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(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 10083)

1 模型介紹

生物入侵是指某種生物從外地自然傳入或人為引種后成為野生狀態(tài)，并對(duì)本地生態(tài)系統(tǒng)造成一定危害的現(xiàn)象。本研究從問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)生物入侵的特點(diǎn)建立所需的隨機(jī)模型并進(jìn)一步研究模型的性質(zhì)。

自然界中，物種之間的關(guān)系始終受到白噪聲的干擾。因此，很多學(xué)者在經(jīng)典的捕食者食餌模型即Lotka-Volterra模型中加入白噪聲[1-4]，得到

其中，x(t)是食餌的種群密度，y(t)是捕食者的種群密度，bi、ci、σi均為非負(fù)常數(shù)，Bi(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。

在Lotka-Volterra模型之后，Leslie對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)[5]，得到

在食餌增長(zhǎng)中，p(x)反映單位時(shí)間里每個(gè)捕食者吃掉的食餌數(shù)量，不僅與食餌的數(shù)量有關(guān)，還與捕食者的捕食能力有關(guān)，稱(chēng)為捕食者對(duì)食餌的功能性反應(yīng)。這個(gè)模型假設(shè)捕食者在環(huán)境中的最大容量與食餌的數(shù)量成正比例，捕食者的增長(zhǎng)是關(guān)于y(t)的邏輯斯蒂增長(zhǎng)方程，其固有增長(zhǎng)率為a2，環(huán)境最大容納量為a2x(t)/b2。

將Leslie模型中的p(x)取c1x(t)，并加入隨機(jī)項(xiàng)，有

此模型中，食餌的變化與自身一次項(xiàng)呈正相關(guān)，與自身二次項(xiàng)和交叉項(xiàng)呈負(fù)相關(guān)，此食餌可看作食物鏈較低端的物種；捕食者的變化與自身成邏輯回歸關(guān)系，并且其最大環(huán)境容納量受食餌數(shù)量的限制，此捕食者可看作以一種食餌為食的捕食者。綜上所述，可運(yùn)用該模型來(lái)研究生物入侵。一般情況下，模型中的參數(shù)是受時(shí)間影響的，例如有些物種的數(shù)量變化率就隨季節(jié)不同而變化，故模型可變?yōu)?/p>

進(jìn)一步考慮現(xiàn)實(shí)生活，物種數(shù)量會(huì)受到來(lái)自自然或人類(lèi)社會(huì)的其他影響，比如火山爆發(fā)、瘟疫或人類(lèi)突然的大量捕撈等，這些干擾不是白噪聲的隨機(jī)干擾所能涵蓋的。因此，有必要在模型中加入脈沖項(xiàng)[6]

(1.1)

其中，ai(t),bi(t),σi(t)(i=1,2),c1(t)均是正的有界連續(xù)T周期函數(shù)，并滿(mǎn)足

考慮到是生物模型，故僅需研究方程的正解。因此可做下面限制：

1+δik>0，i=1,2；k=1,2,3,…。

而且，δik>0是物種數(shù)量突然增多，代表著對(duì)物種的“種植”，δik<0是物種數(shù)量突然減少，代表著對(duì)物種的“收割”。

此模型的環(huán)境干擾有兩種：白噪聲干擾和脈沖干擾。白噪聲干擾使物種連續(xù)地變化，而脈沖干擾使物種離散地變化。

此外，這里假定存在正整數(shù)p，使得

tk+p=tk+T,δi(k+p)=δik，k∈Z+。

不失一般性，假設(shè)

[0,T)∩{tk,k∈Z}={t1,t2,…,tp}。

2 系統(tǒng)正解存在唯一性

定義1[7]考慮一個(gè)帶有脈沖的隨機(jī)微分方程

(2.1)

1)x(t)是適應(yīng)的并且在(0,t1)和(tk,tk+1),k∈N+上都連續(xù)，而且F(t,x(t))∈L1(R+;Rn),G(t,x(t))∈L2(R+;Rn)。其中若有f(t)∈Lk(R+;Rn)，則

3) 對(duì)幾乎每個(gè)t∈R+ k，x(t)滿(mǎn)足與(2.1)等價(jià)的積分方程，并滿(mǎn)足t=tk,k∈Na.s.時(shí)的脈沖條件,則x(t)是系統(tǒng)(2.1)的解。

證明：首先，考慮如下無(wú)脈沖項(xiàng)模型

(2.2)

下面證明Ai(t)均是T-周期連續(xù)函數(shù)。

對(duì)于任意t，存在整數(shù)n，使得nT

由tk+p=tk+T,δi,k+p=δik，得

tk+np=tk+(n-1)p+T=…=tk+nT,δi,k+np=δi,k+(n-1)p=…=δik。

(2.3)

由[0,T)∩{tk}={t1,t2,…,tp}，存在l∈{1,2,…,p}，使得

(tl+np,tl+1+np,…,tp+np∈[t,(n+1)T)，
t1+(n+1)p,t2+(n+1)p,…,tl-1+(n+1)p∈[(n+1)T,t+T)。)

(2.4)

由式(2.3)，(2.4)得

故

Ai(t)均是T-周期連續(xù)函數(shù)，證畢。

然后令x(t)=A1(t)y1(t),y(t)=A2(t)y2(t)。則易知x(t),y(t)在t∈(tk,tk+1)上均連續(xù)，k=0,1,2,…,t0=0。 那么當(dāng)t∈(tk,tk+1)時(shí)，有

dx(t) =y1(t)dA1(t)+A1(t)dy1(t)

=x(t)(a1(t)-b1(t)x(t)-c1(t)y(t))dt+σ1(t)x(t)dB1(t)。

且有

同理，y(t)在t∈(tk,tk+1)滿(mǎn)足

而且

綜上可知，(x(t),y(t))是滿(mǎn)足系統(tǒng)(1.1)的解，即系統(tǒng)(1.1)存在解(x(t),y(t))。

最后，證明系統(tǒng)(1.1)解的非負(fù)唯一性[9]。

取(u(t),v(t))，滿(mǎn)足

x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)。

則在t∈[0,t1]上對(duì)x(t),y(t)運(yùn)用It公式得

易知上面方程滿(mǎn)足利普希茨條件，存在唯一的解(u(t),v(t))。而由于x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)，則(x(t),y(t))為系統(tǒng)(1.1)在t∈[0,t1]上的唯一正解。

同樣在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)時(shí)，運(yùn)用It公式得

同樣，上面方程滿(mǎn)足利普希茨條件，存在唯一的解(u(t),v(t))。則(x(t),y(t))為系統(tǒng)(1.1)在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)上的唯一正解。

定理證明完畢。

3 滅絕與持久的條件

為了后面分析的方便，此處做一些記號(hào)。若f(t)是可積的，定義

若f(t)是有界的，定義

定理3.1若滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(1.1)中的兩種群最終將滅絕。

證明：對(duì)于系統(tǒng)(2.2)，運(yùn)用It公式有

兩邊同時(shí)積分并除以t，有

由鞅的強(qiáng)大數(shù)定律得

因此有

定理3.2若滿(mǎn)足

則在系統(tǒng)(1.1)中，捕食者最終將滅絕，食餌數(shù)量最終將持久。

證明：由定理3.1可知：

捕食者最終將滅絕，下面證明食餌數(shù)量的持久性。

等式兩邊同時(shí)積分并除以t有

(3.1)

由定理3.1得

那么，方程(3.1)變?yōu)?/p>

整理可得

可知食餌數(shù)量持久，所證成立。

定理3.3若滿(mǎn)足

則在系統(tǒng)(1.1)中，捕食者與食餌數(shù)量最終將持久。

證明：在此定理?xiàng)l件下也可得定理3.2中的(3.1)式，對(duì)t取極限整理得：

則

由于x(t),y(t)均為非負(fù)值，故二者至少有一方種群密度持久。

假設(shè)存在t0使得x(t0)=0，由系統(tǒng)(1.1)知當(dāng)t>t0時(shí)必有y(t)=0，兩種群均滅絕，與結(jié)論有矛盾,故對(duì)所有t>0都有x(t)>0，那么種群密度x(t)將持久。

等式兩邊同時(shí)積分并除以t，有

對(duì)t取極限整理有

那么

由于對(duì)所有t>0都有x(t)>0，且x(t)持久，則x(t)必有下界x0>0，則

4 數(shù)值模擬和結(jié)論

為驗(yàn)證前面的分析，對(duì)系統(tǒng)(1.1)進(jìn)行數(shù)值模擬。

此模型可應(yīng)用于生物入侵的例子。例如澳洲的兔災(zāi)，1859年，25只歐洲兔子被帶入澳洲供人打獵，但后來(lái)兔子沒(méi)有天敵，卻有豐富的青草，繁殖過(guò)快，給生態(tài)帶來(lái)了危害。這時(shí)人們希望兔子種群能滅絕，青草被保護(hù)起來(lái)。那么模型中的捕食者就是兔子，食餌是青草，環(huán)境干擾是白噪聲干擾，而脈沖干擾就是人類(lèi)的干預(yù)。為了實(shí)現(xiàn)研究目的,由定理3.2可知，可通過(guò)人為干預(yù)，大量捕殺兔子，設(shè)法滿(mǎn)足定理3.2中的條件，則最終兔子會(huì)滅絕，且青草會(huì)持久生存。

在人類(lèi)干預(yù)之前，可看作是脈沖很小的模型，而且是適用一般的隨機(jī)模型，主要是隨機(jī)因素對(duì)模型的影響，不少學(xué)者已對(duì)此進(jìn)行過(guò)大量研究，在此主要研究脈沖因素對(duì)生物入侵的影響。因此可取(x0,y0)=(3,0.1)，a1(t)=0.35+0.1sin(πt/3)，b1(t)=0.1+0.05sin(πt/3)，c1(t)=0.2+0.2sin(πt/3)，a2(t)=0.2+0.1sin(πt/3),σ1(t)=σ2(t)=0.01+0.01sin(πt/3),b2(t)=0.1+0.1sin(πt/3)。則有n=p=6。首先看脈沖影響較小的時(shí)候，可令：

δ1k(t)=-0.05+0.05sin(πk/3),δ2k(t)=0.05sin(πk/3),tk=k。

式中的-0.05反映了環(huán)境在一定程度上受到了污染，食餌作為食物鏈的底層物種首當(dāng)其沖，而對(duì)于入侵的捕食者來(lái)說(shuō)則影響較小，故而產(chǎn)生兩種群脈沖項(xiàng)的差異。模擬程序見(jiàn)附件1[12]，模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 無(wú)人類(lèi)干預(yù)時(shí)食餌和捕食者的種群密度變化的對(duì)比

由參數(shù)計(jì)算有

由定理3.3知，兩種群密度均為持久的，此結(jié)論與圖1的結(jié)果相同。

此處食餌為植被或是食物鏈的低端物種，生態(tài)系統(tǒng)中原來(lái)必然存在一些以其為食的消費(fèi)者，而此處食餌種群密度保持在正常水平的1/6左右，數(shù)量變化過(guò)大，長(zhǎng)久處于此狀態(tài)，生態(tài)系統(tǒng)必然遭到嚴(yán)重破壞。

研究目標(biāo)是在食餌數(shù)量為正常水平的基礎(chǔ)上，使入侵的捕食者滅絕。因此，可以改變脈沖項(xiàng)，脈沖項(xiàng)可視為人類(lèi)對(duì)入侵物種的干擾，對(duì)食餌不構(gòu)成干擾?？紤]到實(shí)際情況更多是，只有當(dāng)外來(lái)物種繁殖生長(zhǎng)影響生態(tài)環(huán)境時(shí)，人類(lèi)才會(huì)意識(shí)到物種的入侵，故有時(shí)間上的延遲，將捕食者的脈沖項(xiàng)修改為

δ2k(t)=-0.25×(k>15)+0.05×sin(πk/3)。

其中(k>15)為邏輯語(yǔ)言，當(dāng)k>15時(shí)，(k>15)=1，當(dāng)k≤15時(shí)，(k>15)=0。這個(gè)脈沖項(xiàng)的意思是在第16周期時(shí)，人類(lèi)開(kāi)始對(duì)入侵者進(jìn)行干預(yù)，干預(yù)強(qiáng)度為每次使其數(shù)量減少1/4。

同樣用Matlab得到人類(lèi)干預(yù)時(shí)食餌和捕食者的種群密度變化的對(duì)比如圖2。

圖2 人類(lèi)干預(yù)時(shí)食餌和捕食者的種群密度變化的對(duì)比

由參數(shù)計(jì)算有

則由定理3.2知，此模型捕食者最終將滅絕，食餌數(shù)量最終將持久，與圖2的結(jié)果相符。

圖2為在第16周期人類(lèi)對(duì)入侵生物進(jìn)行干預(yù)，在16周期前，食餌種群密度最小值接近1，為正常密度的1/3左右?？紤]到生態(tài)系統(tǒng)的自我恢復(fù)能力，食餌種群密度最小值會(huì)有一個(gè)臨界比例值，而此臨界值會(huì)隨著生態(tài)系統(tǒng)復(fù)雜度的不同而不同。假設(shè)一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的此臨界值為P0。通過(guò)調(diào)試Matlab可得表1數(shù)據(jù)值。

表1 人類(lèi)不同時(shí)間干預(yù)時(shí)食餌種群的最低臨界值

再通過(guò)臨界值P0與P的比較得出一個(gè)臨界周期k0。因此，人類(lèi)要在生物入侵后物種成長(zhǎng)的第k0周期前及時(shí)干預(yù)，才能保證生態(tài)系統(tǒng)的可逆恢復(fù)。