陸 焱，胡玉榮

（荊楚理工學(xué)院 a.計算機工程學(xué)院；b.科技處，湖北 荊門 448000）

0 引言

由于環(huán)境和設(shè)備的原因，通常采集到的圖像會含有噪聲。而噪聲對圖像的檢測有著非常大的影響，較好的圖像去噪能力是檢驗一個圖像處理系統(tǒng)是否優(yōu)秀的重要標準，若噪聲處理不好，將會出現(xiàn)漏檢甚至根本檢測不到圖像細節(jié)的現(xiàn)象。因而，多年來人們對噪聲反復(fù)進行了研究，產(chǎn)生了許多經(jīng)典的算法［1］，利用小波變換的多分辨率分析可以有效去除噪聲，并且很好地保留圖像細節(jié)［2-6］。雖然基于小波的經(jīng)典去噪算法［7］在噪聲標準差較小的情況下可以實現(xiàn)去噪，但當噪聲標準差較大時去噪效果有待提升。因此，出現(xiàn)了基于小波變換的閾值收縮和比例收縮算法［8］。小波閾值去噪是最常用的一種去噪方法［9］，該算法在噪聲較小的情況下可以取得較好的效果，但在噪聲比較大時，效果仍然不理想［10］。目前，基于閾值萎縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，研究集中在如何最大限度地獲得信號的先驗信息，確定更合適的閾值，達到更高的去噪效率。

小波閾值圖像去噪方法［11］因為實現(xiàn)較簡單、計算量較小而被廣泛應(yīng)用。但是小波分析在一維時所具有的優(yōu)點并不能推廣到二維乃至更高維，即不能從刻畫點奇異推廣到刻畫線奇異乃至面奇異。并且對于圖像來說，邊緣不連續(xù)性是按照空間分布的，這種奇異性影響了小波展開級數(shù)中的許多項，因此，小波變換在去噪上展現(xiàn)出了許多不足。為此，研究人員提出了多尺度變換工具［12］，在眾多多尺度變換工具中，非下采樣Shearlet變換（non-subsampled Shearlet transform，NSST）具有分解速度快、方向敏感的優(yōu)點，且沒有下采樣的過程，使其具有平移不變性。其分解系數(shù)與小波分解系數(shù)相比能夠較準確地表示圖像內(nèi)容細節(jié)信息，有利于提升去噪效果。因此，本文選用NSST分解含噪圖像，分解后的圖像包含低頻子帶和高頻子帶系數(shù)，圖像的絕大多數(shù)信息包含在低頻子帶中，高頻子帶中包含輪廓、曲線等細節(jié)信息和噪聲，通過閾值去噪算法處理高頻子帶，去除噪聲，由處理后的子帶結(jié)合低頻子帶通過NSST逆變換重構(gòu)得到去噪后的圖像。

1 非下采樣Shearlet變換

1.1 Shearlet變換

Shearlet變換［13-14］具有分解速度快、方向敏感性和平移不變性的優(yōu)點。本文利用該變換分解含噪圖像，由于本文灰度圖像為二維圖像，即維數(shù)為n=2時，在合成小波理論的基礎(chǔ)上，通過仿射系統(tǒng)把幾何和多尺度結(jié)合起來構(gòu)造Shearlet波。具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)定義為

其中ψ∈L2(R2)，A表示各向異性膨脹2×2的可逆矩陣，該矩陣控制Shearlet變換的尺度，Aj與尺度變換相關(guān)聯(lián)。S是2×2的剪切矩陣，該矩陣為可逆矩陣，|detS|=1，Sj與保持面積不變的幾何變換相關(guān)聯(lián)。如果MAB(ψ)具有如下形式的緊框架條件，則MAB(ψ)的元素稱為合成小波，即對?f∈L2(R2)，有

對于任意的尺度參數(shù)α>0和方向參數(shù)s∈R，α和s取不同值時，Shearlet變換的頻域支集如圖1所示，本文與文獻［15］中選用同樣的參數(shù)α=2，s=1。矩陣A、S定義為

圖1 不同α和s的Shearlet頻域支集圖Fig.1 Chart of Shearlet frequency domain support with differentαands

特別地，當α=4，s=1時，即，其形式就是Shearlet。

假設(shè)有下式：

且，對于?j≥0都有

圖2 每個Shearlet頻域支撐大小Fig.2 Frequency domain size of each Shearlet

由圖3可知，不同尺度的梯形支撐區(qū)域關(guān)于原點對稱。該區(qū)域能夠很好地表示圖像曲線特征、邊緣細節(jié)特征和奇異性特征，更加適合描述圖像特征。

圖3 Shearlet頻域剖分圖Fig.3Decomposition of Shearlet frequency domain

1.2 非下采樣過程

Shearlet變換的下采樣過程容易產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，非下采樣Shearlet變換通過級聯(lián)非下采樣金字塔濾波器和非下采樣剪切波濾波器這兩個下采樣過程，與拉普拉斯金字塔相比，非下采樣金字塔濾波器組沒有下采樣的過程，因此具備平移不變性。它能夠?qū)D像分解為與原圖像相同大小的高頻子帶和低頻子帶，如圖4所示，每層分解是在上一層的低頻子帶上進行分解，得到k+1條子帶信息，有k條高頻子帶，1條低頻子帶。與Shearlet變換相比，這一特性避免了圖像在奇異點處產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象。非下采樣剪切波濾波器將高頻子帶分解為方向子帶，使得NSST具有方向敏感性。因此，NSST能夠在尺度和方向方面很好地表示圖像信息，本文利用NSST分解含噪的圖像。

該平臺面向用戶界面統(tǒng)一采用直接經(jīng)緯度坐標系統(tǒng),所有非經(jīng)緯度坐標的原始資料在服務(wù)器端轉(zhuǎn)換成經(jīng)緯度,由于目前氣象要素顯示精度要求不高(最大精度也就0.01度),各種大地坐標基準之間的差別可以忽略不計。

圖4 NSST的多個尺度多個方向的分解子帶Fig.4 Subband decomposition of NSST with multiple direction and multiple scale

2 圖像閾值去噪算法

2.1 圖像閾值去噪算法

使用NSST對圖像進行多尺度分解，由Nastar等［16］的統(tǒng)計可知，低頻子帶中包含圖像的絕大多數(shù)信息，噪聲及圖像的邊緣信息主要集中在分解圖像的高頻子帶中。因此，圖像去噪需對高頻子帶分解系數(shù)進行處理。

由圖4可以看出，NSST第k條低頻子帶分解得到第k+1條高頻子帶和低頻子帶，NSST分解的圖像在各個尺度上包含豐富的方向信息，根據(jù)胡海智等［17］對圖像去噪進行的研究，在NSST分解過程中，圖像邊緣細節(jié)信號的分解系數(shù)沿著尺度分解傳遞，有較大的傳承，即各個尺度上，同方向、同位置的分解系數(shù)具有相關(guān)性，而噪聲對應(yīng)的系數(shù)在傳遞過程中衰減很快，各個尺度上同方向、同位置的分解系數(shù)相關(guān)性不明顯。因此，可以利用相鄰尺度各方向子帶系數(shù)間的差值來區(qū)分噪聲和圖像信號，由第k個尺度和第k+1個尺度相鄰方向系數(shù)的差值大小，來判別第k+1個尺度中圖像邊緣系數(shù)和噪聲系數(shù)。

如果圖像邊緣的方向在高頻子帶的兩個方向之間，則兩者的差同樣很小，所以上述條件不足以完全判斷出噪聲與圖像邊緣系數(shù)。但由于在NSST的系數(shù)分解中，圖像邊緣細節(jié)等分解系數(shù)沿尺度傳遞，不同尺度間的系數(shù)具有傳承性，所以不同尺度中相同位置、相同方向的系數(shù)具有相關(guān)性。通過尺度間系數(shù)傳承性判別作為另一判別條件。

為得到方向信息，設(shè)尺度相關(guān)系數(shù)CorS為

其中S表示尺度數(shù)，N表示方向數(shù)，16；N=1,2,…,32，設(shè)方向相關(guān)系數(shù)CorD為

其中S=3，N=1,2,…,32。

由于邊緣具有方向信息，由同一父方向系數(shù)分解得到的相鄰子方向系數(shù)具有相關(guān)性，而噪聲系數(shù)則無此關(guān)系，因此，使用尺度相關(guān)性系數(shù)進行判定。相同父方向系數(shù)的相鄰子方向系數(shù)之間差值較大者為方向系數(shù)，否則為噪聲系數(shù)

其中S=3，N=1,2,…,16，T1為閾值系數(shù)。

其中S=3，N=1,2,…,32，T2為調(diào)節(jié)系數(shù)。

因此，本文對高頻子帶系數(shù)進行處理，首先利用（10）式判斷信號是否為圖像邊緣信號，若不是，則繼續(xù)使用（11）式判斷，若是圖像邊緣信號，則判定為第k+1尺度的圖像邊緣信號，若是噪聲，則置零。同時，由于第k尺度的一個方向系數(shù)分解為第k+1尺度的方向系數(shù)，若根據(jù)前一步判斷出第k+1尺度的方向系數(shù)均為邊緣信號，則對應(yīng)的第k尺度系數(shù)判別為圖像邊緣信號，否則判別為噪聲，進行置零。

為了有效確定閾值調(diào)節(jié)系數(shù)T1、T2的取值，本文根據(jù)閾值與去噪圖像的峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）的關(guān)系確定閾值取值［18］。

對由（10）式和（11）式求取差值和相除后的值進行排序，設(shè)閾值位置比例為R，用于確定閾值的位置，取去噪圖像的PSNR為最大值時R值為閾值最佳位置比例值，用以確定閾值的取值。

例如，設(shè)閾值位置比例為R，本文選取添加噪聲為30的Lena圖像，R以0.01為步調(diào)，在0.01到1之間進行取值，可以得到去噪圖像PSNR隨R變化的曲線如圖5所示。從圖5可以看出，當R取值0.03時，去噪圖像的PSNR最高為32.58 dB。

圖5 Lena去噪圖像PSNR隨R變化的曲線Fig.5 Changes of Lena denoising imagePSNRwithR

2.2 圖像閾值去噪算法流程圖

本文圖像閾值去噪算法流程圖如圖6所示，先對含噪圖像作NSST分解，得到低頻子帶和高頻子帶；低頻子帶中包含圖像的絕大部分信息，噪聲信息主要集中在高頻，去噪主要對高頻子帶信息進行處理；由公式（10）和（11）判斷是否為圖像的邊緣細節(jié)信號，若是，則不做任何處理；若不是，則將子帶系數(shù)置零；由處理后的高頻子帶和低頻子帶通過NSST逆變換，得到去噪后的圖像。

圖6 本文去噪算法流程圖Fig.6 Flow chart of denoising algorithm in this paper

3 結(jié)果與分析

本文算法以及對比算法都在32位Windows10操作系統(tǒng)，硬件平臺為Intel（R）Core（TM）處理器、2.00 GB內(nèi)存、3 GHz主頻的計算機上，以及實驗軟件平臺為Matlab7.0.1，選取圖像標準數(shù)據(jù)庫中的Lena圖像，圖像來源為 http：//decsai.ugr.es/～Javier/de-noise/test-images。為了體現(xiàn)本文算法的有效性及可行性，選取添加高斯噪聲標準差為30、50的Lena、Barbara圖像進行實驗（見圖7），對比算法選用小波硬閾值去噪算法［19］、小波軟閾值去噪算法［20］、圖像去噪中比較經(jīng)典的算法BM3D［21］以及基于NSST的正態(tài)逆高斯分布圖像去噪算法（NSST+NIG）［15］，實驗結(jié)果如圖8～圖11所示。

3.1 主觀評價

本文以主觀視覺效果作為主觀評價指標，圖7為Lena、Barbara原圖像，圖8～圖11為實驗后的結(jié)果，從圖中可以看出，本文算法去噪結(jié)果優(yōu)于對比算法，小波硬閾值、軟閾值均可以實現(xiàn)去噪，但出現(xiàn)一定程度的平滑和去噪不徹底，如圖9（b）小波硬閾值去噪后的圖像，噪聲去除不徹底，圖9（c）小波軟閾值去噪后的圖像，帽子上的紋理信息、帽檐處羽毛等細節(jié)信息存在一定程度的平滑；BM3D算法是圖像去噪中比較經(jīng)典的算法，通常作為圖像去噪算法的衡量標準，去噪后的效果明顯優(yōu)于小波硬閾值、小波軟閾值去噪算法；基于NSST的正態(tài)逆高斯分布去噪算法利用了NSST能夠從多個尺度多個方向上表示圖像細節(jié)信息的優(yōu)點，能夠在去噪的同時更好地表示圖像的細節(jié)紋理信息；本文算法在去噪時利用閾值去噪算法，有效確定閾值調(diào)節(jié)系數(shù)T1、T2的取值，由閾值與去噪圖像的PSNR的關(guān)系確定閾值取值，使得去噪后的圖像更具有魯棒性。從圖10和圖11中Barbara圖像去噪結(jié)果可以看出，本文算法在去噪的同時可以很好地保留圖像的細節(jié)信息，如Barbara圖像的褲管和桌布包含更多的紋理信息，去噪后的圖像能夠保留紋理細節(jié)信息。由圖8和圖9及圖10和圖11對比可以看出，對于含噪聲標準差大的圖像去噪優(yōu)越性更加突出。

圖7 Lena、Barbara原圖像Fig.7 Original images of Lena and Barbara

圖8 噪聲標準差為30的Lena圖像去噪結(jié)果Fig.8 Image denoising results of Lena with noise standard deviation as 30

圖9 噪聲標準差為50的Lena圖像去噪結(jié)果Fig.9 Image denoising results of Lena with noise standard deviation as 50

圖10 噪聲標準差為30的Barbara圖像去噪結(jié)果Fig.10 Image denoising results of Barbara with noise standard deviation as 30

圖11 噪聲標準差為50的Barbara圖像去噪結(jié)果Fig.11 Image denoising results of Barbara with noise standard deviation as 50

3.2 客觀評價

由表1可以看出，本文算法去噪后PSNR大于對比算法，小波硬閾值去噪后PSNR最小，去噪效果欠佳；小波軟閾值去噪避免了直接選取閾值使得圖像出現(xiàn)過度平滑，去噪后PSNR高于硬閾值去噪算法；BM3D去噪算法為經(jīng)典的圖像去噪算法，去噪后的峰值信噪比優(yōu)于小波閾值去噪算法；NSST+NIG算法利用了NSST能夠更加準確地表示圖像的細節(jié)信息，使得去噪后的PSNR有所提升；本文去噪算法既利用了NSST的優(yōu)勢，又結(jié)合了由去噪圖像的PSNR與閾值的關(guān)系確定閾值，使得閾值的選取更加靈活，去噪效果進一步提升。

表1 本文算法及對比算法去噪PSNR結(jié)果（Lena圖像）Tab.1 PSNRresults of the proposed algorithm and contrast algorithm（Lena image） /dB

4 結(jié)論

圖像去噪是圖像檢測與識別的關(guān)鍵，本文選取NSST作為多尺度分解工具能夠更好地描述圖像細節(jié)信息，利用閾值去噪方法對高頻子帶分解系數(shù)進行處理，最后由高、低頻子帶分解系數(shù)重構(gòu)原圖像，從而得到去噪后的圖像。仿真實驗結(jié)果表明，NSST對尺度分解工具比小波變換能最優(yōu)表示二維圖像的奇異曲線，本文閾值由系數(shù)和PSNR共同確定，增強了圖像去噪的魯棒性，在視覺效果和峰值性噪比方面均有所提高，證實了本文算法的有效性。