王磊 王成功

在解決直線和圓的問題時，大家的解題思路往往受到方程思想的禁錮，只會一味地設(shè)方程、列方程（組）來解決問題，導(dǎo)致有些問題解決起來既繁又雜，甚至做不出來，本文將介紹一類直線與圓中的定點(diǎn)問題，挖掘隱含定點(diǎn)，另辟蹊徑，即可輕松解決.

一、定點(diǎn)與參數(shù)范圍

例1 已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）不過第四象限，求k的取值范圍.

閱讀完題干，大部分同學(xué)很困惑，不知從哪下手解決問題，對參數(shù)進(jìn)行討論是很多同學(xué)可能會想到的一個途徑，但是討論分類的依據(jù)是什么？往哪方面去討論都沒有明確的方向.

此時，如果我們結(jié)合問題——求k的取值范圍，把已知直線方程的k提取公因式，不難發(fā)現(xiàn)，方程可化為k（x+2）-y+l=0，不難發(fā)現(xiàn)，直線必過定點(diǎn)（-2，1），因此直線不過第四象限，通過圖象易得，直線在y上的截距必須大于等于l.

解 因?yàn)橹本€kx-y+1+2k=0（k∈R）可化為k（x+2）-y+l=0，必過點(diǎn)（-2，1），所以直線不過第四象限，所以2k+l≥1，k≥0.

本題如果不挖掘隱含的定點(diǎn)問題，雖然也能通過設(shè)出方程，分別求出兩坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)來解決，但是計(jì)算量比較大也容易導(dǎo)致錯誤.

二、定點(diǎn)決定位置關(guān)系

例2直線l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0與圓x²+y²+2x-6y-15=0 的交點(diǎn)個數(shù)是_______.

對于本題同學(xué)們拿到手就有不少思路，思路一：求出圓心到直線的距離，再比較距離和圓半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷;思路二：聯(lián)立方程組，利用判別式判斷方程組的解的個數(shù).

這兩種思路顯然都可以解決本題，但是第一種做法距離含有參數(shù)，第二種解二元二次方程組計(jì)算量太大，顯然這兩種方法都不簡潔.

當(dāng)我們把直線方程處理成（3x-2y+4）m++x+3y-17=0，可知直線必過直線3x-2y+4=0與x+3y-17=0的交點(diǎn)，只需要判斷計(jì)算該定點(diǎn)在圓外、圓上還是圓內(nèi)即可.

通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，顯然是解決本題的一條捷徑，

例3圓x²+y²-4x+6y=0與圓x²+y²-6x=0相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是_________.

本題很多同學(xué)的解決辦法是，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)A，B及兩點(diǎn)所在直線的斜率，再求中點(diǎn)，根據(jù)兩直線垂直的斜率之間的關(guān)系，確定垂線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程.然而，這樣做計(jì)算量已經(jīng)很大了，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，兩圓相交時，兩圓心的連線垂直平分公共弦，因此所求直線必然過兩個圓的圓心，這樣無需解方程，直接將點(diǎn)代人直線方程即可，

解 因?yàn)閳Ax²+y²-4x+6y=0與圓x²+y²-6x=0的圓心分別是（2，-3）和（3，0），所以兩圓交線的垂直平分線即為過（2，-3）和（3，0）的直線，易得直線方程為3x-y=0.

三、挖掘定點(diǎn)，巧設(shè)方程

例4 求經(jīng)過直線l₁：2x+3y-5=0 和直線l₂：3x-2y-3=0的交點(diǎn)，且與直線2x+y-3=0平行的直線方程.

解決本題可以先聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)，再結(jié)合與已知直線平行，求出直線斜率，進(jìn)而求出直線方程，這樣必需解方程組，難免會有一定的計(jì)算，既然所求直線必過兩直線的交點(diǎn)，那么可通過設(shè)過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，再結(jié)合與已知直線平行，無需解方程組即可解決本題.

利用過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程，可以在不求交點(diǎn)的情況下輕松求直線方程，

例5 已知兩圓M：x²+y²=10和圓Nx²+y²+2x+2y-14 =0，求過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線x+2y-3=0上的圓的方程，

本題很多同學(xué)的思路是，先聯(lián)立方程組，求出兩圓交點(diǎn)，再設(shè)出圓心，進(jìn)而利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等，再解方程，得出圓心和半徑，進(jìn)而求出圓的方程.這種做法需要多次解方程組和解方程，計(jì)算量很大，根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，我們可以直接設(shè)出直線方程，進(jìn)而得出圓心，把圓心直接代人直線方程即可求出圓心和所求圓的方程.

通過以上幾例，我們不難看出在解決直線與圓等有關(guān)問題時，如果所給條件或者是多求問題含有定點(diǎn)，充分挖掘出定點(diǎn)，發(fā)揮定點(diǎn)在問題中的作用，就可以另辟蹊徑解決問題，這樣在多數(shù)情況下，都可以起到少解方程少計(jì)算，甚至直接得出答案的作用.