■河南省長葛市第一高級中學 常進東

線性規(guī)劃思想堪稱數(shù)形結合的完美典范,而線性規(guī)劃問題中的“333工程”能讓我們把“簡單的線性規(guī)劃”學得更“完美”,那么,這里的“333工程”指的是什么呢?請往下看!

一、求目標函數(shù)的最值的三個步驟

(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線l;

(2)平移——將l平行移動,以確定最優(yōu)解的對應點的位置;

(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解),代入目標函數(shù),即可求出最值。

例1(2018·西安四校聯(lián)考)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=y-2x的最小值為( )

A.-7 B.-4 C.1 D.2

解析：畫出由x,y滿足的約束條件表示的平面區(qū)域,如圖1所示,得它們的交點分別為A(2,0),B(5,3),C(1,3)。平移直線可知z=y-2x過點B(5,3)時,z的最小值為3-2×5=-7。

圖1

故本題選A。

評注：圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法。其關鍵在于平移目標函數(shù)對應的直線a x+b y=0,看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域和最后離開可行域,則這樣的點即為最優(yōu)解,再注意到它的幾何意義,從而確定是取最大值還是最小值。

二、最常見的三類目標函數(shù)

(1)截距型：形如z=a x+b y。

例2(2018·滕州模擬)已知O是坐標原點,點M的坐標為(2,1),若點N(x,y)為平面區(qū)域上的一個動點,則的最大值是

解析：畫出不等式組對應的平面區(qū)域如圖2中陰影部分所示,其中

圖2

設z==2x+y,則目標函數(shù)z=2x+y。

由圖2知,當直線過點C(1,1)時,z=2x+y取得最大值3。

故答案為3。

評注：對于形如z=a x+b y的目標函數(shù),只需將它轉化為直線的斜截式y(tǒng)=-,通過求直線的截距的最值間接求出z的最值。

(2)距離型：形如z=(x-a)2+(y-b)2。

例3(2017·陜西質檢一)點(x,y)滿足不等式|x|+|y|≤1,z=(x-2)2+(y-2)2,則z的最小值為

解析：|x|+|y|≤1所確定的平面區(qū)域如圖3中陰影部分所示,目標函數(shù)z=(x-2)2+(y-2)2 的幾何意義是點(x,y)到點P (2,2)距離的平方,由圖可知z 的最小值為點P(2,2)到直線x+y=1距離的平方,即為。故答案為 。

圖3

評注：對于形如z=(x-a)2+(y-b)2的目標函數(shù),可以看成是點(a,b)與平面區(qū)域內的點(x,y)之間的距離的平方,于是把原問題轉化為平面區(qū)域外的點到平面區(qū)域的距離的最值問題。

例4(2018·棗莊模擬)已知實數(shù)x,■y滿足約束條件≤4,則的最小值是( )

A.-2 B.2 C.-1 D.1

解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖4中陰影部分所示,的幾何意義是區(qū)域內的點P(x,y)與定點A(0,-1)所在直線的斜率,由圖可知當P位于點D(1,0)時,直線A P的斜率最小,此時的最小值為故選D。

圖4

三、求解線性規(guī)劃應用題的三個注意點

(1)明確問題中的所有約束條件,并根據題意判斷約束條件是否能夠取到等號。

(2)注意結合實際問題的實際意義,判斷所設未知數(shù)x,y的取值范圍,特別應注意分析x,y是否為整數(shù)、是否為非負數(shù)等。

(3)正確地寫出目標函數(shù)并化簡,注意目標函數(shù)一般為整式的形式。

例5某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個,生產一個衛(wèi)兵需5分鐘,生產一個騎兵需7分鐘,生產一個傘兵需4分鐘,已知總生產時間不超過10小時。若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤5元,生產一個騎兵可獲利潤6元,生產一個傘兵可獲利潤3元。

(1)試用每天生產的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω(元);

(2)怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?

解析：(1)依題意每天生產的傘兵個數(shù)為100-x-y。

所以每天的利潤ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300。

目標函數(shù)為ω=2x+3y+300,作出可行域,如圖5中陰影部分所示。

圖5

作初始直線l0：2x+3y=0,平移l0,當l0經過點A時,ω有最大值,由

所以最優(yōu)解為A(50,50),此時ωmax=550元。

故每天生產衛(wèi)兵50個,騎兵50個,傘兵0個時利潤最大,且最大利潤為550元。

評注：(1)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域;②根據目標函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點;③求出目標函數(shù)的最大值或最小值。

(2)解決實際問題中的線性規(guī)劃問題,關鍵是確定兩個變量x,y,其基本方法是看求解目標是受哪兩個變量制約的,這兩個制約求解目標的變量就是x,y。在確定了這兩個變量后,再根據一些限制條件列出不等式組和求解目標,然后按照一般線性規(guī)劃問題的方法求解即可。