雷騰飛, 張 鑫, 臧紅巖, 夏祥祥

(1. 齊魯理工學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250200； 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 長(zhǎng)春 130012)

分?jǐn)?shù)階微積分出現(xiàn)已有300多年的歷史。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階沒有實(shí)用背景且在工程中也無應(yīng)用,從而使得分?jǐn)?shù)階的思想一直很少被研究者以及科學(xué)工作者提及。近年來,混沌動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[1-2],隨著分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)理論的發(fā)展,以經(jīng)典的混沌系統(tǒng)為研究對(duì)象,重新引入分?jǐn)?shù)階微積分算子,提出了許多分?jǐn)?shù)混沌系統(tǒng),如分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[3-4]、分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)[5]、分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[6]等。

目前,研究人員已在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)分析與控制領(lǐng)域取得一些成果,但分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的相關(guān)研究工作開始較晚,相關(guān)文獻(xiàn)也較少。關(guān)于分?jǐn)?shù)階的定義較多,因此分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值方法也存在不同[7]。文獻(xiàn)[8-10]將分?jǐn)?shù)階模型通過拉氏變換到頻域中,利用高階系統(tǒng)模擬分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),分別對(duì)分?jǐn)?shù)階Lorenz、分?jǐn)?shù)階超Qi、分?jǐn)?shù)階超Lorenz混沌系統(tǒng)做了基本動(dòng)力學(xué)分析,同時(shí)采用模擬電路實(shí)現(xiàn)了相應(yīng)的混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]采用預(yù)估矯正法對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌進(jìn)行了同步控制研究。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[12]采用Adomian分解法對(duì)分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)Chen系統(tǒng)進(jìn)行了混沌特性的分析與研究,該方法不能闡述記憶特性,而改進(jìn)后的Adomian分解法解決了此問題[13]。

本文采用改進(jìn)的Adomian分解法對(duì)Rabinovich超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了分解與數(shù)值仿真,根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果分析了分?jǐn)?shù)階(0.9階)Rabinovich超混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為,也為進(jìn)一步在混沌密碼、機(jī)電耦合系統(tǒng)控制以及圖像、文字視頻加密領(lǐng)域的應(yīng)用以及實(shí)驗(yàn)提供了參考[14-15]。該仿真能使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),準(zhǔn)確分析系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

1 分?jǐn)?shù)階Rabinovich超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[16]根據(jù)三維Rabinovich混沌系統(tǒng)提出了Rabinovich超混沌系統(tǒng),本文在此基礎(chǔ)上提出了分?jǐn)?shù)階Rabinovich超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

給定初始狀態(tài):

根據(jù)改進(jìn)Adomian分解法[13]和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì)得到

(2)

將相對(duì)應(yīng)的變量賦系數(shù)值,令

(3)

則可知只求出每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)即可。根據(jù)改進(jìn)Adomian分解法[13]和分?jǐn)?shù)階微積分性質(zhì),得到:

(4)

(5)

(6)

(7)

從而,得出系統(tǒng)的方程解

(8)

式中，x,y,z為系統(tǒng)變量,a,b,c為系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)a=4,b=1,c=6.75,d=1,k=2,q=0.9,根據(jù)式(8)可得出系統(tǒng)的解析解,運(yùn)用Matlab對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真,得出系統(tǒng)(1)的相圖即存在混沌吸引子(見圖1),并得出系統(tǒng)Lyapunov指數(shù):LE1=0.46、LE2=0.10、LE3=0.0、LE4=10.4。兩個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0,可知系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng)。

2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的仿真與分析

從系統(tǒng)階數(shù)q以及內(nèi)部參數(shù)c對(duì)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的分岔圖與復(fù)雜度[13]的影響方面對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了分析。首先固定內(nèi)部參數(shù),改變q。從圖2(a)的系統(tǒng)分岔圖可看出,q∈[0.55,1]系統(tǒng)在此區(qū)間處于混沌態(tài)；從復(fù)雜度SE與復(fù)雜度C0可以看出,隨著階數(shù)q增大,系統(tǒng)的復(fù)雜度在逐漸減小,如圖2(b)所示。

q=0.9,c∈[1,8],改變參數(shù)c時(shí)系統(tǒng)的分岔圖和復(fù)雜度如圖3所示,從圖3(a)中觀察出c∈[4,8]時(shí)系統(tǒng)(1)屬于混沌狀態(tài),此區(qū)間中系統(tǒng)(1)的復(fù)雜度C0相對(duì)值較大(約為0.18),a∈[1,4),系統(tǒng)(1)屬于周期狀態(tài),此區(qū)間點(diǎn)比較稀疏,此時(shí)系統(tǒng)(1)的復(fù)雜度C0相對(duì)值比較小(0.02左右)。通過分析可知,分岔圖與復(fù)雜度相一致。為了進(jìn)一步深入驗(yàn)證分岔圖與復(fù)雜度的正確性,采用相圖法繼續(xù)對(duì)具體參數(shù)下的相圖進(jìn)行數(shù)值仿真,結(jié)果如圖4所示?？煽吹綀D4(a)為匯點(diǎn),圖4(b)為單周期態(tài)。

圖1 系統(tǒng)吸引子

圖2 q變化時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖復(fù)雜度

圖3 c變化時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖復(fù)雜度

圖4 系統(tǒng)(1)在參數(shù)c取不同值時(shí)的相軌跡圖

3 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分岔空間

以復(fù)雜度C0作為分岔空間的標(biāo)量,繪制了系統(tǒng)雙參數(shù)變化下的復(fù)雜度C0,如圖5所示。從圖5可以看出,系統(tǒng)分岔空間與單參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響具有一致性,即圖5與圖2、圖3具有一致性。從圖5可以看出,參數(shù)q與c同時(shí)變化,系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌態(tài)區(qū)間較小,顏色越深表示復(fù)雜度越高,同時(shí)還可以看出c值無論如何變化,系統(tǒng)(1)隨著階數(shù)q增大,復(fù)雜度降低。

圖5 參數(shù)c與q同時(shí)變化下的復(fù)雜度

4 結(jié)語

應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分基本理論,基于改進(jìn)的Adomian分解法,研究了一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)。從改進(jìn)Adomian分解法出發(fā),分析研究系統(tǒng)吸引子；又根據(jù)此算法采用分岔圖、復(fù)雜度C0分岔空間等數(shù)值仿真分析了Rabinovich超混沌系統(tǒng)基本動(dòng)力學(xué)行為。仿真結(jié)果為Rabinovich超混沌系統(tǒng)的控制及其在混沌密碼、數(shù)字電路等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了思路。