， ，

(浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

粒子群優(yōu)化算法(Particle swarm optimization，PSO)是由學(xué)者Kennedy 和Eberhart受鳥群覓食行為啟發(fā)而提出的一種全局優(yōu)化算法，其主要思想是通過個(gè)體之間的合作和信息共享實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)問題的求解[1]。相較其他演化算法，粒子群算法具有容易實(shí)現(xiàn)、需要調(diào)整的參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)以及只需較小的演化群體等優(yōu)點(diǎn)，自提出就受到了研究者的廣泛關(guān)注。李峰等[2]將PSO算法應(yīng)用于桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)；林建榮[3]使PSO算法應(yīng)用于鋼桁架拱橋設(shè)計(jì)；蔡寶佩[4]運(yùn)用PSO算法對剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。在結(jié)構(gòu)工程中，將PSO算法應(yīng)用于不同結(jié)構(gòu)體系的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究相對較多，但這些研究中，將PSO算法應(yīng)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究較少。

為將PSO算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)中，選取鋼框架為優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)體系，以結(jié)構(gòu)頂層位移和層間位移角作為性能指標(biāo)，構(gòu)建抗震優(yōu)化模型；采用Push-over抗震分析方法對構(gòu)建好的模型進(jìn)行抗震分析。此外，為了使PSO算法更好地對抗震模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，引入相關(guān)學(xué)者觀點(diǎn)，對PSO算法進(jìn)行改進(jìn)：1) 引入一種動態(tài)慣性權(quán)重，平衡好算法開發(fā)能力和探索能力；2) 粒子速度更新時(shí)，在全局鄰域搜索加入一定的鄰域空間，增加粒子尋優(yōu)范圍；3) 粒子位置更新時(shí)，將每次迭代得到的連續(xù)解映射到對應(yīng)的定值離散區(qū)間中，進(jìn)而得到符合要求的離散解。最后，通過一榀三層四跨鋼框架典型算例的求解并與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行對比，以評價(jià)利用改進(jìn)后PSO算法進(jìn)行鋼框架抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果。

1 抗震優(yōu)化模型

基于性能的抗震設(shè)計(jì)思想是建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的一個(gè)重要發(fā)展階段，基于性能的抗震設(shè)計(jì)思想使得設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在地震作用下能夠維持所要求的性能水平，結(jié)構(gòu)的性能目標(biāo)如應(yīng)力水平、荷載、位移、極限狀態(tài)和目標(biāo)損傷指標(biāo)不被超越。Push-over分析方法是目前評估結(jié)構(gòu)抗震性能的重要方法之一，該方法本質(zhì)上是一種與反應(yīng)譜相結(jié)合的靜力彈塑性分析方法，具有易于發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的薄弱部位、較直觀地判斷結(jié)構(gòu)的抗震能力等優(yōu)點(diǎn)。筆者依據(jù)美國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范FEMA-273[5]和FEMA-350[6]中相關(guān)規(guī)定，并以結(jié)構(gòu)頂層位移和層間位移角為性能指標(biāo)，采用Push-over抗震分析方法進(jìn)行鋼框架結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

鋼框架設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的重量越輕，消耗的材料就越少，一般工程造價(jià)就越低。同時(shí)，鋼框架重量降低還可減少基礎(chǔ)的承重，改善基礎(chǔ)的受力情況。因此，在不考慮鋼框架梁、柱節(jié)點(diǎn)連接處質(zhì)量的前提下，以鋼框架結(jié)構(gòu)材料總質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)為

(1)

式中：ρi，Ai，Li分別為鋼構(gòu)件i的密度、截面積和長度。

1.2 設(shè)計(jì)變量

參照美國鋼結(jié)構(gòu)型鋼表中的274 種H型鋼，驗(yàn)證算例中的鋼框架抗震優(yōu)化模型的鋼構(gòu)件設(shè)計(jì)變量(包括截面積、截面慣性矩、截面抵抗矩和截面塑性抵抗矩等)均選定于這274 種H型鋼。

1.3 約束

工程實(shí)踐表明：由地震作用引起的建筑物輕微側(cè)向位移可能導(dǎo)致人在心理上的不適和建筑的非結(jié)構(gòu)性損害，而強(qiáng)地震引起的過大非彈性變形往往有可能使建筑內(nèi)以及建筑周邊的機(jī)械、電氣和管道系統(tǒng)等出現(xiàn)故障，或吊頂和設(shè)備墜落，從而對人的生命造成威脅，這種過大的建筑側(cè)向位移會增加建筑的不穩(wěn)定性，從而降低結(jié)構(gòu)安全[7]。因此，在抗震設(shè)計(jì)過程中，必須有意識地控制建筑側(cè)向位移在規(guī)范規(guī)定的范圍之內(nèi)。

FEMA-273[5]將結(jié)構(gòu)抗震性能水平分為正常使用(Operational)、立即入住(Immediate occupancy)、生命安全(Life safety)和防止倒塌(Collapse prevention) 4 種等級，并規(guī)定建筑物在這4 種等級水平狀態(tài)下最大側(cè)向位移分別取建筑結(jié)構(gòu)高度的0.4%，0.7%，2.5%，5%，且在第一等級(正常使用)性能狀態(tài)之前，結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)不允許出現(xiàn)塑性變形。此外，F(xiàn)EMA-350[6]規(guī)定了第2和第4性能水平狀態(tài)下建筑層間位移角的限值分別為1.25%和6.1%。具體4 種性能水平狀態(tài)下約束條件為

OP等級：ΔOP≤0.4%H

(2)

IO等級：ΔIO≤0.7%H,θIO≤1.25

(3)

LS等級：ΔLS≤2.5%H

(4)

CP等級：ΔCP≤5%H,θCP≤6.1

(5)

式中：ΔOP，ΔIO，ΔLS，ΔCP分別為結(jié)構(gòu)在4 種性能狀態(tài)下的頂層側(cè)向位移；θIO，θCP分別為結(jié)構(gòu)在第2和第4性能狀態(tài)下層間位移角。

1.4 約束處理

鋼框架抗震優(yōu)化模型中，最終的目的是得到在滿足約束條件情況下各鋼構(gòu)件最優(yōu)截面類型。結(jié)合粒子群算法的特點(diǎn)，需要使目標(biāo)函數(shù)值(各鋼構(gòu)件質(zhì)量)在粒子進(jìn)化迭代過程中不斷降低，從而篩選出靠前的較優(yōu)解，但這樣一來往往在迭代過程中一些目前雖不是最好但有潛力成為最好的解，由于稍微違反約束條件而過早被遺棄的問題，從而使得整個(gè)粒子群失去了這些有潛力解的引導(dǎo)，進(jìn)而陷入局部最優(yōu)。為了克服以上問題，選用一種罰函數(shù)處理機(jī)制[8]，該方法通過適當(dāng)?shù)摩?和λ2取值達(dá)到對那些稍微違法約束條件的解給予適當(dāng)?shù)膽土P卻又不至于完全“一棒打死”的效果，使得這些解仍有機(jī)會在后續(xù)的迭代過程中走向最優(yōu)或較優(yōu)。該方法的罰函數(shù)設(shè)置為

F=W×(1+λ1V)λ2

(6)

式中：F為罰函數(shù)值；λ1，λ2為懲罰因子；V為結(jié)構(gòu)的總體約束違反程度，其表達(dá)式為

V=VOP+VIO+VLS+VCP+θIO+θCP

(7)

(8)

式中：Vj(j=OP，IO，LS，CP)，θk(k=IO，CP)分別為各性能狀態(tài)下結(jié)構(gòu)對頂層位移和層間位移角的違反程度；pi為結(jié)構(gòu)i節(jié)點(diǎn)塑性程度。

1.5 Push-over計(jì)算分析方法

Push-over計(jì)算分析的思路是借用彈性體系的振型分解反應(yīng)譜的概念，將結(jié)構(gòu)各振型下的水平地震力作為靜力荷載施加到結(jié)構(gòu)上，進(jìn)而逐步將結(jié)構(gòu)推至一個(gè)給定的目標(biāo)位移來研究分析結(jié)構(gòu)的非線性性能，從而判斷結(jié)構(gòu)及構(gòu)件的變形受力是否滿足設(shè)計(jì)要求。在Push-over分析方法中選擇合理的加載模式是一個(gè)關(guān)鍵問題，典型的加載模式有均勻加載、倒三角加載、指數(shù)加載和多振型加載等模式，如圖1所示。當(dāng)抗震優(yōu)化結(jié)構(gòu)模型規(guī)則且高度較小時(shí)，可以忽略高振型的影響，只需考慮第一振型的作用[9]。由于驗(yàn)證算例是三層四跨鋼框架結(jié)構(gòu)，故此可以選定一種水平加載模式進(jìn)行Push-over分析。為了與相比較的文獻(xiàn)相統(tǒng)一，采用指數(shù)加載模型，其施加的水平荷載[10]計(jì)算式為

(9)

式中：Px為第x層水平荷載；Wx，Wi分別為x，i層重力荷載代表值；hx，hi分別為x，i層距地面的高度；n為結(jié)構(gòu)總層數(shù)；k為與結(jié)構(gòu)基本周期有關(guān)的參數(shù)，這里k=2；Vb為結(jié)構(gòu)底部剪力。

圖1 水平加載模式示意圖Fig.1 Horizontal loading schematic diagram

2 粒子群優(yōu)化算法改進(jìn)

2.1 慣性權(quán)重

Shi和Eberhart最早提出了慣性權(quán)重ω的概念，通過合適慣性權(quán)重ω可很好地控制粒子的搜索范圍，讓粒子保持著運(yùn)動的慣性，使其搜索空間得到擴(kuò)展，從而有機(jī)會在新的區(qū)域內(nèi)探尋最優(yōu)解。為使PSO算法更好地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，引入一種動態(tài)慣性權(quán)重為

(10)

式中：ωmax，ωmin為慣性權(quán)重上、下限；itermax為最大迭代次數(shù)；iter為粒子當(dāng)前迭代次數(shù)；k，u為試驗(yàn)常數(shù)。如圖2所示，該方法通過綜合控制公式中的k，u取值。圖2給出了3 種情形：k=5，u=10；k=10，u=10；k=10，u=5?？梢允沟昧Ｗ尤涸谇捌讷@得較大慣性權(quán)重以利于拓寬粒子搜索空間，中期慣性權(quán)重取值下降較快，提高算法搜索效率，后期取較小慣性權(quán)重以利于粒子在最優(yōu)解附近進(jìn)行精細(xì)開發(fā)。

圖2 動態(tài)慣性權(quán)重Fig.2 Dynamic inertia weight

2.2 速度更新

(11)

(12)

式中：t為粒子進(jìn)化代數(shù)；c1，c2為認(rèn)知因子和社會學(xué)習(xí)因子；r1，r2，U(0,1)均為區(qū)間(0,1)上的均勻分布隨機(jī)數(shù)；δ為擾動因子；Pibest為個(gè)體最優(yōu)；Pgbest為全局最優(yōu)。

2.3 取值離散化

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法對連續(xù)問題具有較高的適用性，而對于離散問題，往往需要對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法加以修正。鋼框架優(yōu)化模型中的設(shè)計(jì)變量為美國鋼結(jié)構(gòu)型鋼表中的274 種H型鋼，因此采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法需要對粒子群每次迭代得到的連續(xù)解加以處理，使其與274 種H型鋼對應(yīng)。改進(jìn)PSO算法引入一種將迭代過程中尋優(yōu)得到的解映射到定值離散區(qū)間中的方法[4]，該方法仍采用式(11，12)中求解連續(xù)問題的速度和位置迭代公式，將粒子每次迭代結(jié)束后得到的位置向量同274 種H型鋼截面積進(jìn)行比較，將位置向量中的每一個(gè)元素取為最接近的型鋼截面積。

基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的鋼框架優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

圖3 基于改進(jìn)粒子群算法的鋼框架抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.3 Optimization design flow chart of steel frame based on improved particle swarm optimization

3 優(yōu)化算例

采用文獻(xiàn)[7]中的一榀三層四跨鋼框架抗震優(yōu)化模型算例，結(jié)構(gòu)如圖4所示。模型中，鋼框架各構(gòu)件分為5個(gè)組別，同一組別鋼構(gòu)件采用同種型鋼，鋼材彈性模量為200 GPa，密度7 849 kg/m3?？蚣芰骸⒅那?qiáng)度分別為339，397 MPa。恒、活荷載組合、分配后，對結(jié)構(gòu)第一、二層施加32 kN/m的線荷載，對頂層施加28.7 kN/m的線荷載。另外，第一、二層的地震設(shè)計(jì)重量分別均為4 688 kN，頂層地震設(shè)計(jì)重量為5 071 kN。

圖4 三層四跨鋼框架Fig.4 The four-bay three-story fram

在該算例中，改進(jìn)PSO算法各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置為λ1=0.9，λ2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.4，itermax=200，k=10，u=5，c1=c2=2，δ=0.01。編制改進(jìn)PSO算法Matlab主程序，以鋼框架頂層位移和層間位移角作為性能指標(biāo)，采用Push-over程序?qū)Y(jié)構(gòu)作抗震分析，對鋼框架算例作基于性能的結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在相同的約束條件下，隨機(jī)對算例作10 次優(yōu)化測試，圖5給出10 次優(yōu)化測試得出的具體結(jié)果，表1取最好結(jié)果與最差結(jié)果，并與其他文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對比。

圖5 改進(jìn)PSO算法10 次優(yōu)化測試結(jié)果Fig.5 Result of the optimization using the improved PSO in 10 times

表1 優(yōu)化結(jié)果與初始設(shè)計(jì)對比Table 1 Comparison of the optimization and the initial design

由表1和圖5中優(yōu)化結(jié)果中的鋼材用量可以看出：改進(jìn)PSO算法相比于文獻(xiàn)[13]的PSO算法在求解質(zhì)量上提升顯著。改進(jìn)PSO算法隨機(jī)優(yōu)化10 次得到的鋼材最優(yōu)質(zhì)量為26 505 kg，僅為初始設(shè)計(jì)用鋼量的62.99%，相比于改進(jìn)ACO[12]，ACO[7]，PSO[13]，GA[7]算法得到的優(yōu)化結(jié)果，分別節(jié)省了1 478，2 288，2 709，4 480 kg鋼材。從10 次試驗(yàn)優(yōu)化得到的平均用鋼量和最大用鋼量看，改進(jìn)PSO算法同樣表現(xiàn)出了巨大的優(yōu)勢，改進(jìn)PSO算法得到的平均用鋼量為28 433 kg，低于相比較的幾種優(yōu)化算法得到的平均用鋼量，且10 次得到的平均用鋼量已低于PSO，ACO，GA這3 種優(yōu)化算法得到的最優(yōu)質(zhì)量。

圖6給出了改進(jìn)PSO算法與幾種相比較算法的平均迭代次數(shù)和Push-over分析次數(shù)的對比情況。改進(jìn)PSO算法的平均迭代次數(shù)為173 次，相比PSO算法，GA算法，ACO算法分別多了3，37，95 次迭代，比改進(jìn)ACO算法少了3 次迭代。單就比較平均迭代次數(shù)這一數(shù)據(jù)，改進(jìn)PSO算法與PSO，ACO，GA這3 種算法相比似乎沒有優(yōu)勢，造成這樣的原因是這3 種算法優(yōu)化程序中選用的優(yōu)化個(gè)體數(shù)m= 50，因而算法每輪迭代需作50 次Push-over分析。選取多的優(yōu)化個(gè)體數(shù)，增加了種群豐富度，有利于優(yōu)化個(gè)體遍歷解空間。而改進(jìn)算法在粒子速度更新時(shí)，在全局鄰域搜索加入一定的鄰域空間，增加了粒子尋優(yōu)范圍；通過適當(dāng)?shù)牧P函數(shù)機(jī)制，增加了粒子在迭代過程中一些有潛力解對整個(gè)種群的引導(dǎo)，因此改進(jìn)算法中粒子數(shù)不需要設(shè)置那么多，將驗(yàn)證算例中的粒子數(shù)選取為5 個(gè)。通過對優(yōu)化程序進(jìn)行200 次迭代試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：整個(gè)優(yōu)化程序需用時(shí)大約1 351.88 s，其中改進(jìn)的PSO主程序和調(diào)用的Push-over程序運(yùn)行時(shí)間分別為4.32，1 347.56 s，調(diào)用的Push-over程序運(yùn)行時(shí)間占總程序運(yùn)行時(shí)間的99.68%。選取過多的優(yōu)化個(gè)體數(shù)意味著過高的Push-over分析次數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)優(yōu)化程序運(yùn)行時(shí)間增加。在忽略不計(jì)主程序運(yùn)行時(shí)間的情況下，改進(jìn)PSO算法的平均搜索求解時(shí)間僅為文獻(xiàn)[7]中ACO算法的13.72%，文獻(xiàn)[12]中改進(jìn)ACO算法的60.48%，由此可見改進(jìn)PSO算法在尋優(yōu)求解速度和效率上提升顯著。

圖6 平均迭代次數(shù)與Push-over分析次數(shù)對比Fig.6 Comparision of the average iterations and the number of Push-over analysis

圖7給出了改進(jìn)PSO算法在求解到最優(yōu)解時(shí)的迭代過程曲線，由此可以看出改進(jìn)PSO算法在迭代前期能夠迅速收斂到最優(yōu)解附近，從而在最優(yōu)解周圍進(jìn)行精確搜索。表2給出了改進(jìn)PSO算法與相比較的幾種算法在不同抗震性能水平下的頂層位移和層間位移角指標(biāo)。最優(yōu)解下結(jié)構(gòu)的各層水平位移和位移角均在規(guī)范規(guī)定的范圍之內(nèi)，且與幾種相比較的算法相比，改進(jìn)的PSO算法應(yīng)用于三層四跨鋼框架優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)各層水平位移和位移角更小。由此可以得出改進(jìn)算法在應(yīng)用于三層四跨抗震優(yōu)化模型中不僅可以大量的節(jié)省設(shè)計(jì)材料，而且設(shè)計(jì)出來的鋼框架結(jié)構(gòu)抗震性能更優(yōu)。

圖7 優(yōu)化迭代曲線Fig.7 Optimization iteration curve

表2 最優(yōu)解下結(jié)構(gòu)抗震性能水平

圖8給出了最優(yōu)解下結(jié)構(gòu)的等效地震荷載—頂層位移的Push-over曲線，圖9給出了框架各構(gòu)件在4種等級的性能目標(biāo)水平狀態(tài)下的塑性發(fā)展?fàn)顩r。OP性能狀態(tài)之前，框架各構(gòu)件均處于彈性階段，荷載與頂層位移成線性關(guān)系，隨著施加在結(jié)構(gòu)上的等效地震荷載的增大，頂層框架梁結(jié)點(diǎn)處最先達(dá)到屈服強(qiáng)度，呈現(xiàn)出塑性變形，且頂層最左跨一梁結(jié)點(diǎn)率先出現(xiàn)塑性鉸。IO狀態(tài)后，底層柱開始出現(xiàn)塑性變形。隨著施加在結(jié)構(gòu)上的等效地震荷載進(jìn)一步增大，頂層位移急劇增大，梁構(gòu)件結(jié)點(diǎn)處均進(jìn)入塑狀態(tài)，中跨三根柱下節(jié)點(diǎn)處稍出現(xiàn)塑性，這種梁柱塑性發(fā)展過程正好暗合了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中“ 強(qiáng)柱弱梁”理念。通過定量計(jì)算發(fā)現(xiàn)，LS到CP段的結(jié)構(gòu)頂層位移增量達(dá)到了彈性階段總位移的6 倍多。

圖8 Push-over曲線Fig.8 Push-over curve

圖9 各性能狀態(tài)下塑性狀態(tài)Fig.9 The state of shaping in each performance state

4 結(jié) 論

通過慣性權(quán)重取值、速度更新方式和位置更新方式等三方面對標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了粒子群算法的穩(wěn)定性、求解速度及求解質(zhì)量； 合理的罰函數(shù)機(jī)制解決了粒子群算法在迭代過程中經(jīng)常失去一些有潛力解對種群的引導(dǎo)問題；一榀三層四跨鋼框架算例表明改進(jìn)粒子群算法在結(jié)構(gòu)抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)中的適用性和有效性，改進(jìn)算法可應(yīng)用于鋼框架抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)。