劉 成, 葉正寅

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

本文對比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程對氣動力的計算結(jié)果，研究了在顫振計算過程中氣動力非線性的主要來源，并對影響非線性效應(yīng)的主要因素進行了分析。

1 考慮激波膨脹波的活塞理論

活塞理論(Piston Theory, PT)是由動量定理和等熵關(guān)系式推導(dǎo)得到的氣動力表達式。在超聲速、高超聲速非定常氣動力計算中，活塞理論具有良好的精度。其表達式如下：

(1)

(2)

式中，p為當(dāng)?shù)貕簭?，p∞、a∞、v∞分別為來流壓強、聲速、速度，vn為非定常下洗速度，w為位移。

在超聲速流場中，物面的振動變形會產(chǎn)生一系列的激波膨脹波，從而導(dǎo)致氣動力計算出現(xiàn)非線性特征。從活塞理論的推導(dǎo)過程來看，并沒有顯式地考慮激波和膨脹波的存在，為此，本文建立了考慮激波膨脹波的活塞理論(Shock Expansion-Piston Theory, SE-PT)。

激波角β與氣流偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系為：

(3)

式中Ma1為波前馬赫數(shù)。求得β后再根據(jù)斜激波關(guān)系式可求得波后氣動參數(shù)：

(4)

(5)

(6)

式中，Man,1、ρ1、p1為波前馬赫數(shù)的垂直分量、波前密度、波前壓強，Man,2、ρ2、p2為波后馬赫數(shù)的垂直分量、波后密度、波后壓強。

對于膨脹波來說，結(jié)合普朗特-邁耶函數(shù)v(Ma)和氣流偏轉(zhuǎn)角θ即可求得波后馬赫數(shù)，公式可寫為：

θ=v(Ma2)-v(Ma1)

(7)

式中，Ma1為波前馬赫數(shù)，Ma2為波后馬赫數(shù)。再由膨脹波關(guān)系式求出波后氣動參數(shù)：

(8)

(9)

式中，ρ1、p1為波前密度、波前壓強，ρ2、p2為波后密度、波后壓強。

這樣，在壁板的每一步振動中，都調(diào)用激波膨脹波關(guān)系式，得到當(dāng)?shù)氐膲簭姡⒔Y(jié)合活塞理論計算氣動力，即為考慮激波膨脹波的活塞理論(SE-PT)。

在顫振分析中，壁板模態(tài)m一般選取為如下形式：

(10)

式中，A表示廣義位移，i表征模態(tài)階數(shù)，2l為壁板長度?？梢钥吹?，模態(tài)振型為高階光滑的連續(xù)函數(shù)，滿足正交性，符合幾何邊界條件的要求。這種模態(tài)分解方法，在壁板顫振分析中取得極大成功。但對本文的研究內(nèi)容來說，正弦形式的模態(tài)卻不是最合適的，原因有兩點：

1) 本文首先建立了考慮激波膨脹波的活塞理論，而激波膨脹波關(guān)系式不適應(yīng)于求解光滑曲面的氣動載荷；

2) 本文探究的是氣動力的非線性效應(yīng)，與壁板結(jié)構(gòu)的真實模態(tài)形狀無關(guān)。

因此，需要重新設(shè)計模態(tài)振型。新模態(tài)主要需考慮兩點因素：便于激波膨脹波關(guān)系式的使用，滿足幾何邊界條件?；谶@樣的考慮,我們將模態(tài)振型構(gòu)造為折線形狀。設(shè)壁板長度為2l，模態(tài)表達式如下：

(11)

采用式(11)表征的模態(tài)，可近似應(yīng)用激波膨脹波關(guān)系式計算變形后的定常氣動載荷，且該模態(tài)保留了壁板結(jié)構(gòu)的主要幾何特征，得到的氣動力分析結(jié)果是具有普遍性意義的。

取計算狀態(tài)為Ma=3，輸入如圖1所示的掃頻位移信號，比較SE-PT理論與Euler方程的氣動力系數(shù)F求解結(jié)果，如圖2所示，可見二者符合良好，證明所采用的考慮激波膨脹波的活塞理論在氣動力預(yù)測方面具有良好的精度。

圖1 掃頻位移信號Fig.1 Sweep signal

圖2 掃頻信號下的氣動力響應(yīng)Fig.2 Aerodynamic response of sweep signal

2 一階活塞理論在壁板振動中的應(yīng)用

計算狀態(tài)取為Ma=3，研究對象為壁板，一階模態(tài)為前述的折線形狀，輸入頻率50 Hz的正弦位移信號，如圖3所示。分別采用一階活塞理論(PT)、考慮激波膨脹波的一階活塞理論(SE-PT)、Euler方程計算氣動力系數(shù)，結(jié)果如圖4所示?？梢郧逦乜闯?，SE-PT理論與Euler方程的求解結(jié)果符合良好，氣動力響應(yīng)的非線性特征較為明顯，而一階活塞理論只能預(yù)測氣動力的線性部分。將氣動力響應(yīng)做頻譜分析，得到的幅頻特性曲線如圖5所示，從中可以看出，氣動力響應(yīng)的一階諧波分量與二階諧波分量的幅值比約為1:0.5，而一階分量與三階諧波分量的比值約為1:0.02，基本可以忽略。也就是說，氣動力響應(yīng)的非線性特征主要是出現(xiàn)了二階諧波分量。

圖3 50 Hz位移信號Fig.3 50 Hz displacement signal

圖4 氣動力響應(yīng)對比圖Fig.4 Comparison between aerodynamic responses

圖5 氣動力響應(yīng)幅頻特性曲線Fig.5 Amplitude-frequency curve of aerodynamic response

將一階活塞理論中加入激波膨脹波關(guān)系式，得到的非定常氣動力計算結(jié)果與Euler方程相同，因此得出，氣動力的非線性特征是激波膨脹波帶來的。

上述設(shè)計的壁板模態(tài)形狀前后具有對稱性，因此將壁板從中間位置分為兩部分——前半部分和后半部分，同時也將壁板表面氣動力分為前后兩部分，分別作出兩部分的氣動力響應(yīng)曲線以及幅頻特性曲線，如圖6、圖7所示?？梢姡诎迩昂髢刹糠值臍鈩恿σ浑A、二階諧波分量均相同，二階分量僅占一階分量的9%左右。而根據(jù)圖5，整個壁板的氣動力二階諧波分量約占一階分量的50%，非線性分量占比顯著增加。

圖6 前后表面氣動力響應(yīng)對比圖Fig.6 Comparison between aerodynamic responses for former and latter parts

圖7 前后表面氣動力幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for former and latter parts

表1展示了氣動力一階、二階諧波分量的相位大小。對一階諧波分量來說，前后兩部分的相位差較大，近似于反向，而前后表面的二階分量幾乎同相位。正是因為壁板前后部分的一階分量反相、二階分量同相，所以兩個表面9%的非線性分量在求和后占比達到了50%，非線性效應(yīng)顯著增強。進一步探究一階諧波分量反相的原因?；钊碚摰囊浑A項可寫為如下形式：

(12)

該式的第一項為變形分量，第二項為振動分量，由此將物面振動產(chǎn)生的氣動力分解為變形導(dǎo)致的氣動力分量和振動導(dǎo)致的氣動力分量兩部分，前者正比于壁板相對于來流的迎角，后者正比于壁板的橫向振動速度。對于壁板的前后兩部分來說，氣流的迎角相反而橫向振動速度相同，所以總的氣動力中變形分量前后抵消，而振動分量則加強，同時在低速振動中，變形氣動力分量占主導(dǎo)地位。因此前后部分的一階氣動力幾乎是反相位的。

表1 前后表面氣動力分量的相位Table 1 Phrases of aerodynamic harmonic components for former and latter part

3 一階活塞理論在具有雙側(cè)來流的物面振動中的應(yīng)用

取長度為l的無厚度板，繞前端點做俯仰運動，俯仰位移如圖8所示，得到的氣動力系數(shù)響應(yīng)如圖9所示。一階活塞理論的求解結(jié)果與SE-PT理論、Euler方程的結(jié)果符合良好，說明此時的氣動力響應(yīng)中不存在高階諧波分量。輸入單一頻率(50 Hz)的廣義位移，得到的氣動力響應(yīng)如圖10所示，頻譜分析的幅頻特性曲線如圖11?？梢姡瑲鈩恿憫?yīng)只有一階諧波分量，一階活塞理論的計算結(jié)果是準(zhǔn)確的。

圖8 掃頻位移信號Fig.8 Sweep signal

圖9 掃頻信號下氣動力響應(yīng)Fig.9 Aerodynamic response of sweep signal

圖10 正弦位移信號Fig.10 Sinusoidal signal

圖11 正弦信號下氣動力響應(yīng)Fig.11 Aerodynamic response of sinusoidal signal

對壁板這種只有單側(cè)來流的物面振動來說，氣動力的非線性特征明顯。而在雙側(cè)來流的物面振動中，卻沒有非線性分量。下面對這一現(xiàn)象做進一步的研究。把雙側(cè)來流的物面分為上表面和下表面，分別計算它們的氣動力響應(yīng)。圖12展示了氣動力的時域響應(yīng)曲線，圖13展示了氣動力的幅頻特性曲線。

圖12 上下表面氣動力響應(yīng)對比圖Fig.12 Comparison between aerodynamic responses for upper and lower surfaces

圖13 上下表面氣動力幅頻曲線Fig.13 Amplitude-frequency curves of aerodynamic responses for upper and lower surfaces

對上、下單個表面來說，氣動力出現(xiàn)了明顯的二階諧波分量，其與一階諧波分量的幅值比約為9%。表2展示了上、下表面各階諧波分量的相位關(guān)系，可以看到，一階分量相位相同，二階分量相位相反，這就使得在計算總的氣動力時，二階諧波分量相互抵消，呈現(xiàn)出良好的線性特征。激波膨脹波帶來了氣動力的非線性效應(yīng)，在物面振動過程中上表面出現(xiàn)激波時，下表面往往出現(xiàn)膨脹波，反之亦然。激波與膨脹波對氣動力的影響相反，這是導(dǎo)致總的非線性效應(yīng)相互抵消的物理原因。

表2 上、下表面氣動力分量的相位Table 2 Phrases of aerodynamic harmonic components for upper and lower surfaces

4 高階活塞理論

圖14對比了50 Hz廣義位移輸入信號下不同階活塞理論的氣動力計算結(jié)果，可見，二階活塞理論基本能預(yù)測出氣動力的非線性特征。Cheng和Mei[15]研究了不同階活塞理論計算壁板振動極限環(huán)幅值的區(qū)別，從計算結(jié)果來看，一階活塞理論不夠精確，二階與三階活塞理論的差別在0.5%以內(nèi)。Fridmann[2]對比了微幅振動下不同階活塞理論得到的壁板表面氣動力系數(shù)，發(fā)現(xiàn)二階活塞理論、三階活塞理論、Euler方程的計算結(jié)果一致。

圖15對比了不同階考慮激波膨脹波的活塞理論氣動力計算結(jié)果，由于激波膨脹波關(guān)系式的引入，一階理論就已經(jīng)能夠很好地呈現(xiàn)出氣動力的非線性特征。

圖14 不同階活塞理論的氣動力響應(yīng)對比Fig.14 Aerodynamic response comparison between different-order piston theories

圖15 考慮激波膨脹波活塞理論的氣動力響應(yīng)對比Fig.15 Aerodynamic response comparison between piston theories considering shock and expansion waves

對比二階活塞理論、考慮激波膨脹波的一階活塞理論與Euler方程在不同位移信號下的氣動力求解結(jié)果，如圖16所示，三者符合良好，證明壁板顫振中氣動力的非線性因素主要是由激波膨脹波帶來的，而活塞理論的二階項基本可以反映出這種非線性。

實際工程中的壁板顫振分析可能面臨著很寬的結(jié)構(gòu)頻率范圍，而活塞理論在不同的頻率范圍下呈現(xiàn)出不同的計算效果。為了澄清這方面的機制，分析了頻率對氣動力非線性的影響。

取三個不同頻率(50 Hz、200 Hz、500 Hz)的位移信號，分別采用一階、二階活塞理論計算氣動力系數(shù)。圖17是氣動力的時域響應(yīng)，圖18是對應(yīng)的幅頻特性曲線。三個頻率下氣動力出現(xiàn)了不同程度的非線性效應(yīng)，二階諧波分量與一階諧波分量幅值比分別為0.503、0.042、0.172，可以看到，氣動力的非線性程度與頻率有很大關(guān)系。進一步做出二階諧波與一階諧波分量幅值比隨頻率變化的曲線圖，如圖19(a)，圖中另外畫出了幅值比為0.05的虛線?？梢钥闯?，當(dāng)振動頻率較高或者較低時，氣動力的非線性效應(yīng)變強，而在中間某段頻率(200～300 Hz)內(nèi)，非線性分量占比很低，此時氣動力可以近似看做是線性的。

探究在中頻段內(nèi)氣動力的非線性分量占比很低的原因。觀察氣動力的一階、二階諧波分量幅值隨頻率的變化(圖19b)。由前面的分析可知，一階諧波可分為變形導(dǎo)致的氣動力分量和振動導(dǎo)致的氣動力分量，前者與振動頻率無關(guān)，后者與振動頻率成線性增大關(guān)系，二者的綜合作用，使得氣動力的一階諧波分量幅值隨頻率線性增大。圖19(b)中的虛線展示了這一規(guī)律。實線代表的是二階諧波分量幅值隨頻率的變化關(guān)系，可以看到是先減小后增大的。因此在中間頻段二階分量的占比降低，氣動力的線性效應(yīng)增強。

圖16不同位移信號下氣動力響應(yīng)對比圖
Fig.16Serodynamicresponsecomparisonfordifferentdisplacementsignals

(a) 50 Hz (b) 200 Hz (c) 500 Hz

(a) Amplitude ratio vs. frequency (b) Amplitude vs. frequency

進一步探究二階諧波的幅值隨頻率先減小后增大的原因。下式為活塞理論的二階分量：

圖20 氣動力二階諧波變形分量和振動分量幅值隨頻率變化Fig.20 Deformation andvibration components of 2nd aerodynamic harmonics vs. frequency

5 結(jié) 論

本文選取超聲速來流的計算狀態(tài)，忽略壁面黏性效應(yīng)，對比了活塞理論、考慮激波膨脹波的活塞理論、Euler方程的氣動力計算結(jié)果，探究了壁板顫振中氣動力非線性的主要來源，同時研究了具有雙側(cè)氣流的物面振動氣動力的線性性質(zhì)，解釋了振動頻率影響氣動力非線性效應(yīng)的原因，得到的主要結(jié)論如下：

(1) 超聲速物面振動過程中產(chǎn)生的激波膨脹波是氣動力非線性的主要來源；

(2) 一階活塞理論適應(yīng)于高超聲速翼面氣動彈性分析，其原因是上下表面的非線性分量相互抵消，氣動力的線性效應(yīng)增強；而在只有單側(cè)來流的壁板顫振分析中，模態(tài)變形量的對稱性使得氣動力的線性分量降低，非線性分量升高，此時需采用高階活塞理論來模擬這種非線性效應(yīng)；

(3) 活塞理論中的高階項表征的是激波膨脹波帶來的非線性效應(yīng)，它隨振動頻率的增加先減弱后增強，其原因是非線性項中的變形氣動力分量和振動氣動力分量相位相反，前者幅值不隨頻率變化，后者隨頻率增加而增大，在中間某段頻域內(nèi)二者的幅值近似相等，非線性效用相互抵消，只有此時氣動力才可以看作是線性的。