余 寧，阮 毅，麥麗菊

（廣東省機(jī)械研究所，廣東廣州 510635）

0 引言

諧波齒輪傳動(dòng)裝置具有體積小、承載能力大、傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)器人等諸多領(lǐng)域。雙圓弧齒廓同普通的齒形相比，不僅可以增加齒輪的嚙合對(duì)數(shù)，而且還可以有效地改善普通齒輪嚙合時(shí)易產(chǎn)生尖點(diǎn)和干涉的情況，從而進(jìn)一步提高諧波傳動(dòng)裝置的嚙合性能［1-3］。本文作者以雙圓弧齒廓諧波傳動(dòng)為研究對(duì)象，對(duì)諧波傳動(dòng)裝置中的柔輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且利用MATLAB軟件對(duì)與之嚙合的剛輪的齒形進(jìn)行設(shè)計(jì)[4]。

1 柔輪齒形設(shè)計(jì)

以設(shè)計(jì)減速比為i=80，模數(shù)m=0.3，輸入轉(zhuǎn)矩為72 N·m的諧波減速器為例，求解諧波減速器的柔輪和剛輪齒形參數(shù)。由諧波減速器傳動(dòng)比的公式可得，柔輪齒數(shù)為Z1=160，剛輪齒數(shù)為Z2=162。

1.1 齒高和嚙合深度

根據(jù)嚙合情況，柔輪理論齒高h(yuǎn)=2m與標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線圓柱齒輪相同，但其嚙合深度卻不同，其嚙合深度hd1為(1 . 2～1.3) m。柔輪與剛輪全齒高不等于嚙合深度，因此柔輪的全齒高可在一定范圍波動(dòng)，同時(shí)齒根高h(yuǎn)f可比齒頂高h(yuǎn)a略大，以預(yù)留嚙合間隙Ca及增大齒根彎曲強(qiáng)度[5]。最后雙圓弧諧波齒輪柔輪全齒高可初定為(1.8～2.2)m，柔輪齒頂高 ha可以取為(0.7～1.0)m，齒根高h(yuǎn)f為(1.1～1.5)m，齒頂間隙Ca為(0.2～0.35)m。

1.2 嚙合角

在雙圓弧齒廓中，柔輪與剛輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不受齒廓形式的影響，壓力角的大小只影響齒輪的受力情況和齒輪強(qiáng)度，因此根據(jù)諧波傳動(dòng)的特點(diǎn)，諧波傳動(dòng)圓弧齒廓的壓力角α0一般取25°。

1.3 齒廓圓弧半徑差

齒廓圓弧半徑差Δρ會(huì)影響傳動(dòng)靈敏度，數(shù)值應(yīng)根據(jù)齒輪的制造及裝配精度還有齒輪模數(shù)來(lái)確定。若半徑差Δρ太小，則會(huì)靈敏反應(yīng)各個(gè)位置的變化，使誤差變大；若Δρ太大，則會(huì)導(dǎo)致齒輪跑和緩慢。對(duì)于小模數(shù)的軟齒面雙圓弧齒輪，齒廓圓弧半徑差Δρ常取[6]：

1.4 齒厚比

齒厚比K是節(jié)圓上齒槽寬度Sf與齒厚Sa的比值，即K=Sf/Sa。齒厚比的大小主要影響雙圓弧輪齒的彎曲強(qiáng)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般取K為1.1～1.3。

1.5 柔輪齒廓圓弧半徑

在壓力角不變的情況下，齒廓圓弧半徑ρ減小，力的作用點(diǎn)離危險(xiǎn)截面更近，齒根彎曲疲勞強(qiáng)度增強(qiáng)；反之，齒面接觸疲勞強(qiáng)度提高。因而對(duì)于軟齒面雙圓弧齒輪，通常取柔輪凸齒廓圓弧半徑 ρa(bǔ)=（1.15～1.5）m。而柔輪凸齒廓圓弧半徑ρf根據(jù)齒廓圓弧半徑差Δρ與ρa(bǔ)關(guān)系取值。

根據(jù)上述參數(shù)選擇原則，確定本設(shè)計(jì)柔輪齒廓參數(shù)如表1所示。

表1 柔輪輪齒齒廓參數(shù)

1.6 非齒廓參數(shù)

由于柔輪的非齒廓參數(shù)并不是設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，所以直接給出其參數(shù)值如表2所示。

表2 柔輪非齒廓尺寸參數(shù)

圖1 柔輪齒廓參數(shù)

計(jì)算得出柔輪凸齒圓心偏移量Xa和la：

根據(jù)兩圓心連線交于點(diǎn)B，得凹齒圓心偏移量：

2 共軛剛輪齒廓設(shè)計(jì)

共軛剛輪齒廓參數(shù)主要通過(guò)分析柔輪變形情況，得出變形量的變化函數(shù)式，之后運(yùn)用包絡(luò)法得到參數(shù)間的變量關(guān)系，最后采用數(shù)值法解變量方程組得到[7-9]。

2.1 齒廓分析的前提假設(shè)

諧波傳動(dòng)的兩個(gè)定律如下：

（1）諧波傳動(dòng)的轉(zhuǎn)速比只與相互運(yùn)動(dòng)的兩條特征曲線的周長(zhǎng)有關(guān)，而與其形狀無(wú)關(guān)。

（2）共軛齒廓在嚙合過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況是由所選用的齒形和運(yùn)動(dòng)時(shí)的特征曲線共同決定的。

諧波齒輪傳動(dòng)計(jì)算中的幾點(diǎn)假設(shè)如下：

（1）剛輪和柔輪兩共軛特征曲線SR和SG，在波發(fā)生器裝入柔輪后發(fā)生變形，但柔輪特征曲線總周長(zhǎng)不變，即變形前后SR周長(zhǎng)不變，只是形狀發(fā)生變化。

（2）假設(shè)傳動(dòng)過(guò)程中齒形不發(fā)生變化，但是齒槽中部發(fā)生變化。

（3）假設(shè)中線呈規(guī)律性變化。

（4）柔輪每個(gè)輪齒的對(duì)稱線都與特征曲線SR的切線相垂直，而且每個(gè)輪齒所對(duì)應(yīng)的特征曲線SR的弧長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)相等。

在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，將輪齒去除后的柔輪、剛輪的曲線分別成為柔輪、剛輪的特征曲線SR、SG，如圖2所示。

圖2 諧波傳動(dòng)柔輪與剛輪特征曲線嚙合示意圖

2.2 柔輪與剛輪共軛過(guò)程理論分析

2.2.1 建立坐標(biāo)系

為了說(shuō)明柔輪與剛輪的共軛過(guò)程，建立描繪柔輪特征曲線SR的極坐標(biāo)SR(ρR,φR)、描繪剛輪特征曲線SG的極坐標(biāo)SG(ρG,φG)、描繪共軛齒廓的3個(gè)直角坐標(biāo)系CR(xR,yR)、CG(xG,yG)、C0(x0,y0)。并設(shè)定這些坐標(biāo)系初始位置是極軸ρR(0)、 ρG(0)，縱坐標(biāo)yR、yG、y0全部重合，如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)系示意圖

（1）極坐標(biāo)SR(ρR,φR)：坐標(biāo)原點(diǎn)為柔輪特征曲線SR的中心，即波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心上，極軸為ρR波發(fā)生器的長(zhǎng)軸。

（2）極坐標(biāo)SG(ρG,φG)：坐標(biāo)原點(diǎn)為柔輪特征曲線SG的中心，即剛輪的回轉(zhuǎn)中心，極軸ρG為縱線（鉛垂線）。

（3）直角坐標(biāo)系CR(xR,yR)：坐標(biāo)原點(diǎn)定于柔輪特征曲線上，縱軸yR是柔輪輪齒齒廓的對(duì)稱線，其坐標(biāo)原點(diǎn)是輪齒的對(duì)稱線與特征曲線的交點(diǎn)。

（4）直角坐標(biāo)系CG(xG,yG)：坐標(biāo)原點(diǎn)定于剛輪特征曲線上，縱軸是剛輪輪齒齒廓對(duì)稱線，坐標(biāo)原點(diǎn)與諧波傳動(dòng)裝置的回轉(zhuǎn)中心重合。

（5）直角坐標(biāo)系C0(x0,y0)：固定基礎(chǔ)坐標(biāo)系，縱軸為鉛垂線，原點(diǎn)與諧波傳動(dòng)裝置的回轉(zhuǎn)中心重合。

2.2.2 建立微分方程組

將柔輪齒廓轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程：

式中：R1為柔輪齒廓圓弧半徑 ρa(bǔ)，xc1為橫坐標(biāo)偏移量-la，yc1為縱坐標(biāo)偏移量Xa，θ1為柔輪凸齒廓半徑所對(duì)應(yīng)的角度。

剛輪特征曲線方程SG：ρG=rG

柔輪特征曲線方程SR： ρR=rR+ω0cos2φ

式中：φ為柔輪非變形端的轉(zhuǎn)角，ω0為柔輪徑向變形量系數(shù)，rG和rR為剛輪和柔輪的半徑。

使用包絡(luò)法求剛輪齒廓，各參數(shù)表達(dá)式如下：

柔輪特征曲線SR對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的中心角：

剛輪特征曲線SG對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的中心角：

剛輪固定時(shí)，相應(yīng)特征曲線SR、SG對(duì)應(yīng)弧對(duì)應(yīng)的中心角之差：

剛輪固定時(shí)，相應(yīng)CR、CG兩坐標(biāo)夾角：

式中，μ為柔輪對(duì)稱軸線相對(duì)于徑矢轉(zhuǎn)過(guò)的角度，ω為柔輪的徑向變形量。

由變換矩陣得：

最終得到：

式中φ與參數(shù)θ間的關(guān)系以隱函數(shù)的方式給出，它們的關(guān)系不能用初等函數(shù)表達(dá)，求解剛輪理論齒廓需要采用數(shù)值法。

2.3 剛輪齒廓求解

由于剛輪齒廓變量中φ與θ只能用數(shù)值法求解，計(jì)算過(guò)程單一但計(jì)算量大，因而使用Matlab編程計(jì)算，該程序也可作為通用的剛輪共軛齒廓求解程序。

數(shù)值法求解流程如下：

（1）設(shè)定θ的范圍，將其離散化成N個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的解；

（2）當(dāng)θ為第n個(gè)點(diǎn)時(shí)，根據(jù)包絡(luò)方程關(guān)系式，運(yùn)用二分法不斷縮小解的范圍；

（3）當(dāng)解的范圍小于設(shè)定范圍后，認(rèn)為該范圍中點(diǎn)值即為該次θ的解；

（4）重復(fù)上述步驟得到一系列的θ解；

（5）最后根據(jù)θ與其他變量的關(guān)系得到剛輪齒廓參數(shù)。

由上述剛輪共軛齒廓求解，編寫MATLAB程序，并將數(shù)據(jù)代入程序中，得到剛輪雙圓弧齒廓中兩個(gè)圓弧曲線的圓心和半徑參數(shù)，用數(shù)值法得到的一系列的數(shù)據(jù)點(diǎn)通過(guò)擬合得到的效果圖如圖4所示。由圖4可以看出，采用該方法獲得的剛輪齒廓曲線連續(xù)性非常好。

圓弧1圓心和半徑（單位：mm）：

圓弧2圓心和半徑（單位：mm）：

Xc=1.067 9 Yc=37.171 0 Rc=0.762 8

圖4 剛輪齒廓曲線擬合圖

3 結(jié)論

分析雙圓弧齒在諧波傳動(dòng)中嚙合時(shí)的優(yōu)越性，對(duì)柔輪的特征曲線求解，得到其特征曲線的方程。在確定柔輪齒形的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立坐標(biāo)系，根據(jù)共扼原理，進(jìn)行坐標(biāo)變換，求出與柔輪齒相嚙合的剛輪齒的方程。通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行編程，在將原始數(shù)據(jù)輸入到程序中，求解出剛輪齒形上的點(diǎn)，然后進(jìn)行擬合，最后得出相應(yīng)的剛輪齒廓曲線。