焦建軍,曾熙軒,李利梅

(1.貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院,貴州貴陽 550025)

(2.貴州財經(jīng)大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院,貴州貴陽 550025)

1 引言

冬眠也叫“冬蟄”.某些動物在冬季時生命活動處于極度降低的狀態(tài),是這些動物對冬季外界不良環(huán)境條件的一種適應(yīng)[1,2].

然而,隨著社會的發(fā)展,環(huán)境污染也變得越來越嚴(yán)重,由于環(huán)境毒素的存在對種群的生存存在嚴(yán)重的危害,而由于天氣環(huán)境的變化、污染源對環(huán)境脈沖排放環(huán)境毒素等造成了環(huán)境生物多樣性的減少[3,4].近年來,多生物數(shù)學(xué)家[5?10]對污染環(huán)境下的數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生濃厚的興趣.同時也有許多學(xué)者對種群的階段結(jié)構(gòu)有所研究[11?13].

基于上述討論,本文討論污染環(huán)境下具冬眠特征的階段結(jié)構(gòu)單種群動力學(xué)模型,分析其動力學(xué)行為,為污染環(huán)境下具冬眠特征的生物資源管理提供決策支持.

2 模型

常微分方程描述的階段結(jié)構(gòu)種群模型.

其中x(t)表示種群幼體在時刻t的密度,y(t)表示種群成體在時刻t的密度,b>0表示種群出生率系數(shù),c>0表示種群幼體向種群成體轉(zhuǎn)化的系數(shù),d1>0表示種群幼體的死亡系數(shù),d2>0表示種群成體的死亡系數(shù).

考慮到種群的脈沖出生,那么上述模型可修改為

其中x(t)表示種群幼體在時刻t的密度,y(t)表示種群成體在時刻t的密度,c>0表示種群幼體向種群成體轉(zhuǎn)化的系數(shù),d1>0表示種群幼體的死亡系數(shù),d2>0表示種群成體的死亡系數(shù),a>0表示種群脈沖出生系數(shù),b>0表示種群脈沖出生的種內(nèi)競爭系數(shù),τ>0表示種群脈沖出生周期.

而污染環(huán)境下的毒素具脈沖輸入的單種群動力學(xué)模型

其中x(t)表示種群在時刻t的密度,ce(t)表示環(huán)境毒素在時刻t的濃度,a>0表示種群內(nèi)稟增長率系數(shù),b>0表示種內(nèi)競爭系數(shù).β>0表示種群受毒素的影響造成種群的死亡系數(shù),g>0表示毒素受陽光等生化反應(yīng)作用的影響的消耗系數(shù),μ>0表示環(huán)境變化等影響下毒素輸入種群生活環(huán)境的濃度量,τ>0表示毒素脈沖輸入環(huán)境的周期.

考慮到具冬眠特征種群,建立毒素具脈沖輸入與種群脈沖出生的切換階段結(jié)構(gòu)單種群階段結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型其中x(t)表示種群幼體在時刻t的密度,y(t)表示種群成體在時刻的密度,ce(t)表示環(huán)境毒素在時刻t的濃度,c>0表示種群幼體轉(zhuǎn)化為成體的轉(zhuǎn)化率,d1>0表示種群幼體在非冬眠期的死亡系數(shù),也表示種群成體在非冬眠期的死亡系數(shù),β>0表示種群幼體在非冬眠期由于環(huán)境毒素而引發(fā)的死亡系數(shù)，也表示種群成體在非冬眠期由于環(huán)境毒素而引發(fā)的死亡系數(shù),h1>0表示在種群非冬眠期環(huán)境毒素因在環(huán)境生化作用消耗系數(shù),a>0表示種群成體脈沖出生的出生系數(shù),b>0表示種群成體出生的種內(nèi)競爭系數(shù),d2表示種群幼體在冬眠期的死亡系數(shù),也表示種群成體在冬眠期的死亡系數(shù),h2>0表示在冬眠期環(huán)境毒素因在環(huán)境生化作用消耗系數(shù),μ>0表示環(huán)境毒素濃度的脈沖輸入,τ>0表示種群的脈沖出生周期.

3 主要結(jié)論

方程組(2.4)右邊的函數(shù)f=(f1,f2,f3),方程組(2.4)的解z:R+→ R3+是一個分段連續(xù)的函數(shù),z(t)=(x(t),y(t),ce(t))T,R+=[0,+∞),={z∈R3|z>0},z(t)在(nτ,(n+l)τ]×是連續(xù)的,在((n+l)τ,(n+1)τ]×也是連續(xù)的.根據(jù)文獻(xiàn)[9],f 的光滑性保證了方程組(2.4)的解的全局存在性和唯一性.

設(shè)V:R+×→R+,那么V屬于V0,如果

存在;

II)V在z是局部李普希茨的.

引理1 考慮系統(tǒng)(2.4)的子系統(tǒng)

則(3.1)式存在全局漸近穩(wěn)定的周期解

證 系統(tǒng)(3.1)的第一個方程在(nτ,(n+l)τ]上積分可得

系統(tǒng)(3.1)的第三個方程在((n+l)τ,(n+1)τ]上積分可得

考慮到系統(tǒng)(3.1)的脈沖效應(yīng)可得到頻閃映射

于是容易得到(3.5)式的唯一不動點

由(3.5)式可以得

對(3.7)式求導(dǎo)可得

所以系統(tǒng)(3.5)唯一的不動點

是局部穩(wěn)定的,從而是全局漸近穩(wěn)定的.與參考文獻(xiàn)[13]同理,可知(3.5)式存在全局漸近穩(wěn)定的周期解

注1 由引理1可知,對任意的ε>0有

考慮系統(tǒng)(2.4)的子系統(tǒng)

由系統(tǒng)(3.10)的第一個與第二個方程,容易得到脈沖點之間的解析解為

考慮到系統(tǒng)(3.10)的第三、第四個方程與第七、第八個方程的脈沖效應(yīng),得到系統(tǒng)(3.10)的頻閃映射

計算(3.12)式,可得到兩個不動點P1(0,0)與P2(x?,y?),其中

定理2(i)如果(A?1)(1?F)+BE<0,那么不動點P1(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(A?1)(1?F)+BE>0,那么不動點P2(x?,y?)是全局漸近穩(wěn)定的,其中x?和y?按照(3.13)式定義.

證 為了方便計算,做記號(xn+1,yn+1)=(x((n+1)τ+),y((n+1)τ+)),那么差分方程(3.12)線性化后可以寫為

顯然系統(tǒng)(3.12)的不動點P1(0,0)與P2(x?,y?)的附近的動力學(xué)性質(zhì)由其線性系統(tǒng)(3.14)決定,M 作為線性系統(tǒng)(3.14)的矩陣,不動點P1(0,0)與P2(x?,y?)的穩(wěn)定性由M 的特征值小于1來決定.當(dāng)M 滿足如下的Jury判據(jù)條件時,可知M 的特征值小于1[13],

(i)當(dāng)(A?1)(1?F)+BE<0時,顯然P1(0,0)是系統(tǒng)(3.12)唯一的不動點,于是得到

由Jury判據(jù)條件

所以系統(tǒng)(3.12)唯一的不動點P1(0,0)是局部穩(wěn)定的,從而是全局漸近穩(wěn)定的.

(ii)當(dāng)(A?1)(1?F)+BE>0時,顯然P1(0,0)與P2(x?,y?)是系統(tǒng)(3.12)的不動點.由(i)的證明過程容易知道系統(tǒng)(3.12)的不動點P1(0,0)是不穩(wěn)定的.考慮不動點P2(x?,y?),得到

于是

由Jury判據(jù),所以系統(tǒng)(3.12)的不動點P2(x?,y?)是局部穩(wěn)定的,從而是全局漸近穩(wěn)定的.

類似參考文獻(xiàn)[13],可以得到如下的引理.

定理3 (i)如果(A?1)(1?F)+BE<0,那么系統(tǒng)(3.12)的平凡周期解(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(A?1)(1?F)+BE>0,那么系統(tǒng)(3.12)的正周期解(gx(t),gy(t))是全局漸近穩(wěn)定的,其中

且x?與y?如(3.13)式所定義.

注2 由引理1與定理3可知,當(dāng)(A?1)(1?F)+BE>0,存在M>0使得x(t)

考慮到

容易得到系統(tǒng)(3.19)的比較方程

并考慮到(2.4)式的子系統(tǒng)(3.10).

從而容易得到與(3.20)式的頻閃映射

計算(3.21)式可得到兩個不動點Q1(0,0)與Q2(x?,y?),其中

于是類似定理1與定理3可得

定理4(i)如果(A1?1)(1?F1)+B1E1<0,那么不動點Q1(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(A1?1)(1?F1)+B1E1>0,那么不動點Q2(x?1,y?1)是全局漸近穩(wěn)定的,其中x?1和y?1按照(3.22)式定義.

定理5(i)如果(A1?1)(1?F1)+B1E1<0,那么系統(tǒng)(3.20)的平凡周期解(0,0)是全局漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(A1?1)(1?F1)+B1E1>0,那么系統(tǒng)(3.20)的正周期解(]x1(t),]y1(t))是全局漸近穩(wěn)定的,其中

由定理3與定理5容易得

定理6(i)如果(A?1)(1?F)+BE<0,那么系統(tǒng)(2.4)種群滅絕;

(ii)如果(A1?1)(1?F1)+B1E1>0,系統(tǒng)(2.4)種群持久.

4 結(jié)語

本文考慮污染環(huán)境、生物冬眠與種群階段結(jié)構(gòu),建立毒素脈沖輸入與種群脈沖出生的階段結(jié)構(gòu)切換單種群動力學(xué)模型,根據(jù)定理6的結(jié)論可以知道脈沖輸入的毒素濃度存在一個閾值μ?,當(dāng)μ>μ?時,系統(tǒng)(2.4)種群滅絕;當(dāng)μ<μ?時,系統(tǒng)(2.4)種群持久.所得結(jié)論告訴我們控制治理污染的力度能夠保護(hù)環(huán)境生物的多樣性,特別是環(huán)境污染控制的閾值為污染環(huán)境下生物資源管理提供決策支持.