陣的行為開(kāi)始變得非常不同,其衰減速度急劇變快。將坐標(biāo)系換到線性-對(duì)數(shù)坐標(biāo)系,可以更清晰看出其物理行為,見(jiàn)圖2內(nèi)插圖,我們給出了λod=1.3時(shí)的計(jì)算結(jié)果,并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。在線性-對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中可作線性描述,所以在λod>1區(qū)間,平均的單粒子密度矩陣衰減行為符合指數(shù)函數(shù)行為,這是玻色玻璃相的特性。

Fig.2 (Color online) Log-log plots of the mean one-particle density matrices for different λod of the systems with 201 bosons on 1 000 lattice sites and The straight (solid) red line shows a power-law fit 5×i-0.5) for the mean one-particle density matrix with λod=0.5. Inset: Log-linear plot of the mean one particle density matrix for λod=1.3; the straight (solid) black line shows an exponential-law fit for the mean one particle density matrix. 系統(tǒng)中有201個(gè)玻色子,1 000個(gè)格點(diǎn)。圖中紅色實(shí)線表示的是對(duì)λod=0.5時(shí)的單粒子密度矩陣的擬合,擬合方程為 插圖中粉色線表示的是λ=1.3時(shí),單粒子密度矩陣的對(duì)數(shù)-線性坐標(biāo)圖, 黑色實(shí)線是對(duì)它的擬合,擬合方程為:圖2 不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度下的平均的約化單粒子密度矩陣的對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

現(xiàn)在繼續(xù)分析非對(duì)角無(wú)序光晶格中硬核玻色氣體單粒子密度矩陣的性質(zhì)。單粒子密度矩陣的本征態(tài)φη稱為自然軌道,可以看成是有效的單粒子態(tài),它能反映粒子在晶格上分布的物理性質(zhì)。單粒子矩陣的本征值oη則稱為自然軌道的占據(jù)數(shù),可以等效地看成是單粒子態(tài)的占據(jù)數(shù)。它們滿足如下關(guān)系:

(15)

圖3中,我們給出了在不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度下,硬核玻色氣體自然軌道的占據(jù)情況。當(dāng)λod<1時(shí),我們可以看到粒子在自然軌道上的占據(jù)具有明顯的峰值。在最低的自然軌道上占據(jù)數(shù)出現(xiàn)峰值,這是硬核玻色氣體處于玻色愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)相的標(biāo)志。隨著非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度λod變大,最低的自然軌道的占據(jù)會(huì)出現(xiàn)緩慢的減少,這是無(wú)序的效應(yīng)。而當(dāng)λod>1時(shí),粒子在最低的自然軌道上的占據(jù)會(huì)明顯減少,不再是對(duì)比明顯的峰。此外,從圖3中,還可以看到一個(gè)明顯的特征,當(dāng)λod<1時(shí),自然軌道的分布函數(shù)是一個(gè)光滑的分布函數(shù),而λod>1之后,自然軌道的占據(jù)則出現(xiàn)許多明顯的躍變。

Fig.3 Occupations of the natural orbitals for system with 1 000 lattice sites and 201 particles(a) λod=0.5, (b) λod=0.7, (c) λod=0.9, (d) λod=1.3. For all of them, we have (a) λod=0.5, (b) λod=0.7, (c) λod=0.9, (d) λod=1.3. 這里晶格有1 000個(gè)格點(diǎn),201個(gè)玻色子,而且取圖3 在不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度下,硬核玻色氣體自然軌道的占據(jù)情況

我們?cè)賮?lái)看一下在不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度下,系統(tǒng)的有效單粒子態(tài)即自然軌道的性質(zhì),考察一下非對(duì)角無(wú)序的物理效應(yīng)。圖4畫出了硬核玻色氣體最低的兩個(gè)自然軌道的輪廓,每一行對(duì)應(yīng)不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度。當(dāng)λod=0時(shí),晶格是嚴(yán)格周期性的,自然軌道是平面波,是標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)展態(tài)。當(dāng)非對(duì)角無(wú)序逐漸增強(qiáng)時(shí),系統(tǒng)的自然軌道仍然是擴(kuò)展的,但是與原來(lái)的波函數(shù)輪廓相比,會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多雜亂的尖刺,這是晶格中存在無(wú)序的物理效應(yīng),但此時(shí)無(wú)序強(qiáng)度仍無(wú)法破壞周期晶格的效應(yīng),系統(tǒng)的波函數(shù)仍然是擴(kuò)展的,見(jiàn)圖4中第二行λod=0.8.但是當(dāng)λod>1時(shí),周期晶格的效應(yīng)消失,波函數(shù)的輪廓變得雜亂無(wú)章,而且粒子的分布會(huì)出現(xiàn)明顯的局域化,見(jiàn)圖4第三行λod=1.3.

(a, b)λod=0, (c, d)λod=0.8, (e, f)λod=1.3. And we have L=1 000,N=201.Fig.4 (color online) Two lowest natural orbitals for off-diagonal disorder of different strengths.(a, b)λod=0, (c, d)λod=0.8, (e, f)λod=1.3。其中,L=1 000,N=201圖4 不同的非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度下,硬核玻色氣體最低的兩個(gè)自然軌道的形狀

3 結(jié)論

本文研究了處于非對(duì)角無(wú)序光晶格中具有強(qiáng)排斥相互作用的玻色原子氣體的基態(tài)性質(zhì)。在硬核極限下,利用嚴(yán)格的玻色費(fèi)米映射,我們給出了系統(tǒng)嚴(yán)格的基態(tài)波函數(shù)。在此基礎(chǔ)上利用數(shù)值計(jì)算方法,我們嚴(yán)格計(jì)算了系統(tǒng)的超流因子,發(fā)現(xiàn)當(dāng)非對(duì)角無(wú)序強(qiáng)度λod>1超流因子會(huì)消失,表明系統(tǒng)進(jìn)入了非超流相。此外,我們還嚴(yán)格計(jì)算了單粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)、系統(tǒng)的有效單粒子態(tài)及其占據(jù)。所有的計(jì)算結(jié)果表明,處于非對(duì)角無(wú)序光晶格中的具有強(qiáng)排斥相互作用的玻色原子氣體在無(wú)序的驅(qū)動(dòng)下,發(fā)生了從超流到玻色玻璃相的基態(tài)量子相變。