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        一類分?jǐn)?shù)階不確定重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        2018-12-03 03:16:10劉瑞娟康美玲林海燕
        關(guān)鍵詞:被控觀測(cè)器線性

        劉瑞娟,康美玲,徐 欣,林海燕

        (廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361024)

        近20年來(lái),分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階控制理論得到了前所未有的發(fā)展,在彈性材料、圖像處理、電化學(xué)過(guò)程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-2],表現(xiàn)出比一般的整數(shù)階系統(tǒng)更加優(yōu)良的控制性能。然而當(dāng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)考慮模型不確定性時(shí),則對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)較大的困難[3-4]。常規(guī)方法不易直接運(yùn)用到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中。

        穩(wěn)定性是一個(gè)系統(tǒng)最為基本的特性,同時(shí)也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)作的前提。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究目前已取得了一系列成果。1996年,Matignon[5]以有限維的線性微分方程為研究對(duì)象對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究。 Chen等[6-7]討論了含區(qū)間不確定性系數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的魯棒能控性,并利用線性矩陣不等式方法解決了含不確定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌同步問(wèn)題。Sabatier等[8]得到復(fù)數(shù)域上分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(0<α<1)狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分必要條件;Lu等[9]分別研究了在1<α<2和0<α<1的情況下分?jǐn)?shù)階區(qū)間不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并分別得到狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充分必要條件及充分條件。Lan等[10]提出的基于觀測(cè)器的方法使分?jǐn)?shù)階標(biāo)稱系統(tǒng)獲得了優(yōu)于文獻(xiàn)[9]的穩(wěn)定性及控制性能。然而,現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未對(duì)參考輸入為周期信號(hào)的分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能及跟蹤控制展開(kāi)研究。本文針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階不確定重復(fù)控制系統(tǒng),建立基于分?jǐn)?shù)階觀測(cè)器的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),應(yīng)用間接Lyapunov方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

        1 預(yù)備知識(shí)

        引理1[11]:分?jǐn)?shù)階非線性微分方程

        Dαx(t)=f(x(t)),

        采用分?jǐn)?shù)積分器的連續(xù)頻率分布模型,可以等價(jià)為

        (1)

        引理2(Schur補(bǔ))[12]:對(duì)給定對(duì)稱矩陣Σ,

        (2)

        引理3[13]:給定有合適維度的矩陣H和E,對(duì)于所有的F(t),F(xiàn)T(t)F(t)≤I,

        HF(t)E+ETFT(t)HT<0

        (3)

        成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在ε>0,滿足:

        εHHT+ε-1ETE<0。

        (4)

        (5)

        2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

        考慮帶不確定性的重復(fù)控制系統(tǒng)

        (6)

        式(6)中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,u(t)∈Rp與y(t)∈Rq分別表示控制輸入與輸出,系統(tǒng)參數(shù)A,B和C則為具有適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣,被控對(duì)象的不確定性表達(dá)式為

        (7)

        式(7)中:M,N0和N1為已知常數(shù)矩陣,E(t)∈Rn×n有界且勒貝格可測(cè)。

        構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測(cè)器的重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),如圖1所示。

        圖1 分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

        該控制系統(tǒng)由不確定被控對(duì)象、分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測(cè)器和重復(fù)控制器組成。

        重復(fù)控制器即為常見(jiàn)的含有時(shí)滯項(xiàng)及低通濾波器的模塊,濾波器為如下形式:

        (8)

        式(8)中:ωc表示的是濾波器的剪切角頻率。則重復(fù)控制器的狀態(tài)空間表達(dá)式為

        (9)

        采用龍伯格型全維狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)被控對(duì)象的狀態(tài),設(shè)為

        (10)

        (11)

        圖1中控制輸入為

        (12)

        (13)

        由式(6) (10)和(12),得

        (14)

        結(jié)合式(6)(10)(11)和(12),有

        (15)

        將式(6)代入式(9),得

        (16)

        聯(lián)立式(14)~(16)得出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

        (17)

        式(17)中:

        3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

        對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。假設(shè)輸出矩陣的奇異值分解為

        (18)

        定理1:如果存在對(duì)稱正定矩陣X1,Y11,Y22,X2,X11,X22,X3,以及合適維數(shù)的矩陣W1,W2,W3,W4,W5,使得如下線性矩陣不等式可行:

        (19)

        式(19)中:

        那么系統(tǒng)(17)是魯棒穩(wěn)定的,且控制器參數(shù)如下:

        Kp=W1X1-1,Ke=W2USY11S-1UT,L=W3USX11S-1UT。

        (20)

        證明:首先,利用引理1,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)方程可寫(xiě)為

        (21)

        選取如下Lyapunov函數(shù):

        (22)

        其中P是對(duì)稱正定矩陣,對(duì)V(t)求一階導(dǎo),得

        (23)

        在此基礎(chǔ)上,把上述式子得到的結(jié)果分成確定項(xiàng)Ω1和不確定項(xiàng)Ω2。

        (24)

        應(yīng)用引理2,式(24)等價(jià)于:

        (25)

        令X=P-1,將式(19)分別左乘,右乘diag{X,I,I,I},得

        (26)

        (27)

        得式(19)(20),定理得證。

        控制器參數(shù)設(shè)計(jì)算法:(1)根據(jù)被控對(duì)象參數(shù)分別選取ωc,ε,ε1;(2)根據(jù)定理1編寫(xiě)程序,由式(20)得到控制器參數(shù)。

        4 數(shù)值算例分析

        假設(shè)系統(tǒng)(1)中各參數(shù)為

        (28)

        將狀態(tài)空間方程中剪切頻率的參數(shù)設(shè)為ωc=100。選取ε=1,ε1=1,根據(jù)定理1,應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱,結(jié)合程序運(yùn)行可求得tmin=-0.025 4<0,并得到線性矩陣不等式的一組可行解:

        (29)

        從該算例可以看出,當(dāng)系統(tǒng)包含模型不確定性時(shí),運(yùn)用本文方法可以得到使重復(fù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的可行解,并使系統(tǒng)獲得良好的控制性能。該方法基于與模型同階的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測(cè)器,能夠很好地估計(jì)被控對(duì)象的狀態(tài),且算法簡(jiǎn)便易行。

        5 結(jié)語(yǔ)

        本文提出了一種分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法?;谂c被控對(duì)象同階的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測(cè)器,建立控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu),得到狀態(tài)空間方程,應(yīng)用間接Lyapunov方法及線性矩陣不等式理論,推導(dǎo)出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件以及控制器參數(shù)。通過(guò)數(shù)值算例,應(yīng)用Matlab工具箱驗(yàn)證了所提方法的可行性,并使系統(tǒng)獲得良好的控制性能。

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