遲 壯，王 偉

（中國民航大學a.乘務學院；b.航空工程學院，天津 300300）

行星減速器作為應用廣泛的傳動系統(tǒng)，以其高載荷、高可靠性和大傳動比等優(yōu)點應用于車輛、機器人等設備中[1]。但由于行星齒輪減速器結構復雜、裝配緊湊，通過實驗驗證理論模型，需要測量的參量較多，且傳感器不易安裝，辨識過程也十分繁瑣[2]。因此，基于技術上比較成熟的有限元分析方法，利用參數化建模完成傳動系統(tǒng)的搭建，并通過對模型接觸力的定義來模擬嚙合過程，準確地模擬分析齒輪系統(tǒng)的接觸、嚙合等各種動力學行為，為理論模型的驗證、優(yōu)化提供依據。

1 行星齒輪減速器有限元建模

齒輪系統(tǒng)的動靜力學仿真通常采用Pro/E、UG等三維機械建模軟件，再通過中間格式導入有限元前處理軟件完成[3]。這種方式對于建立單一齒輪系統(tǒng)模型簡單高效，但在需要對不同參數的齒輪進行分析的設計優(yōu)化中，則需要反復重復這一過程，效率會顯著降低，且通用圖形格式導入的模型會有細節(jié)上的失真，影響分析的準確性[4]。采用APDL參數化語言建立行星齒輪系統(tǒng)的有限元模型，可很好地克服上述缺點，建模結果準確，且可方便地完成參數化過程，以便對不同的齒輪模型進行分析。

1.1 參數化前處理建模

機械關節(jié)中使用的行星齒輪結構較為復雜，一般采用同軸輸入輸出的2K-H型行星齒輪。要準確地描述其傳動動力學行為，需建立所有部件的準確幾何模型并設置合理的接觸、耦合關系。齒輪系統(tǒng)的動力傳遞由輪齒的嚙合來完成，因此，精確描述輪齒形狀并合理劃分網格是對齒輪系統(tǒng)準確建模的關鍵。

首先，設置單元和材料。選用的單元必須是LSDYNA顯式動力學分析中允許的單元，為了消除沙漏帶來的影響，齒輪和齒圈實體部分采用全積分SOLID164實體單元，設置MESH200平面單元輔助建模。在齒輪內孔表面覆蓋SHELL163單元并定義為剛性材料，設置為0.1 mm的均勻厚度，選擇S/R corotational Hughes-Liu單元以消除沙漏狀態(tài)[5]。設置柔性材料用于實體單元劃分，剛性材料用于內表面SHELL163單元和行星架的SOLID168單元，彈性模量、泊松比和密度等按照實際材料屬性設定。另外，還需要定義MASS166單元用于模擬輸出端負載慣量。

其次，根據齒輪的幾何參數建立半齒面的參數化模型，如圖1所示。按照漸開線生成原理齒廓曲線，以齒輪中心為坐標原點建立圓柱坐標系，在齒廓曲線上按照半徑間隔取n個極坐標點，其坐標值[6]可表示為

其中：ra為齒頂圓半徑；rb為基圓半徑；z為太陽輪齒數；θi為齒廓點對應的展角；j為法向齒側間隙；r為齒輪分度圓半徑。

圖1 半齒面的參數化建模Fig.1 Parametric modeling of half tooth surface

圖1 中L5為漸開線曲線，按式（1）選取若干點，使用BSPLINE命令沿所求得的點繪制即可得到：以齒輪中心為圓心的圓弧L1、L2、L6；齒根過渡圓弧L7，其半徑為0.38 m（m為齒輪模數）；直線L3、L4。計算的關鍵在于漸開線齒廓上的接觸載荷，可根據計算精度利用ANSYS的LESIZE命令對漸開線L5進行網格細分控制。

完成半齒面后，以L3為基準進行鏡像操作及布爾加和運算，即可得到一組全齒面建模。以原點坐標為中心，將全齒面轉動到擬分析嚙合位置，再將平面全齒面旋轉復制z次，即可得到太陽輪的平面網格。隨后使用VOFFSET命令，基于SOLID164單元進行軸向拉伸，即可得到完整的網格化的太陽輪三維建模。拉伸前，應使用EXTOPT命令控制拉伸段數，拉伸段越多計算結果越精確，但會造成實體單元數的迅速增大，影響計算效率[7]。嚙合剛度主要取決于嚙合平面內的單元數，軸向精度對其影響不大，在單元性質允許的范圍內可選擇盡可能小的拉伸段數以減少單元數量。圖2為拉伸2段后形成的SOLID164單元太陽輪有限元模型。

圖2 軸向拉伸2段的太陽輪模型Fig.2 Sun wheel model after two sections of axial tension

按照同樣的方法在行星輪、內齒圈局部坐標系內完成相應建模，多個行星輪可采用VGEN命令在太陽輪中心坐標系內沿周向復制完成。在復制行星輪的過程中使用*DO循環(huán)語句，且將行星輪個數np設置為可變參量，即可滿足不同行星輪個數的要求[8]。需注意，內齒圈與行星輪之間的嚙合方式為內嚙合，建立齒面時應選擇與外嚙合輪廓相反的方向。

相比齒輪的嚙合部分，行星架并不會產生較大變形，所以劃分網格時可選用剛性材料的SOLID168單元，單元也可以盡可能劃分的稀疏。最后，再在行星架輸出端軸軸心處設置一個節(jié)點用以連接MASS166慣性單元，以模擬負載特性。為了實現網格的精確控制，需要用NUMMRG命令對相鄰相近節(jié)點進行重復壓縮，使建模后的面、體和單元等在結構上處于各自獨立的狀態(tài)，從而得到了如圖3所示的完整的行星齒輪三維實體有限元模型。

圖3 完整的行星齒輪有限元模型Fig.3 Complete finite element model of planetary gear

圖4 為采用此方法建立的不同行星輪數、齒數、模數、齒寬的行星齒輪系統(tǒng)模型，參數化建模的優(yōu)勢在此體現出來。

圖4 參數化程序建立的不同行星齒輪模型Fig.4 Different planetary gear models established by parametric program

1.2 接觸、載荷和邊界條件設置

LS-DYNA建模中存在PART概念，采用不同單元、材料和實常數定義實體，再通過EDPART命令自動生成PART。不同PART間可設置接觸，并為加載和數據后處理提供方便[9]。在設置時，注意相同單元和材料的實體可采用不同實常數號加以區(qū)分。

一般來說，行星齒輪系統(tǒng)作為減速器使用時，需固定行星輪外齒圈，太陽輪一端作為輸入，行星架一端作為輸出。因此，在設置約束時，首先要選定外齒圈外圓柱面上所有節(jié)點，并約束所有轉動、平動自由度。

LS-DYNA可使用ARRAY數組進行加載，首先需要設定時間數組，再設定相應的轉角、角速度或角加速度數組，轉矩也采用相同的方式[10]。在加載轉矩時，還需建立局部坐標系，并在該局部坐標系內使用EDLOAD命令加載設定好的轉矩數組。

加載程序如下：

行星輪與行星架一般采用軸承連接，可采用轉動副約束完成，需要修改LS-DYNA關鍵字文件。

在關鍵字文件內添加的關鍵字如下：

在導出關鍵字文件前，還要在行星輪、行星架連接轉動副關節(jié)位置設置兩個同軸的節(jié)點，這樣即可分別在行星輪和行星架預留的節(jié)點上定義轉動副，傳動關系通過3對理想轉動副傳遞，極大減少計算量。

2 仿真結果

設置計算時間控制、輸出文件控制和高級求解控制后，利用LS-DYNA顯式求解器進行求解，可得到行星齒輪在高速轉動過程中的嚙合接觸和沖擊情況。

圖5為無側隙行星齒輪減速器運行過程Von Mises應力云圖。在無側隙情況下，嚙合基本呈現出連續(xù)接觸狀態(tài)，由接觸變形導致的反向嚙合時而發(fā)生，但并不明顯，齒輪組運行比較流暢。從應力云圖分布來看，嚙合應力的最大值出現在輪齒的接觸位置，最大應力值為0.3～0.4 GPa。相比之下，輪轂部分的應力較小。圖5（a）為齒輪開始產生嚙合時的應力分布情況，3個行星輪6對嚙合同時產生，但每對嚙合參與的齒數不同，證明了考慮嚙合相位的必要性。圖5（b）中，左下角行星輪的嚙合力明顯高于另外兩個行星輪，這說明行星齒輪在運轉過程中存在不均載的問題。

圖5 無側隙行星齒輪減速器運行的Von Mises應力云圖Fig.5 Von Mises stress nephogram of planetary gear reducer without side clearance during operation

圖6 為側隙500 μm的行星齒輪減速器運行過程Von Mises應力云圖動態(tài)變化截圖。與無側隙情況相同的是最大應力分布仍處于輪齒的嚙合區(qū)。不同的是，有側隙時會出現比較明顯的反向沖擊和空轉的情況，如圖6（b）所示，這時齒輪內部應力明顯減小，太陽輪空轉時，內部最大應力僅為0.1 GPa左右。圖6（c）內不均載時刻的應力分布，最大應力達到0.6 GPa左右。太陽輪內產生高頻率的周期性應力變化，勢必導致太陽輪在運轉過程中產生疲勞甚至失效的可能。

圖6 有側隙行星齒輪減速器運行過程VonMises應力云圖Fig.6 Von Mises stress nephogram of planetary gear reducer with side clearance during operation

圖7 和圖 8分別為內外嚙合齒輪在一個完整嚙合周期內的應力分布情況圖。從圖中可清楚地看出內外嚙合過程都分別經歷了單齒嚙合—空轉—雙齒嚙合的轉換過程，且在齒側間隙存在的情況下，會產生比較明顯的反向嚙合沖擊。

另外，為了體現參數化建模分析的優(yōu)勢，圖9為采用參數化程序建立的不同側隙大小的輸出轉角曲線。從圖9中看出，側隙的增大對于減速器的輸出轉角精度影響不大。而圖10中的角速度曲線在側隙增大時則出現明顯的不同。在轉動初期，輪齒持續(xù)出現嚙合碰撞，而較大的齒側間隙在碰撞回彈過程中會產生空程。

圖7 太陽輪-行星輪外嚙合過程Fig.7 External meshing process between sun wheel and planetary gear

圖8 內齒圈-行星輪內嚙合過程Fig.8 Internal meshing process between inner annular gear and planetary gear

圖9 不同側隙下的轉動角度Fig.9 Rotation angles under different side clearances

圖10 不同側隙下的轉動角速度Fig.10 Rotation angular speed under different side clearances

3 結語

借助APDL語言編寫了行星齒輪減速器自下向上的參數化建模方法，建模過程無須借助三維建模軟件，可快速有效地完成不同參數的行星齒輪有限元模型建模。利用該程序完成了一組2K-H行星齒輪減速器的前處理建模，并通過修改關鍵字文件完成了約束、加載和接觸的設置。最后采用LS-DYNA顯式積分求解器求解，模擬出行星齒輪運轉動態(tài)過程，分析了嚙合過程中存在的沖擊、不均載等現象。研究不同齒側間隙的有限元模型動力學響應，為行星齒輪減速器的運動學分析提供有效方法。研究結果表明：①行星齒輪在運轉過程中，應力主要集中在輪齒的接觸部分，且行星輪間會出現不均載現象；②當存在較大的齒側間隙時，太陽輪內會出現比較顯著的周期性應力變化，側隙同時還會帶來脫嚙、反向沖擊等現象；③對關節(jié)進行往復運動的精確控制時，必須將由齒側間隙產生的角速度誤差累積導致的輸出角度精確性變化考慮在內。