南愛玲

直線，以其直白的外形率先進(jìn)入我們的視野，首先吸引我們的是它簡潔直觀的幾何美.學(xué)習(xí)了直線的方程后，直線是平面直角坐標(biāo)系中二元一次方程所表示的圖形.我們進(jìn)一步感受到了直線方程的代數(shù)美，斜截式的簡潔美，點(diǎn)斜式的形象美，截距式的對(duì)稱美都讓我們?yōu)橹钌畹刂?從平面解析幾何的角度看，直線是幾何圖形，直線的方程是其代數(shù)形式，用代數(shù)的方法研究幾何圖形，正是平面解析幾何的精髓所在.

一、直線方程有五式，一兀一次為其宗

哪些條件下可以求直線的方程呢？知道了直線上的兩個(gè)點(diǎn)，或者已知一點(diǎn)和直線的斜率，都可以直接運(yùn)用公式來求直線方程.接下來讓我們隨著例題，一起思考如何求直線的方程，

例1 已知△AF₁F₂的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，3），F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），求∠F₁AF₂的平分線所在的直線方程.

同學(xué)們，當(dāng)你讀完題目時(shí)，你是怎么想的呢？

這條直線上已經(jīng)有一點(diǎn)A，只要再求出一點(diǎn)，或者求出其斜率，問題就解決啦！沒錯(cuò)，這樣想就對(duì)了！

我們來看第一種思路：求一個(gè)特殊點(diǎn).

直線上的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，你會(huì)求哪個(gè)點(diǎn)呢？我們喜歡簡單點(diǎn)，比如直線與z軸的交點(diǎn)或者與y軸的交點(diǎn)，因?yàn)閴m標(biāo)軸上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)為0，可以簡化運(yùn)算，順著這個(gè)思路，我們來求求看.

到這里，南老師要問同學(xué)們一個(gè)問題了：什么叫直線的方程??？答：直線的方程就是求直線上任意一點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間滿足的關(guān)系.那我們能否從這個(gè)角度來解決問題呢？OF COURSE！

解完題，同學(xué)們會(huì)不會(huì)有這樣一個(gè)疑問：為什么會(huì)有兩解呢？如何取舍的呢？（請(qǐng)聰明的你思考3秒鐘）角平分線有兩條，一條是內(nèi)角平分線，還有一條就是外角平分線啦，本題顯然要求的是內(nèi)角平分線.

我們回到題目本身再來看，說到角平分線，你還會(huì)想到什么呢？沒錯(cuò)，有一個(gè)定理叫角平分線定理，說的是△ABC中，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，則有AB/AC=BD/DC（有興趣的同學(xué)可以去證明一下哦，此處不再贅述）.由此，我們可以得到本題的第三種解法：

解法3 設(shè)所求直線l交x軸于點(diǎn)T（t，0），由內(nèi)角平分線定理知F₁T/TF₂=F₁A/AF₂=5/3，又F₁F₂=4，可求得T（1/2，o），k_AT=2，直線l的方程是2x-y-1=0.

說到角平分線，我們還會(huì)想到，在等腰三角形中高、角平分線和中線三線合一，但是本題不是等腰三角形，怎么辦呢？沒關(guān)系，沒有等腰三角形，我們可以構(gòu)造?。?/p>

解法4 延長AF₂至AD使A =AF₁=5，則點(diǎn)D（2，-2），由等腰三角形三線合一知FiD的中點(diǎn)M（O，-1）在直線l上，k_AM=2，所以直線l的方程是2x-y=0.

比較上面四種不同的解法，方法一特殊化，在直線上再求出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來求直線方程;方法二從直線方程的視角，研究直線上任意一點(diǎn)橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系;方法三從角平分線定理出發(fā)求出直線與x，軸交點(diǎn)的坐標(biāo);方法四從三角形的視角，構(gòu)造等腰三角形解決問題.我們發(fā)現(xiàn)在求直線的方程時(shí)，抓住問題的本質(zhì)，從各個(gè)不同的視角去審視，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來直線的世界如此精彩！

二、平移旋轉(zhuǎn)為變化，斜率定點(diǎn)為其宗

直線的方程由點(diǎn)和斜率確定，點(diǎn)定斜率不定時(shí)，直線繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成直線束;斜率定而位置不定時(shí)，直線以相同的傾斜程度平移形成直線束.在碰到此類問題時(shí)，我們要在動(dòng)中求定，以靜制動(dòng).例2 圓C：（x-2）²+（y-2）²=9，直線l：（2m+1）x+（m+l）y-7m-4 =0（m∈R）.（l）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn).（2）求直線l被圓C截得的弦長最小時(shí)直線l的方程，

到這里，問題就愉快地解決了，解完題，我們?cè)倩仡^看一看：第一種方法，找到定點(diǎn)，運(yùn)算量較小，第二種代數(shù)方法，運(yùn)算量略大，但也不是高不可攀的，這也正應(yīng)了我們數(shù)學(xué)上的那句名言：多思則少算，少思則多算，聰明的你，想到了哪種方法呢？還有沒有不一樣的做法呢？跟你的小伙伴們好好探討一下吧！