李春福，陳華偉，金燕華

(電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院,四川 成都 611731)

信息技術(shù)的迅猛發(fā)展與日益廣泛的應(yīng)用,已成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要特征。有關(guān)信息的獲取、傳輸、處理、重現(xiàn)的基本理論和分析方法,對電子工程技術(shù)人員來說,已成為不可缺少的必備知識。對于電子信息類專業(yè)的本科、高職高專學(xué)生來說,信號與系統(tǒng)是重要專業(yè)基礎(chǔ)課、核心基礎(chǔ)課、必修課[1-12]。它以高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)和電路分析為基礎(chǔ),在課程體系結(jié)構(gòu)中起著承前啟后的作用,課程的教學(xué)目的是讓學(xué)生掌握信號與系統(tǒng)的基本理論、基本原理和方法,并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)通信、控制、信息處理等課程奠定理論和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ),是學(xué)生合理知識結(jié)構(gòu)中的重要組成部分,在發(fā)展智力、培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力,以及提高綜合素質(zhì)等方面,都起著極為重要的作用。

廣義地說,線性連續(xù)時(shí)間信號變量代換應(yīng)該分為線性自變量代換和線性因變量代換兩類。設(shè)a,b為任意實(shí)數(shù),其中a≠0,那么,稱f(t)與af(t)＋b之間的變量代換為線性因變量代換；稱f(t)與f(at＋b)之間的變量代換為線性自變量代換[2-5]。在信號與系統(tǒng)課程中線性自變量代換簡稱為自變量代換。連續(xù)時(shí)間信號自變量代換是重要的時(shí)域知識點(diǎn),是學(xué)習(xí)時(shí)域分析的一項(xiàng)基本訓(xùn)練,也是理解和應(yīng)用卷積積分的重要方法[1-10]。

連續(xù)時(shí)間信號自變量代換主要包括時(shí)間平移(已知 f(t)畫 f(tt0)(t0＞0時(shí),t-t0右移,t＋t0左移))、時(shí)間反折 (已知f(t)畫f(-t))、時(shí)間尺度[已知f(t)畫 f(at)(0＜a＜1時(shí),擴(kuò)展；a＞1時(shí),壓縮)]3種獨(dú)立出現(xiàn)的情形,以及這3種取任意2種或者全取3種的情形,因而共有7種情形。對于時(shí)間平移、時(shí)間尺度、時(shí)間反折單獨(dú)出現(xiàn)的情形,可以通過簡單的判斷直接標(biāo)注所要代換的連續(xù)時(shí)間信號波形,連續(xù)時(shí)間信號自變量代換的時(shí)間平移、時(shí)間反折、時(shí)間尺度三種獨(dú)立出現(xiàn)的情形如圖1所示。

而對于2種或3種自變量代換一起出現(xiàn)的情形,可以采用逐一先后實(shí)現(xiàn)其中各種代換的方法。如對于3種代換都有的情形,會有時(shí)間平移—時(shí)間反折—時(shí)間尺度、時(shí)間平移—時(shí)間尺度—時(shí)間反折、時(shí)間尺度—時(shí)間平移—時(shí)間反折、時(shí)間尺度—時(shí)間反折—時(shí)間平移、時(shí)間反折—時(shí)間平移—時(shí)間尺度以及時(shí)間反折—時(shí)間尺度—時(shí)間平移六種順序?qū)崿F(xiàn)思路,當(dāng)然每一個順序?qū)崿F(xiàn)思路都必須注意自變量代換的相應(yīng)特點(diǎn)[1-5]。文獻(xiàn)[2-4]寫明了,對于連續(xù)時(shí)間信號自變量代換正支 (已知x(t)畫x(at＋b)),當(dāng)時(shí)間平移、反折、尺度一起出現(xiàn)兩種或三種的情形可以按照6種順序中的任何一種完成代換轉(zhuǎn)形繪制。文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步報(bào)道,對于連續(xù)時(shí)間信號自變量代換逆支(已知x(at＋b)畫x(t)),當(dāng)時(shí)間平移、反折、尺度一起出現(xiàn)兩種或三種的情形也可以按照6種順序中的任何一種完成代換轉(zhuǎn)形繪制。

圖1 時(shí)間平移、反折、尺度

本文提出,對于連續(xù)時(shí)間信號自變量代換復(fù)合支(已知x(at＋b)畫x(ct＋d),即已知代換波形畫代換波形),當(dāng)時(shí)間平移、反折、尺度一起出現(xiàn)兩種或三種的情形,依然可以按照6種順序中的任何一種完成代換轉(zhuǎn)形繪制。對連續(xù)時(shí)間信號自變量代換復(fù)合支,選擇文獻(xiàn)[1]中給出的順序?qū)崿F(xiàn)解題思路時(shí)間平移—時(shí)間反折—時(shí)間尺度 (是6種順序中優(yōu)先的一種,注意到時(shí)間平移是線性時(shí)不變系統(tǒng),時(shí)間反折是只涉及信號波形顛倒的線性時(shí)變系統(tǒng),時(shí)間尺度是涉及信號波形壓縮擴(kuò)展的線性時(shí)變系統(tǒng)),確定了根據(jù)自變量代換前向變化關(guān)系按照時(shí)間平移—時(shí)間反折—時(shí)間尺度優(yōu)先順序繪制自變量代換復(fù)合支的相應(yīng)理論,提供的例題闡述了應(yīng)用,利用MATLAB做了語音實(shí)驗(yàn)。

1 繪制自變量代換復(fù)合支相應(yīng)理論

對于確定的參數(shù)a,b,c,d,x(at＋b)和x(ct＋d)是一一對應(yīng)的,考慮各種a,b,c,d參數(shù)取值,已知x(at＋b)畫x(ct＋d),首先確定自變量代換前向變化關(guān)系為將x(at＋b)中的自變量t前向變化為, 即式 中,為平移量,sign為平移符號量,反折符號量尺度量。顯然通過完成此前向變化關(guān)系就可以完成從x(at＋b)到x(ct＋d)的代換轉(zhuǎn)形。進(jìn)而根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的優(yōu)先順序 (時(shí)間平移—時(shí)間反折—時(shí)間尺度)可以簡單地完成代換轉(zhuǎn)形繪制,其中優(yōu)先順序具體如下:

2 例題

2.1 已知x(t)波形畫x(at＋b)

例1 如圖2所示,已知x(t)＝[-U(t＋2)＋(t＋2)U(t＋2)] ＋[U(t＋1)-(t＋1)U(t＋1)] ＋[U(t)]＋[-U(t-1)＋(t-1)U(t-1)]＋[(t-2)U(t-2)]畫x(-t/2＋4)。

圖2 已知x(t)波形畫x(at＋b)

首先,確定自變量代換前向變化關(guān)系為t→-t/2＋4,其中平移量為4,平移符號量為sign(4)＝′-′,反折符號量為 sign(-1/2)＝′-′,尺度量為然后,采用優(yōu)先順序完成代換轉(zhuǎn)形繪制:

1)時(shí)間平移:

平移量4,平移符號量′-′,向左平移4。

2)時(shí)間反折:

反折符號量′-′,有反折。

2.2 已知x(at＋b)波形畫x(t)

例2 如圖3所示,已知x(-t/2＋4)＝[-U(-t/2＋6)＋(-t/2＋6)U(-t/2＋6)]＋[U(-t/2＋5)-(-t/2＋5)U(-t/2＋5)]＋[U(-t/2＋4)]＋[-U(-t/2＋3)-(-t/2＋3)U(-t/2＋3)]＋[(-t/2＋2)U(-t/2＋2)]畫x(t)。

圖3 已知x(at＋b)波形畫x(t)

首先,確定自變量代換前向變化關(guān)系為t→-2(t-4)＝-2t＋8,其中平移量為8,平移符號量為 sign(8)＝′-′, 反折符號量為 sign(-2)＝′-′,尺度量為｜-2｜＝2。然后,采用優(yōu)先順序完成代換轉(zhuǎn)形繪制:

1)時(shí)間平移:

平移量8,平移符號量′-′,向左平移8。

2)時(shí)間反折:

反折符號量′-′,有反折。

3)時(shí)間尺度:

尺度量2＞1,壓縮2倍。

2.3 已知x(at＋b)波形畫x(ct＋d)

例3 如圖4所示,已知x(-t/2＋4)畫x(2t/3＋1)。

首先,確定自變量代換前向變化關(guān)系為t→-2(2t/3＋1-4)＝-(4/3)t＋6,其中平移量為6,平移符號量為sign(6)＝′-′,符號量為sign(-4/3)＝′-′,尺度量為然后,采用優(yōu)先順序完成代換轉(zhuǎn)形繪制。

1)時(shí)間平移:

平移量6,平移符號量′-′,向左平移6。

2)時(shí)間反折:

反折符號量′-′,有反折。

3)時(shí)間尺度:

尺度量4/3＞1,壓縮4/3倍。

圖4 已知x(at＋b)波形畫x(ct＋d)

3 MATLAB語音實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB,對記錄的語音信號進(jìn)行了時(shí)間平移(右移和左移)、時(shí)間反折、時(shí)間尺度(壓縮和擴(kuò)展)的實(shí)驗(yàn)演示,讓同學(xué)們直接看到聽到聲音信號的自變量代換效果。

首先,采用Windows自帶錄音機(jī)完成語音信號的錄制,一般錄音信號的格式是(?.wma),進(jìn)行格式轉(zhuǎn)換后成為(?.wav)格式。然后,就可以利用MATLAB的wavread函數(shù)對記錄的語音信號進(jìn)行輸入,輸入后產(chǎn)生得到兩路語音信號、采樣頻率和量化比特值；利用MATLAB的sound函數(shù)可以對代換后的語音信號進(jìn)行輸出。

3.1 語音信號時(shí)間平移

語音信號的時(shí)間平移如圖5所示,同時(shí)利用MATLAB語音播放函數(shù)可以聽到在揚(yáng)聲器里發(fā)出相應(yīng)的聲音變化。其中,x(t)為語音波形,t0＞0,x(t-t0)為向右平移后的語音波形,聽音效果表現(xiàn)為時(shí)間延遲加大；x(t＋t0)為向左平移波形,聽音效果表現(xiàn)為時(shí)間延遲減小。

圖5 語音信號時(shí)間平移

3.2 語音信號時(shí)間反折

語音信號的時(shí)間反折如圖6所示,同時(shí)利用MATLAB語音播放函數(shù)聽到感受在揚(yáng)聲器里發(fā)出相應(yīng)的聲音變化。其中,x(t)為語音波形,x(-t)為時(shí)間反折語音波形,聽音效果表現(xiàn)為聲音倒著出來。

圖6 語音信號時(shí)間反折

3.3 語音信號時(shí)間尺度

語音信號的時(shí)間尺度如圖7所示,同時(shí)利用MATLAB語音播放函數(shù)可以感覺到在揚(yáng)聲器里發(fā)出相應(yīng)的聲音變化。其中,x(t)為語音波形,x(2t)為時(shí)間壓縮2倍的語音波形,聽音效果表現(xiàn)為語音加速,聲調(diào)提高。x[(1/2)t]為時(shí)間擴(kuò)展2倍的語音波形,聽音效果表現(xiàn)為語音速度減慢,聲調(diào)降低。

圖7 語音信號與時(shí)間尺度

4 結(jié)束語

本文明晰了連續(xù)時(shí)間信號自變量代換復(fù)合支,給出了根據(jù)自變量代換前向變化關(guān)系按照時(shí)間平移—時(shí)間反折—時(shí)間尺度的優(yōu)先順序繪制自變量代換復(fù)合支的相應(yīng)理論,提供的例題闡述了應(yīng)用,利用MATLAB進(jìn)行了語音信號實(shí)驗(yàn)。

向電子科技大學(xué)秦開宇教授、張鷹教授和加州大學(xué)-圣克魯斯分校的同事表示謝意。