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(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

傳染病歷來(lái)是危害人類身體健康的大敵，從古至今傳染病傳播給人類的生存和國(guó)際民生都帶來(lái)了巨大的災(zāi)難[1-2]。定量或定性的研究傳染病傳播的機(jī)制可以為預(yù)防和控制疾病提供重要的基礎(chǔ)。

文獻(xiàn)[3-5]研究了一類整數(shù)階SIS(susceptible-infective-susceptible)傳染病模型，討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。對(duì)于一些具有潛伏期的傳染病，像流感、狂犬病等，應(yīng)考慮潛伏性，因此有必要研究SEIS(susceptible-exposed-infective-susceptible) 傳染病模型[6-7]。文獻(xiàn)[7]分析了整數(shù)階SEIR(susceptible-exposed-infective-recovery)模型的穩(wěn)定性并提出了SEIS模型。文獻(xiàn)[8]提出了一種考慮治療的新型SEIS模型的活動(dòng)患者和潛在患者，文獻(xiàn)[9]對(duì)此模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。然而上述文獻(xiàn)均沒(méi)有考慮模型為分?jǐn)?shù)階的情形。

分?jǐn)?shù)階微積分是微積分的一個(gè)分支，主要研究任意階積分和導(dǎo)數(shù)的理論及其應(yīng)用，最早是于 1695 年由 Leiblilz 和 L’Hospital提出。分?jǐn)?shù)階微積分作為整數(shù)階微積分的一種推廣，是伴隨整數(shù)階微積分的發(fā)展而產(chǎn)生的，已有 300 多年的歷史。目前傳染病模型絕大多數(shù)是用常微分方程組、差分方程組、偏微分方程組或時(shí)滯微分積分方程組描述的，所涉及到的方程階數(shù)均為整數(shù)階。整數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有局部性，不適合描述具有歷史依賴的過(guò)程模型；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有全局相關(guān)性，能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過(guò)程[10-12]?；谝陨戏治?，將分?jǐn)?shù)階引入到傳染病建模具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

文獻(xiàn)[13]分析了如下分?jǐn)?shù)階SIS模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，得出該模型的平衡點(diǎn)在α=1,0.9,0.8時(shí)都是穩(wěn)定的。

其中：0

文獻(xiàn)[14]提出了如下不考慮治療的分?jǐn)?shù)階SIR模型并對(duì)模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得出模型地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)都是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，并且具有唯一的一致李雅普諾夫穩(wěn)態(tài)正解。

其中R代表康復(fù)者的數(shù)量，其余的參數(shù)同上。作者進(jìn)一步考慮了具有治療的分?jǐn)?shù)階SIR流行病模型，提出模型：

并對(duì)模型的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到了后向分支發(fā)生的條件。

結(jié)合文獻(xiàn)[9]中的SEIS模型，本文提出如下分?jǐn)?shù)階SEIS模型：

(1)

下面將證明該模型平衡點(diǎn)的存在唯一性，分析其無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性；并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證其理論分析的正確性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1[15]函數(shù)f(t)的Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的定義為：

其中Γ(.)是伽馬函數(shù),n-1

引理1[16]考慮具有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性微分方程

DaX(t)=f(X(t))。

(2)

引理2[17]假設(shè)f(t)∈C[a,b]且Daf(t)∈C[a,b]，a∈(0,1]。若Daf(t)≥0，?t∈[a,b]，則對(duì)每個(gè)t∈[a,b]，f(t)是非減函數(shù)；若Daf(t)≤0,?t∈[a,b]，則對(duì)每個(gè)t∈[a,b]，f(t)是非增函數(shù)。

引理3[17]假設(shè)向量函數(shù)f(t,x):R+×Rn→Rn(維數(shù)n≥1)滿足

1)f(t,x)在R+上關(guān)于t是Lebesgue可測(cè)的；

2)f(t,x)在Rn上關(guān)于x是連續(xù)的；

的解x(t)在R+上存在且唯一。

定義2[18]設(shè)Ω是Rn中的一個(gè)開(kāi)子集，考慮下面的自治系統(tǒng)

Rn=f(x),f(0)=0。

(3)

若V(x)∈C1(Ω,Rn)，則V(x)沿著方程(3)解的α階導(dǎo)數(shù)為

引理4[18](分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)LaSalle不變?cè)?設(shè)D是下列系統(tǒng)的一個(gè)正不變集，若?V(x):D→R,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，使

DαV|(3)≤0。

又設(shè)E={x|DαV|=0,x∈D},M?E是最大不變集，則當(dāng)t→+∞時(shí)，有x(t,t0,x0)→M，特別地，若M={0}，則系統(tǒng)的平凡解是吸引的。

2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

證明： 首先，說(shuō)明系統(tǒng)存在唯一解。根據(jù)引理3，系統(tǒng)的向量函數(shù)為

顯然，f滿足引理3的1)，2)，4)三個(gè)條件,為了證明系統(tǒng)(1)解的存在唯一性，只需證明向量函數(shù)f滿足引理3中的條件3)。

令x1(t)=S(t),x2(t)=E(t),x3(t)=I(t),x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t)]T,μ=[A,0,0]T,

則系統(tǒng)方程可以簡(jiǎn)寫為：

Dαx(t)=A1x(t)+A2x(t)x3(t)+η

則：

其次，證明系統(tǒng)(1)解的非負(fù)性，由系統(tǒng)(1)得

將系統(tǒng)(1)的3個(gè)方程相加并變形得：

DαN=A-μ(S+E+I)=A-μN(yùn)，

其中N=S+E+I，

定理2如果0

證明：當(dāng)無(wú)病毒感染(I=0)時(shí)，系統(tǒng)(1)始終存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)

且在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為：

特征方程為：

整理得

系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性取決于特征方程的根位置。 當(dāng)方程的所有根位于復(fù)平面的左半平面，則無(wú)病平衡點(diǎn)E0穩(wěn)定。 易知一個(gè)特征根λ1=-μ，那么只需要討論下面的等式

計(jì)算可得

(4)

根據(jù)韋達(dá)定理可得

(5)

可得

(β+r1+μ)(μr2+μ2-αpA)-β(1-p)αA>0。

推出

(6)

容易得到

Reλ2<0,Reλ3<0，

又有

λ1=-μ。

因此，當(dāng)0

定理3如果R0>1，地方病平衡點(diǎn)E1(S*,E*,I*)是局部穩(wěn)定的。

證明：設(shè)E1(S*,E*,I*)為地方病平衡點(diǎn)，則有

(7)

解得

系統(tǒng)(1)在E1(S*,E*,I*)處的雅可比矩陣為：

其特征方程為：

注意到,當(dāng)λ=-μ時(shí)特征方程等于0，即：

(8)

容易得到存在一個(gè)特征根

λ=-μ。

(9)

令λi(i=1,2,3)是矩陣J(E1)的特征值；可以假設(shè)λ1=-μ特征方程可以重寫為：

(λ+μ)[λ2+(2μ+r1+r2+β-pαS*+αI*)λ+(r2+μ)(1-p)αI*

+(r2+μ)pαI*+(r1+μ)pαI*+βαI*]=0。

(10)

只需考慮：

λ2+(2μ+r1+r2+β-pαS*+αI*)λ+(r2+μ)(1-p)αI*

+(r2+μ)pαI*+(r1+μ)pαI*+βαI*=0 。

(11)

由韋達(dá)定理可得

λ2+λ3=(pαS*-r2-μ)-μ-β-αI*-r1

λ2λ3=(r2+μ)(1-p)αI*+(r1+μ)pαI*+βαI*>0。

容易得到

Reλ2<0,Reλ3<0，

(12)

又有λ1=-μ<0。因此Reλi<0(i=1,2,3)，所以E1是局部穩(wěn)定的。證畢。

定理4如果0

證明：令

V(t)=βE(t)+(β+r1+μ)I(t)

(13)

則V沿著系統(tǒng)(1)的解的α階導(dǎo)數(shù)為

DαV|(1)=I1-αDV|(1)

=(β(1-p)αS(t)+(β+r1+μ)pαS(t)

-(β+r1+μ)(r2+μ)I(t)

(14)

若R0<1，可以得到

(15)

由V(t)=βE(t)+(β+r1+μ)I(t)和β+r1+μ>0可得

(16)

其中V(0)=βE(0)+(β+r1+μ)I(0)。

由R0<1可得

因此可得

當(dāng)R0>1時(shí)，存在正數(shù)ε，使得

β(1-p)α≥(β+r1+μ)(r2μ+μ2+pαA)+ε。

(17)

根據(jù)DαV|(1)=(β(1-p)αS(t)+(β+r1+μ)pαS(t)-(β+r1+μ)(r2+μ)I(t)得：

(18)

從該地區(qū)開(kāi)始的系統(tǒng)(1)的解

(19)

遠(yuǎn)離E0。證畢。

3 數(shù)值仿真

模型參數(shù)取為：a=0.99，A=0.3，α=0.7，β=1，p=0.4，μ=0.5，r1=0.1，r2=0.1，S(0)=3，E(0)=1，I(0)=2。 經(jīng)計(jì)算可得R0≈0.364 6<1。根據(jù)定理4可得無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。仿真結(jié)果見(jiàn)圖1～3。

基于上述假設(shè)參數(shù)值集，選擇A=0.6，可得R0=1.19>1。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4～6，由仿真可見(jiàn)系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的。

圖1 R0<1的系統(tǒng)(1)的S(t)的時(shí)間序列Fig.1 Time series of S(t) of the system (1) for R0<1

圖2 R0<1的系統(tǒng)(1)的E(t)的時(shí)間序列Fig.2 Time series of E(t) of the system (1) for R0<1

圖3 R0<1的系統(tǒng)(1)的I(t)的時(shí)間序列Fig.3 Time series of I(t) of the system (1) for R0<1

圖4 R0>1的系統(tǒng)(1)的S(t)的時(shí)間序列Fig.4 Time series of S(t) of the system (1) for R0>1

圖5 R0>1的系統(tǒng)(1)的E(t)的時(shí)間序列Fig.5 Time series of E(t) of the system (1) for R0>1

圖6 R0>1的系統(tǒng)(1)的I(t)的時(shí)間序列Fig.6 Time series of I(t) of the system (1) for R0>1

4 結(jié)論

主要研究了一類分?jǐn)?shù)階SEIS傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。利用特征根方法得出：當(dāng)01時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的。并利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了其正確性。由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有全局相關(guān)性，能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過(guò)程，因此該模型相比于整數(shù)階的模型具有一定的先進(jìn)性，對(duì)于研究一些具有潛伏期的傳染病具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。