顏世玉, 趙海濱, 劉 沖, 陸志國, 于清文

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法具有很強(qiáng)的魯棒性,而且設(shè)計簡單,能夠克服模型誤差和外部干擾的影響,受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]。在普通的滑?？刂浦?通常采用線性滑模面,系統(tǒng)狀態(tài)不能在有限時間內(nèi)收斂到0。為了獲得更好的控制性能,有學(xué)者提出了終端滑?？刂破?TSM)[3]。TSM具有有限時間收斂的優(yōu)點(diǎn),而且對模型誤差和外部干擾具有較好的魯棒性[4-5]。由于在系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡狀態(tài)時,終端滑模控制器存在奇異問題,于是有學(xué)者提出了非奇異終端滑?？刂破?NTSM)[6]。

由于終端滑模控制器在接近平衡狀態(tài)時的收斂速度比較慢,于是有學(xué)者提出了快速終端滑?？刂破?FTSM)[7]。FTSM雖然有更快的收斂速度,但是存在奇異問題,于是出現(xiàn)了非奇異快速終端滑模控制器(NFTSM)[8]。NFTSM收斂速度快,具有較強(qiáng)的魯棒性,能夠在有限時間內(nèi)收斂[9],而且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度,因而有非常廣泛的應(yīng)用[10-13]。

本文以二階非線性系統(tǒng)為研究對象,對快速終端滑?？刂破鞔嬖诘钠娈悊栴}進(jìn)行分析,然后分別采用FTSM和NFTSM進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)的平衡控制。為了削弱抖振對系統(tǒng)的影響,采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。采用Matlab/Simulink軟件建立了仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),并對仿真的結(jié)果進(jìn)行了分析和討論。該仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)有助于對快速終端滑?？刂评碚摰睦斫?對快速終端滑模控制的實(shí)際應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

1 終端滑模控制

對于二階不確定非線性系統(tǒng)

(1)

其中x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,f(x)和g(x)為連續(xù)的非線性函數(shù),且g(x)≠0,u為控制輸入；d(t)為外部干擾信號,且|d(t)|≤μ,μ>0。

本文采用的二階非線性系統(tǒng)，f(x)=-16x2,g(x)=125,外部干擾信號為d(t)=0.1sin(20t)，則式(1)寫作

(2)

在滑?？刂破髟O(shè)計中,采用常用的指數(shù)趨近律。本文采用的指數(shù)趨近律為

εsgn(s)

(3)

在普通的滑?？刂浦?采用的線性滑模面為

s1=x2+cx1

(4)

其中參數(shù)c>0。采用指數(shù)趨近律時,滑?？刂破髟O(shè)計為

(5)

普通的滑?？刂破鞑荒茉谟邢迺r間內(nèi)收斂為零。有學(xué)者提出的終端滑?？刂破鱗4-5]能夠在有限時間內(nèi)收斂到零。終端滑模控制的滑模面為

(6)

其中參數(shù)β>0,p和q為正奇數(shù)(p>q)。采用指數(shù)趨近律時,終端滑?？刂破髟O(shè)計為

(7)

在式(7)中,由于q/p-1<0,在x1=0,x2≠0時會有奇異問題。

2 快速終端滑?？刂?/h2>

2.1 快速終端滑?？刂?/h3>

(8)

其中參數(shù)α>0,β>0,p和q為正奇數(shù)(p>q)。采用指數(shù)趨近律時,快速終端滑?？刂破髟O(shè)計為

(9)

在式(8)中,當(dāng)s3=0時,可以得到

(10)

快速終端滑?？刂破鞅冉K端滑模控制器具有更快的收斂速度。在式(9)中,由于q/p-1<0,因此該控制器在x1=0和x2≠0時存在奇異問題。

2.2 非奇異快速終端滑?？刂?/h3>

非奇異快速終端滑模控制器(NFTSM)具有FTSM的優(yōu)點(diǎn),同時又能克服奇異問題。

NFTSM的滑模面設(shè)計為

s4=x1+αsgn(x1)|x1|r1+βsgn(x2)|x2|r2

(11)

采用指數(shù)趨近律時,NFTSM控制器設(shè)計為

u4=-g-1[f+ks4+(μ+ε)sgn(s4)+

(βr2)-1sgn(x2)|x2|2-r2(1+αr1|x1|r1-1)]

(12)

NFTSM能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂,具有較快的收斂速度,而且能夠避免奇異問題。NFTSM非常適合進(jìn)行非線性系統(tǒng)的控制。

為了削弱抖振,在各個控制器中采用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s),飽和函數(shù)的表達(dá)式為

(13)

其中參數(shù)δ>0,稱為邊界層。在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制,在邊界層之外采用切換控制。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)后,FTSM控制器u3為

(14)

采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)后,NFTSM控制器u4為

u4=-g-1[f+ks4+(μ+ε)sat(s4)+

(βr2)-1sgn(x2)|x2|2-r2(1+αr1|x1|r1-1)]

(15)

3 Matlab/Simulink軟件

采用Matlab/Simulink軟件建立的仿真系統(tǒng)如圖1所示。在圖1中,System模塊、FTSM模塊和NFTSM模塊都采用M-Function模塊。System模塊為根據(jù)式(2)建立的二階非線性系統(tǒng)。通過手動開關(guān)Switch對積分模塊的初始值進(jìn)行設(shè)置,即設(shè)置系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始值分別為x(0)=[1,1]T或x(0)=[30,30]T。通過手動開關(guān)Switch1選擇FTSM或NFTSM。FTSM模塊為采用式(14)的快速終端滑?？刂破?；NFTSM為采用式(15)的非奇異快速終端滑模控制器。仿真結(jié)果通過To Workspace模塊輸出到Matlab軟件的工作空間。在圖1的仿真過程中,采用變步長的ode45算法,最大仿真步長為0.000 1 s。

圖1 快速終端滑?？刂品抡鎸?shí)驗(yàn)系統(tǒng)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在式(14)的FTSM控制器中,參數(shù)設(shè)置為α=1,β=1,p=7,q=5,μ=0.1,ε=0.1,k=1。在式(15)的NFTSM控制器中,參數(shù)設(shè)置為α=1,β=1,r1=1.8,r2=1.6,μ=0.1,ε=0.1,k=1。在采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)時,邊界層δ通常取非常小的數(shù),本文取δ=0.001。下面對狀態(tài)變量初始值較小和較大時分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

4.1 實(shí)驗(yàn)1

二階非線性系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始值為x(0)=[1,1]T,分別采用FTSM控制器和NFTSM控制器進(jìn)行平衡控制。系統(tǒng)的仿真時間設(shè)置為6 s。狀態(tài)變量x1的響應(yīng)如圖2所示,狀態(tài)變量x2的響應(yīng)如圖3所示。狀態(tài)變量x1和x2從初始狀態(tài)迅速減小,在4 s已經(jīng)非常趨近于0。NFTSM的趨近速度比FTSM慢,到達(dá)零點(diǎn)的時間更長。

FTSM和NFTSM控制器的輸入u如圖4所示。FTSM的控制輸入存在奇異問題,而NFTSM的控制輸入不存在奇異問題,且控制輸入比較平滑,沒有出現(xiàn)抖振。

圖2 狀態(tài)變量x1的響應(yīng)(初始值較小)

圖3 狀態(tài)變量x2的響應(yīng)(初始值較小)

圖4 控制輸入u(初始值較小)

4.2 實(shí)驗(yàn)2

二階非線性系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始值為x(0)=[30,30]T,分別采用FTSM和NFTSM控制器進(jìn)行平衡控制。系統(tǒng)的仿真時間設(shè)置為10 s。狀態(tài)變量x1的響應(yīng)如圖5所示,狀態(tài)變量x2的響應(yīng)如圖6所示。對于狀態(tài)變量x1,FTSM控制器的趨近時間為6 s左右,NFTSM控制器的趨近時間為4 s左右。NFTSM的趨近速度比FTSM快,到達(dá)零點(diǎn)的時間更短。

圖5 狀態(tài)變量x1的響應(yīng)(初始值較大)

圖6 狀態(tài)變量x2的響應(yīng)(初始值較大)

FTSM和NFTSM控制器的輸入u如圖7所示。FTSM在接近零點(diǎn)時出現(xiàn)奇異問題,而NFTSM沒有出現(xiàn)奇異問題。NFTSM的控制輸入比較平滑,沒有出現(xiàn)抖振。

圖7 控制輸入u(初始值較大)

當(dāng)狀態(tài)變量的初始值較小時,FTSM具有更快的趨近速度；當(dāng)狀態(tài)變量的初始值較大時,NFTSM具有更快的趨近速度。NFTSM能夠克服FTSM存在的奇異問題。采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù),能夠?qū)Χ墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行抑制。

5 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)表明:非奇異快速終端滑?？刂破骶哂惺諗克俣瓤旌陀邢迺r間收斂的優(yōu)點(diǎn),同時能夠克服快速終端滑?？刂破鞯钠娈悊栴},非常適合進(jìn)行非線性系統(tǒng)的控制,有助于學(xué)生對快速終端滑模控制的理解。學(xué)生還可以利用該系統(tǒng)對自己編寫的控制算法進(jìn)行比較和驗(yàn)證。該仿真實(shí)驗(yàn)將理論和編程實(shí)現(xiàn)相結(jié)合,對快速終端滑?？刂频膶?shí)際應(yīng)用有一定的實(shí)際意義。