吳娟娟 冷永剛 喬海 劉進(jìn)軍 張雨陽(yáng)

1)(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,天津 300350)2)(卡特彼勒技術(shù)研發(fā)(中國(guó))有限公司,無(wú)錫 214028)(2018年1月10日收到;2018年7月30日收到修改稿)

具有中心頻率的窄帶隨機(jī)振動(dòng)是一種典型的環(huán)境振動(dòng),其振動(dòng)特征與環(huán)境的變化密切相關(guān).本文以雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)為研究對(duì)象,分析系統(tǒng)在不同磁鐵間距下的等效線性固有頻率特性,以帶通濾波器輸出一定帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì)模擬環(huán)境振動(dòng),研究系統(tǒng)的響應(yīng)和能量采集特征.研究表明,對(duì)于一定帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì),一方面系統(tǒng)始終存在一個(gè)固定的磁鐵間距使其輸出達(dá)到峰值,另一方面當(dāng)激勵(lì)中心頻率在一定范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)還分別存在另外兩個(gè)或一個(gè)不同磁鐵間距也能使系統(tǒng)輸出達(dá)到峰值,而且該峰值特性是系統(tǒng)在其等效線性固有頻率處誘導(dǎo)雙穩(wěn)或單穩(wěn)“共振”形成的.研究結(jié)果可為具有窄帶隨機(jī)激勵(lì)特征的振動(dòng)能量采集提供一定的理論和技術(shù)支持.

1 引 言

近二十年來(lái),微加工技術(shù)和微電子技術(shù)的進(jìn)展,推動(dòng)了無(wú)線傳感、數(shù)據(jù)傳輸和醫(yī)療植入的微型化以及低能耗設(shè)備的發(fā)展[1].傳統(tǒng)以化學(xué)電池為主的供能方式不僅增加了系統(tǒng)的尺寸和質(zhì)量,而且供能壽命有限、難以更換,因此人們尋找可以長(zhǎng)期有效供電的能量采集技術(shù).

環(huán)境中的振動(dòng)是無(wú)處不在的,獲取環(huán)境中的振動(dòng)能量有望解決微裝置的供電問題.根據(jù)能量轉(zhuǎn)換機(jī)理的不同,可以通過電磁式、靜電式和壓電式三種方式將振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能[2].與其他兩種方式相比,壓電式振動(dòng)能量采集器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能量轉(zhuǎn)換密度大、易于微型化和集成化等優(yōu)點(diǎn)[3],因而得到人們更多的關(guān)注.

壓電能量采集器利用壓電片的正壓電效應(yīng)將振動(dòng)能轉(zhuǎn)化成電能.由于線性結(jié)構(gòu)的壓電能量采集器具有狹窄的固有頻率特性,當(dāng)激勵(lì)頻率稍微偏離梁的固有頻率時(shí),產(chǎn)生的功率顯著下降[4],因此需要尋找寬頻帶響應(yīng)的能量采集器.

近年來(lái),利用非線性結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)寬頻響應(yīng)的能量采集方式得到了廣泛關(guān)注.在系統(tǒng)中增加磁鐵,或者利用壓力負(fù)荷來(lái)屈曲桿,都能使壓電能量采集器實(shí)現(xiàn)非線性雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng),從而得到寬頻響應(yīng)的能量采集.Cottone等[5]和Gammaitoni等[6]進(jìn)行了隨機(jī)激勵(lì)下的雙穩(wěn)態(tài)能量采集實(shí)驗(yàn),分析了勢(shì)阱參數(shù)對(duì)輸出功率的影響.Ferrari等[7,8]數(shù)值仿真了隨機(jī)激勵(lì)下的非線性能量采集,并通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)下,壓電懸臂梁的偏斜位移與輸出電壓明顯大于在線性單穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的輸出位移與電壓.陳仲生和楊擁民[9]通過調(diào)整磁鐵間距,使得能量采集器在寬帶低頻隨機(jī)激勵(lì)下實(shí)現(xiàn)寬帶能量采集.Gao等[10]提出彈性支撐結(jié)構(gòu)的非線性能量采集器,保證系統(tǒng)在低強(qiáng)度隨機(jī)激勵(lì)下也能發(fā)生雙穩(wěn)躍遷.

目前,非線性系統(tǒng)能量采集的研究主要是針對(duì)低頻寬帶隨機(jī)激勵(lì)或者諧波激勵(lì)的能量采集研究,然而實(shí)際中很多情形下的激勵(lì)往往不是單頻周期激勵(lì)或者低頻寬帶隨機(jī)激勵(lì),而是能量集中在一定頻率范圍內(nèi)的具有中心頻率的窄帶隨機(jī)激勵(lì).例如一輛每小時(shí)63英里(1 mi=1.609344 km)行駛的1.6L福特汽車減振器垂直于路面方向的振動(dòng)在10—30 Hz,克里夫頓懸索橋上的振動(dòng)能量集中在22—46 Hz之間,熱電聯(lián)產(chǎn)發(fā)電機(jī)在正常工作情況下垂直于熱水泵方向的振動(dòng)主要在209—219 Hz范圍內(nèi)[2,11,12],人的運(yùn)動(dòng)和橋梁的振動(dòng)頻率在1 Hz左右[13,14].目前,基于非線性壓電懸臂梁系統(tǒng)的窄帶隨機(jī)激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)及其能量采集的研究還鮮有報(bào)道.本文以非線性雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)為研究對(duì)象,通過建立雙穩(wěn)壓電懸臂梁的集總參數(shù)模型,探討具有一定帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)及能量采集的影響規(guī)律,研究系統(tǒng)等效線性固有頻率與系統(tǒng)響應(yīng)特性之間的關(guān)聯(lián)性,為窄帶隨機(jī)激勵(lì)作用的雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)獲得更多的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換提供可行的理論和技術(shù)支持.

2 雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)的非線性特性

圖1(a)是一個(gè)非線性壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)受力分析圖,壓電懸臂梁B由金屬板基底及其上粘貼的壓電陶瓷片組成,永磁體A位于懸臂梁B的自由端,沿懸臂梁B水平軸線延長(zhǎng)線上與永磁體A相對(duì)的位置固定一塊永磁體C,永磁體C與永磁體A的物理特性和尺寸規(guī)格一致,且二者相互排斥,構(gòu)成雙穩(wěn)系統(tǒng).需要說(shuō)明的是,系統(tǒng)處于平衡位置時(shí),不考慮磁鐵A的重力對(duì)壓電懸臂梁靜力形變的影響,此時(shí)磁鐵A位于懸臂梁水平位置延長(zhǎng)線上,磁鐵A與外部磁鐵C水平對(duì)中且相互排斥.

圖1 非線性壓電懸臂梁能量采集器 (a)受力分析圖;(b)系統(tǒng)等效模型Fig.1.Energy harvesting system of nonlinear piezoelectric cantilever beam:(a)Diagram of force analysis;(b)equivalent model of energy harvesting system.

圖1(a)結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為典型的質(zhì)量彈簧阻尼等效模型,如圖1(b)所示.由牛頓第二定律可得到系統(tǒng)集總參數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程[10]:

其中Meq,ηeq,Keq分別為系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度;Fx為兩磁鐵之間的磁力F在豎直方向上的分力;f(t)為外界振動(dòng)激勵(lì);θ為壓電懸臂梁的機(jī)電耦合系數(shù);以磁鐵C中心為坐標(biāo)原點(diǎn),X(t)為磁鐵A中心沿激勵(lì)方向的位移;k為集總參數(shù)模型的幅值修正因子;V(t)為壓電懸臂梁的輸出電壓.相應(yīng)的壓電能量采集電路如圖2所示.

圖2 壓電能量采集電路圖Fig.2.Circuit diagram of piezoelectric energy harvesting system.

由基爾霍夫第一原理可以得到采集電路的電學(xué)方程為

式中RL為負(fù)載電阻;Cp為采集電路的等效電容,

其中ε31為相對(duì)介電常數(shù),ε0為真空絕對(duì)介電常數(shù),wb和lb分別是懸臂梁基體的寬度和長(zhǎng)度,te是壓電陶瓷的厚度.

在兩磁鐵的間距d(兩磁鐵中心水平距離)為無(wú)窮大時(shí),壓電能量采集器為線性振子.線性壓電振子的固有頻率可由求得.方程(1)和(2)中各參數(shù)的表達(dá)式參考文獻(xiàn)[10],懸臂梁的材料參數(shù)和幾何參數(shù)見第5節(jié)中表1和表2,將相關(guān)的參數(shù)代入到線性壓電振子固有頻率的公式中,可以得到系統(tǒng)的固有頻率fn=50.7 Hz.

根據(jù)磁化電流理論可計(jì)算兩塊磁鐵A和C之間磁力的垂直分力為[15]

其中,MA為磁鐵A本身的磁化強(qiáng)度;φ是MA與水平方向的偏轉(zhuǎn)角,為磁鐵A的上(或下)表面面積;lA,hA分別為磁鐵A的長(zhǎng)度和高度;μ0是真空導(dǎo)磁率;Hy1和Hy2分別表示磁鐵C產(chǎn)生的磁場(chǎng)在磁鐵A的上表面和下表面中心處沿Y軸方向上的磁場(chǎng)強(qiáng)度大小,如圖3.

在不考慮重力的情況下,系統(tǒng)勢(shì)能包括等效模型中的彈性勢(shì)能和磁力Fx對(duì)磁鐵做的功,由此可得系統(tǒng)在X=X0時(shí)刻位置的勢(shì)函數(shù):

圖4給出了系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)U(X)隨著磁鐵間距d和位移X的變化,間距d很大時(shí),系統(tǒng)趨近為線性系統(tǒng),其勢(shì)函數(shù)為單穩(wěn),表現(xiàn)為只在原點(diǎn)處出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置;隨著間距d的減小,系統(tǒng)由線性系統(tǒng)變成非線性系統(tǒng),其勢(shì)函數(shù)由單穩(wěn)變?yōu)殡p穩(wěn),即在兩個(gè)勢(shì)阱處出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定的平衡位置,在原點(diǎn)處出現(xiàn)一個(gè)非穩(wěn)定平衡位置.

圖3 磁鐵A的尺寸結(jié)構(gòu)及磁化方向示意圖Fig.3.Schematic diagram of magnet A’s sizes and magnetization..

圖4 系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)U(X)與磁鐵間距d和位移X的關(guān)系Fig.4.Dependence of the system potential function U(X)on magnet spacing d and displacement X.

在X=0處對(duì)磁鐵力Fx進(jìn)行泰勒展開,為了便于計(jì)算,參考文獻(xiàn)[15]可將磁力的垂直分力近似表達(dá)為

省略高階項(xiàng)可得近似結(jié)果為

這里,參數(shù)a,b通過(8)和(9)式計(jì)算:

參數(shù)b中的Tij表達(dá)式為

懸臂梁系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力為

其中,KL=Keq?a.由(11)式可知,懸臂梁的非線性恢復(fù)力由懸臂梁的彈性力KeqX和兩磁鐵間磁力的豎直分力Fx=aX?bX3構(gòu)成,而且a和b分別是磁力在豎直方向產(chǎn)生的線性剛度和非線性剛度.對(duì)(11)式求導(dǎo)可得到系統(tǒng)的總剛度KN為

圖5 系統(tǒng)的線性剛度KL和非線性剛度b隨磁鐵間距d的變化Fig.5.Linear stiffness KLand nonlinear stiffness b of system varying with magnet spacings d.

(12)式表明,系統(tǒng)總剛度由線性剛度KL和非線性剛度b確定,并會(huì)隨著磁鐵間距d和位移X而變化.當(dāng)磁鐵間距d很大時(shí),壓電懸臂梁為線性振動(dòng),系統(tǒng)總剛度KN=Keq是一個(gè)定值.當(dāng)d逐漸減小時(shí),系統(tǒng)總剛度將受到a和b變化的影響.圖5給出了系統(tǒng)總剛度中線性剛度KL和非線性剛度b隨d的變化曲線.由圖5可知,隨著d的減小,KL逐漸由正數(shù)減小至負(fù)數(shù),其中正負(fù)剛度的分界點(diǎn)在d0=11.29 mm處,此點(diǎn)也是系統(tǒng)雙穩(wěn)勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)和單穩(wěn)勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)的分界點(diǎn)[16],而b隨著d減小由零逐漸增大,表明非線性剛度逐漸增強(qiáng),這與非線性磁力隨間距減小而增大的因素成正相關(guān)關(guān)系.

3 等效線性固有頻率的計(jì)算

為了能夠更好地分析窄帶激勵(lì)下雙穩(wěn)能量采集系統(tǒng)的輸出響應(yīng),參照文獻(xiàn)[17]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理計(jì)算,以得到系統(tǒng)的近似等效線性固有頻率.假定?X?是非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值,且其值不一定為0,做如下的轉(zhuǎn)換:

其中X0(t)是等效線性系統(tǒng)的位移響應(yīng).令窄帶隨機(jī)激勵(lì)f(t)為非線性雙穩(wěn)壓電懸臂梁系統(tǒng)的輸入,并令ωSL為等效線性化系統(tǒng)的固有頻率,則動(dòng)力學(xué)方程(1)可以寫成

由

得

于是近似計(jì)算求得ω2SL=(KL+3b?X2?)/Meq,其中E表示為該參數(shù)的期望值.當(dāng)激勵(lì)強(qiáng)度較小,即滿足3b?X2?小于|KL|(一個(gè)數(shù)量級(jí)以上)時(shí),懸臂梁振動(dòng)幅度也相對(duì)較小,等效線性化系統(tǒng)的固有頻率可以近似為

圖6給出了系統(tǒng)的等效線性固有頻率fSL與磁鐵間距d的關(guān)系,曲線最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的間距正好對(duì)應(yīng)系統(tǒng)線性剛度正負(fù)分界點(diǎn)的間距值d0=11.29 mm,也就是系統(tǒng)單穩(wěn)和雙穩(wěn)勢(shì)阱的分界點(diǎn),該分界點(diǎn)值可根據(jù)KL=0計(jì)算得到.

圖6 系統(tǒng)的等效線性固有頻率fSL與磁鐵間距d的關(guān)系Fig.6.Equivalent linear natural frequency fSLof system varying with magnet spacing d.

這里需要強(qiáng)調(diào)的是,非線性方程(1)等效為線性化方程(14)后,由(17)式得到了圖6反映等效線性系統(tǒng)方程(14)固有特性的等效線性固有頻率特性曲線,該固有頻率曲線隨間距d變化,并在分界點(diǎn)間距d0處接近零.當(dāng)?shù)刃Ь€性系統(tǒng)(14)受到的激勵(lì)頻率(如窄帶隨機(jī)激勵(lì)的中心頻率)與其等效線性固有頻率一致時(shí),根據(jù)線性系統(tǒng)共振原理易得,系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)在等效線性固有頻率處產(chǎn)生共振峰,且分界點(diǎn)間距d0左右兩側(cè)在等效線性固有頻率處產(chǎn)生的共振峰響應(yīng)分別具有雙穩(wěn)和單穩(wěn)特性.此外,當(dāng)?shù)刃Ь€性固有頻率fSL小于線性系統(tǒng)固有頻率fn時(shí),每一個(gè)fSL可對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的間距d值,分別在d0兩側(cè);而當(dāng)fSL>fn時(shí),在一定頻率范圍內(nèi)(如圖6小于120 Hz),fSL只有一個(gè)小于d0的d值與之對(duì)應(yīng).

4 窄帶隨機(jī)激勵(lì)的動(dòng)態(tài)特性

環(huán)境中的窄帶隨機(jī)激勵(lì)是大部分能量集中在中心頻率附近、有一定頻率帶寬的限帶隨機(jī)激勵(lì),這種隨機(jī)激勵(lì)由中心頻率、帶寬和強(qiáng)度這三個(gè)參數(shù)確定[18].窄帶隨機(jī)激勵(lì)f(t)可以通過將Gauss白噪聲W(t)輸入下面的帶通濾波器得到[19,20]:

其中ωf為中心頻率,γ為帶寬.Gauss白噪聲W(t)的功率譜密度函數(shù)由下式給出:

其中S0為輸入白噪聲W(t)的強(qiáng)度.W(t)的自相關(guān)函數(shù)Rin(τ)為

其中δ(τ)為狄利克雷函數(shù).方程(18)輸出激勵(lì)f(t)的自相關(guān)函數(shù)Rout(τ)為

其中H(ω)為方程(18)的傳遞函數(shù).由方程(18)可以求得

將(22)式代入(21)式,并進(jìn)行積分可以得到

已知f(t)的均值為0,所以窄帶隨機(jī)激勵(lì)f(t)的均方值等于Gauss白噪聲激勵(lì)W(t)譜密度的π倍.

圖7是不同中心頻率和帶寬的隨機(jī)激勵(lì)f(t)的功率譜圖,圖中各曲線下的面積是與中心頻率ωf和帶寬γ無(wú)關(guān)的常數(shù),即隨機(jī)激勵(lì)f(t)的強(qiáng)度(或方差)是常數(shù).因此,將強(qiáng)度相同的Gauss白噪聲輸入?yún)?shù)ωf和γ大小不同的濾波器時(shí),其輸出的不同中心頻率和帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度是相同的.

圖7 不同中心頻率和帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì)的功率譜Fig.7.Power spectra of narrow-band random excitation with different center frequencies and bandwidths.

5 窄帶隨機(jī)激勵(lì)中心頻率對(duì)雙穩(wěn)壓電懸臂梁響應(yīng)與輸出電壓的影響

為了仿真窄帶隨機(jī)激勵(lì)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)及能量采集性能,本文所采用的一組材料屬性參數(shù)和系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)尺寸分別見表1和表2,仿真分析中所需的其他參數(shù)RL=10 M?.對(duì)于一定形狀尺寸的雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng),兩磁鐵間距d決定了非線性磁力的大小,因此系統(tǒng)輸出電壓的大小(由均方根值表示)將受d的影響而變化.

將強(qiáng)度D=0.2的Gauss白噪聲激勵(lì)輸入γ=10 Hz和不同ωf值參數(shù)的帶通濾波器(18)式,得到不同中心頻率的窄帶隨機(jī)激勵(lì).將這些激勵(lì)分別作用到系統(tǒng)方程(1)和(2)上,得到系統(tǒng)輸出電壓Vrms隨磁鐵間距d和窄帶激勵(lì)中心頻率fc=2πωf的變化關(guān)系,如圖8所示,圖中模擬計(jì)算的d值分辨率為0.10 mm,fc值的分辨率為1 Hz.由圖8可知,系統(tǒng)輸出電壓峰值呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.首先,無(wú)論fc取何值,系統(tǒng)總在d0=11.5 mm處附近出現(xiàn)峰值電壓輸出,類似于寬頻帶激勵(lì)的最優(yōu)間距[10],且該間距d0與窄帶隨機(jī)激勵(lì)的中心頻率無(wú)關(guān).其次,除了d0=11.5 mm外,當(dāng)fc值分別在(0,50 Hz)和(50 Hz,100 Hz)區(qū)間變化時(shí),還分別存在另外兩個(gè)和一個(gè)不同間距值也能產(chǎn)生峰值電壓輸出;而當(dāng)fc值大于100 Hz后,沒有額外間距值的峰值電壓存在.

表1 懸臂梁的主要材料參數(shù)Table 1.Main material parameters of cantilever beam.

表2 懸臂梁的主要幾何參數(shù)Table 2. Main geometric parameters of cantilever beam.

通過圖8(b)和圖6中兩條彎曲線的相似性(其中兩者之間的誤差來(lái)自泰勒展開計(jì)算磁力和計(jì)算等效線性固有頻率時(shí)的近似省略項(xiàng)),可判定圖8(a)系統(tǒng)這種峰值輸出電壓間距隨中心頻率變化的規(guī)律,是與圖6系統(tǒng)的等效線性固有頻率隨磁鐵間距的變化規(guī)律有關(guān).圖8(b)中的兩條彎曲線可以認(rèn)為是中心頻率與等效線性固有頻率相等系統(tǒng)達(dá)到共振的響應(yīng)峰值曲線,根據(jù)圖6中等效線性固有頻率曲線的單、雙穩(wěn)分界點(diǎn),可知圖8(b)中兩曲線匯聚的最低點(diǎn)間距d0=11.5 mm應(yīng)該是系統(tǒng)單、雙穩(wěn)的分界點(diǎn)間距,且d0的左右側(cè)峰值曲線分別具有雙穩(wěn)和單穩(wěn)性質(zhì)的共振.此外,不同中心頻率的窄帶隨機(jī)激勵(lì)可在一個(gè)或兩個(gè)磁鐵間距下,誘導(dǎo)系統(tǒng)在其等效線性固有頻率處產(chǎn)生雙穩(wěn)或單穩(wěn)“共振”,從而使系統(tǒng)輸出電壓達(dá)到峰值.

圖8 輸出電壓Vrms隨磁鐵間距d和窄帶中心頻率fc的變化圖,其中激勵(lì)強(qiáng)度和帶寬分別為D=0.2和γ=10 Hz,圖(b)是圖(a)的俯視圖Fig.8.Dependence of output voltage Vrmson magnet spacing d and the center frequency fcwhile D=0.2 and γ=10 Hz.Panel(b)is the top view of Panel(a).

除了在等效線性固有頻率處產(chǎn)生的峰值輸出外,圖8(b)中在分界點(diǎn)間距d0處還多出一條峰值直線,該峰值間距與窄帶激勵(lì)的中心頻率無(wú)關(guān),它是由激勵(lì)中的隨機(jī)噪聲引起的.為了驗(yàn)證這一推測(cè),令方程(1)的激勵(lì)f(t)為純諧波激勵(lì)作用于系統(tǒng),得到系統(tǒng)響應(yīng)輸出電壓與輸入頻率和磁鐵間距的關(guān)系,如圖9所示.可以看出,由于諧波激勵(lì)沒有隨機(jī)噪聲成分,所以就沒有類似于圖8(b)中間距不變的峰值輸出曲線,由此驗(yàn)證了推測(cè).下面根據(jù)中心頻率fc由小增大的變化,分別討論峰值輸出電壓對(duì)應(yīng)不同間距d的系統(tǒng)響應(yīng)機(jī)制.

圖9 純諧波激勵(lì)輸出電壓Vrms隨磁鐵間距d和諧波頻率fc的變化規(guī)律Fig.9.Dependence of output voltage Vrmson magnet spacing d and the harmonic frequency fcunder pure harmonic excitation.

1)取中心頻率fc=10 Hz.圖10(a)給出了系統(tǒng)在該中心頻率處輸出電壓與磁鐵間距關(guān)系曲線Vrms-d,可知系統(tǒng)只存在一個(gè)最大峰值輸出電壓時(shí)磁鐵間距d=11.2 mm(在圖8的d0附近),它是窄帶隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)始終存在的分界點(diǎn)間距.圖11給出了該峰值間距d=11.2 mm處系統(tǒng)的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜圖.由圖可知,此時(shí)能量采集系統(tǒng)的懸臂梁處于大幅度的雙阱間躍遷振蕩,其機(jī)電能量轉(zhuǎn)換效果好,輸出電壓值可達(dá)到峰值0.1732 V.

根據(jù)圖6分析,中心頻率fc小于50 Hz時(shí),應(yīng)有3個(gè)間距對(duì)應(yīng)峰值輸出電壓.之所以圖10(a)只有1個(gè)間距的峰值電壓,應(yīng)該是模擬計(jì)算的d值分辨率太低,使3個(gè)間距的輸出峰值“擠”在了一起.為證明這一點(diǎn),將模擬計(jì)算d值分辨率提高到0.01 mm,圖10(a)峰值處高分辨率d的細(xì)化波形如圖10(b)所示.可以看出,在d=11.2 mm附近出現(xiàn)多個(gè)凸起的小峰值,表明圖10(a)中無(wú)法分辨出明顯的3個(gè)峰值間距,是由于太低的間距分辨率和隨機(jī)干擾的影響.實(shí)際上圖8在10 Hz中心頻率處也很難分清3個(gè)明顯間距的峰值.

根據(jù)圖6可知,fSL=10 Hz處的間距d1=11.1 mm和d2=11.3 mm非常接近,與圖10的分界點(diǎn)間距d=11.2 mm幾乎重合,所以在該激勵(lì)中心頻率下,理論上存在的兩個(gè)峰值間距d1和d2在圖10或圖8中很難分辨.

圖10 激勵(lì)中心頻率fc=10 Hz時(shí)輸出電壓Vrms與磁鐵間距d的關(guān)系 (a)d=0.10 mm;(b)d=0.01 mmFig.10.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=10 Hz:(a)d=0.10 mm;(b)d=0.01 mm.

圖11 激勵(lì)中心頻率fc=10 Hz和磁鐵間距d=11.2 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.11.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=10 Hz and d=11.2 mm.

2)取中心頻率fc=25 Hz.圖12(a)是該激勵(lì)下系統(tǒng)輸出電壓與磁鐵間距關(guān)系曲線Vrms-d,相比于fc=10 Hz的情況,此時(shí)Vrms-d曲線中除了在圖8的d0附近有一個(gè)峰值間距d=11.1 mm外,還多了一個(gè)dR=12.1 mm的峰值間距.d=11.1 mm仍是系統(tǒng)始終存在的雙穩(wěn)響應(yīng)的分界點(diǎn)間距,該間距處的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖13所示.dR=12.1 mm因大于分界點(diǎn)間距,故在dR間距處產(chǎn)生了單穩(wěn)性質(zhì)的共振輸出,dR處的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖14所示.

圖12 激勵(lì)中心頻率fc=25 Hz時(shí)輸出電壓Vrms和磁鐵間距d的關(guān)系 (a)d=0.10 mm;(b)d=0.01 mmFig.12.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=25 Hz:(a)d=0.10 mm;(b)d=0.01 mm.

圖13 激勵(lì)中心頻率fc=25 Hz和磁鐵間距d=11.1 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.13.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=25 Hz and d=11.1 mm.

圖14 激勵(lì)中心頻率fc=25 Hz和磁鐵間距d=12.1 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.14.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=25 Hz and d=12.1 mm.

根據(jù)圖6可知,在fc=25 Hz時(shí),系統(tǒng)的另一個(gè)雙穩(wěn)性質(zhì)的共振響應(yīng)峰值間距是d1=10.6 mm,但在圖12(a)中并沒有出現(xiàn),原因仍然是d值模擬分辨率過低.將模擬計(jì)算的d值分辨率提高到0.01 mm,重新計(jì)算后的結(jié)果如圖12(b),可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在d=11.1 mm附近處有許多凸起的小峰值而不是兩個(gè),這同樣是由于太近的間距加上隨機(jī)干擾,很難明顯判斷兩個(gè)間距的峰值.實(shí)際上圖8在25 Hz中心頻率處也只能看清峰值間距d0右側(cè)的峰值輸出,而很難分清峰值間距d0和左側(cè)間距對(duì)應(yīng)的峰值.

圖15 激勵(lì)中心頻率fc=40 Hz時(shí)輸出電壓Vrms和磁鐵間距d的關(guān)系Fig.15.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=40 Hz.

3)取中心頻率fc=40 Hz.圖15是該激勵(lì)頻率下系統(tǒng)輸出電壓與磁鐵間距關(guān)系曲線Vrms-d,此時(shí)Vrms-d曲線在3個(gè)間距d=11.4 mm,dL=10.2 mm和dR=14.9 mm處呈現(xiàn)出3個(gè)明顯的峰值.顯然,d=11.4 mm仍是系統(tǒng)雙穩(wěn)響應(yīng)的分界點(diǎn)間距d0,其位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖16所示.而根據(jù)圖6可知,fSL=40 Hz處的兩個(gè)間距d1=9.8 mm和d2=14.9 mm,分別對(duì)應(yīng)圖15中的dL=10.2 mm和dR=14.9 mm.因dR=14.9 mm大于分界點(diǎn)間距,故其響應(yīng)是單穩(wěn)態(tài)的共振響應(yīng),dR處的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖17所示.而在dL=10.2 mm處,系統(tǒng)響應(yīng)雖然也是單穩(wěn)態(tài)的振蕩響應(yīng),如圖18所示系統(tǒng)的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜,但因dL=10.2 mm小于分界點(diǎn)間距,且該間距系統(tǒng)具有雙穩(wěn)振動(dòng)特性,故其響應(yīng)是在雙穩(wěn)勢(shì)阱中的一個(gè)單勢(shì)阱內(nèi)的共振振蕩響應(yīng).在圖8中心頻率40 Hz處,3個(gè)間距峰值也已清晰可見.

圖16 激勵(lì)中心頻率fc=40 Hz、磁鐵間距d=11.4 mm時(shí)系統(tǒng)的 (a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.16.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=40 Hz and d=11.4 mm.

圖17 激勵(lì)中心頻率fc=40 Hz、磁鐵間距dR=14.9 mm 時(shí)系統(tǒng)的 (a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.17.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=40 Hz and d=14.9 mm.

圖18 激勵(lì)中心頻率fc=40 Hz、磁鐵間距dL=10.2 mm 時(shí)系統(tǒng)的 (a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.18.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=40 Hz and d=10.2 mm.

4)取中心頻率fc=50 Hz.圖19是該激勵(lì)下系統(tǒng)輸出電壓與磁鐵間距關(guān)系曲線Vrms-d,由于fc=50 Hz與系統(tǒng)線性固有頻率幾乎相等,因此50 Hz中心頻率的系統(tǒng)響應(yīng)可能出現(xiàn)3個(gè)峰值間距,也可能出現(xiàn)兩個(gè)峰值間距.圖19所示的Vrms-d曲線中出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的峰值間距,分別是dL=9.6 mm和d=11.4 mm.顯然,d=11.4 mm仍是系統(tǒng)雙穩(wěn)響應(yīng)的分界點(diǎn)間距d0,其位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖21所示,且根據(jù)圖6易知,fSL=50 Hz處的1個(gè)間距d1=9.2 mm應(yīng)該就是dL=9.6 mm,且dL小于分界點(diǎn)間距,因此系統(tǒng)在此間距響應(yīng)是雙穩(wěn)勢(shì)阱中的一個(gè)單勢(shì)阱內(nèi)的共振振蕩響應(yīng),圖20是dL處的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜.

另外,由于中心頻率在線性系統(tǒng)的固有頻率處,因此隨著磁鐵間距的增大,系統(tǒng)逐漸從非線性變成線性,其響應(yīng)逐漸表現(xiàn)為中心頻率的線性共振與隨機(jī)激勵(lì)振動(dòng)的合成響應(yīng),其響應(yīng)值隨著間距d的增大而增大并趨于一個(gè)定值,如圖19所示.

圖19 激勵(lì)中心頻率fc=50 Hz時(shí)輸出電壓Vrms和磁鐵間距d的關(guān)系Fig.19.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=50 Hz.

圖20 激勵(lì)中心頻率fc=50 Hz、磁鐵間距d=9.6 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.20.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=50 Hz and d=9.6 mm.

圖21 激勵(lì)中心頻率fc=50 Hz、磁鐵間距d=11.4 mm時(shí)系統(tǒng)的 (a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.21.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=50 Hz and d=11.4 mm.

5)取中心頻率fc=70 Hz.由圖22可知,系統(tǒng)輸出電壓Vrms-d曲線有兩個(gè)峰值,對(duì)應(yīng)的磁鐵間距分別為dL=7.9 mm和d=11.4 mm.由于70 Hz大于fn=50 Hz,因此與圖6對(duì)比不難看出,除了d=11.4 mm是系統(tǒng)雙穩(wěn)響應(yīng)的分界點(diǎn)間距d0(如圖23該間距處的位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜圖),在fc=70 Hz時(shí),系統(tǒng)只存在1個(gè)小于分界點(diǎn)間距的雙穩(wěn)單勢(shì)阱內(nèi)的共振振蕩響應(yīng)間距7.9 mm,其位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜圖如圖24所示.

6)取中心頻率fc=120 Hz.圖25表明該激勵(lì)頻率下的系統(tǒng)輸出電壓Vrms-d曲線只有一個(gè)峰值間距,對(duì)應(yīng)圖8系統(tǒng)雙穩(wěn)響應(yīng)的分界點(diǎn)間距d0=11.5 mm,其位移響應(yīng)、相圖和輸出電壓頻譜如圖26所示.在該頻率處,圖6中已不存在對(duì)應(yīng)等效線性固有頻率的間距值,所以此時(shí)系統(tǒng)只在間距d0存在峰值電壓輸出.

圖22 激勵(lì)中心頻率fc=70 Hz時(shí)輸出電壓Vrms和磁鐵間距d的關(guān)系Fig.22.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=70 Hz.

圖23 激勵(lì)中心頻率fc=70 Hz、磁鐵間距d=11.4 mm時(shí)系統(tǒng)的 (a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.23.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=70 Hz and d=11.4 mm.

圖24 激勵(lì)中心頻率fc=70 Hz、磁鐵間距d=7.9 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.24.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=70 Hz and d=7.9 mm.

圖25 激勵(lì)中心頻率fc=120 Hz時(shí)輸出電壓Vrms和磁鐵間距d的關(guān)系Fig.25.Output voltage Vrmsvarying with magnet spacing d when fc=120 Hz.

圖26 激勵(lì)中心頻率fc=120 Hz、磁鐵間距d=11.5 mm時(shí)系統(tǒng)的(a)位移響應(yīng)、(b)相圖、(c)輸出電壓頻譜圖Fig.26.(a)Displacement response,(b)phase diagram,(c)spectrum diagram of output voltage when fc=120 Hz and d=11.5 mm.

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前面的理論分析與仿真模擬結(jié)果,本文參考表1和表2的參數(shù)制作了壓電懸臂梁能量采集結(jié)構(gòu),經(jīng)測(cè)量該壓電懸臂梁的線性固有頻率為15 Hz.壓電陶瓷的型號(hào)為PZT-5A,結(jié)構(gòu)上采用雙晶片結(jié)構(gòu),兩層壓電陶瓷片同極化方向排列,與中間電極層緊密粘結(jié),在壓電陶瓷上下表面引出導(dǎo)線作為電壓輸出,中間電極層即懸臂梁基體的材料為矽鋼.壓電懸臂梁自由端固定有永磁鐵A,型號(hào)為N38M,其根部固定在基座1上,且基座1可以在能量采集結(jié)構(gòu)底板基座2上沿梁長(zhǎng)度方向水平移動(dòng),用于調(diào)整磁鐵間距d.與磁鐵A一樣的磁鐵C固定在基座3上,且基座3與底板基座2固定,見圖27(a).壓電懸臂梁平面平行于底板基座2平面放置,整個(gè)能量采集結(jié)構(gòu)通過底板基座2與激振器連接.同時(shí),懸臂梁平面垂直方向放置有位移傳感器,用以采集懸臂梁振動(dòng)時(shí)的位移響應(yīng).

此外,為了滿足前文提到的“系統(tǒng)處于平衡位置時(shí),不考慮磁鐵A和外部磁鐵C的重力對(duì)壓電懸臂梁靜力形變的影響”的假設(shè),實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中,底板基座2平面及懸臂梁的平面均垂直于地面放置,如圖27(b)所示,即激振器沿平行于地面的方向激勵(lì)底板基座2振動(dòng),以消除磁鐵的重力對(duì)壓電懸臂梁的靜力形變影響.

整個(gè)實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)框架如圖28所示.實(shí)驗(yàn)中,首先在計(jì)算機(jī)中生成強(qiáng)度為0.2、帶寬為5 Hz、中心頻率不同的窄帶激勵(lì)數(shù)字信號(hào),然后通過USB接口輸入給信號(hào)發(fā)生器,再由信號(hào)發(fā)生器輸出并經(jīng)過功率放大器和激振器作用于能量采集器上,能量采集器的壓電懸臂梁在窄帶激勵(lì)的作用下振動(dòng)發(fā)電,其壓電片產(chǎn)生的電壓通過引線由數(shù)據(jù)采集器進(jìn)行采集,位移傳感器測(cè)量的懸臂梁振動(dòng)位移也同時(shí)由數(shù)據(jù)采集器進(jìn)行采集,電壓和位移兩信號(hào)同時(shí)送入計(jì)算機(jī)中進(jìn)行分析.實(shí)驗(yàn)激勵(lì)強(qiáng)度以加速度值度量,保持0.5 g有效值.

圖27 壓電振動(dòng)能量采集系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖Fig.27.Experimental structure of piezoelectric vibration energy harvesting system.

圖28 壓電振動(dòng)能量采集器實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)Fig.28.Experimental test system of piezoelectric vibration energy harvesting system.

通過調(diào)節(jié)磁鐵間距d和激勵(lì)中心頻率fc,實(shí)驗(yàn)中分別記錄了不同d值和fc值下壓電懸臂梁的輸出電壓均方值Vrms,仿照?qǐng)D8(a)和圖8(b),可以繪制輸出電壓均方值Vrms關(guān)于磁鐵間距d和激勵(lì)中心頻率fc的關(guān)系,如圖29(a)和圖29(b)所示.可以看出,圖8(a)和圖8(b)與圖29(a)和圖29(b)的形狀相似,說(shuō)明窄帶激勵(lì)下系統(tǒng)的電壓輸出特性與仿真模擬的結(jié)果基本一致.無(wú)論激勵(lì)中心頻率為多少,壓電懸臂梁系統(tǒng)始終在d0=18 mm附近出現(xiàn)峰值電壓輸出,可判定此間距為窄帶激勵(lì)下系統(tǒng)的分界點(diǎn)間距,該峰值輸出是由激勵(lì)中的隨機(jī)成分引起的.當(dāng)激勵(lì)中心頻率小于15 Hz時(shí),分界點(diǎn)間距d0左右兩側(cè)分別出現(xiàn)具有雙穩(wěn)和單穩(wěn)振動(dòng)特性的峰值電壓,該兩峰值是由激勵(lì)中心頻率與系統(tǒng)等效線性固有頻率一致引起的.且在激勵(lì)中心頻率較小時(shí),兩側(cè)的峰值間距與d0非常接近,在實(shí)驗(yàn)分辨率下無(wú)法明顯體現(xiàn)出來(lái).當(dāng)中心頻率大于15 Hz且小于40 Hz時(shí),系統(tǒng)僅在分界點(diǎn)間距d0左側(cè)出現(xiàn)1個(gè)具有雙穩(wěn)振動(dòng)特性的峰值電壓.當(dāng)中心頻率超過40 Hz后,系統(tǒng)不存在由激勵(lì)中心頻率與系統(tǒng)等效線性固有頻率一致引起的峰值電壓輸出.這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析及模擬結(jié)果的正確性.

為了進(jìn)一步理解實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)情況,圖30給出了激勵(lì)中心頻率為13 Hz時(shí),激振臺(tái)的加速度響應(yīng)及其頻譜圖,圖31給出了該激勵(lì)條件下,系統(tǒng)在3個(gè)峰值間距(d0=18 mm,dL=16 mm,dR=24 mm)下的位移-時(shí)間圖.由圖31可知,系統(tǒng)在3個(gè)峰值間距下的振動(dòng)狀態(tài)分別是:雙穩(wěn)躍遷振動(dòng)、雙穩(wěn)單勢(shì)阱內(nèi)振動(dòng)、單穩(wěn)振動(dòng),與理論分析中fc=40 Hz時(shí)3個(gè)峰值間距下系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)情況相符合.

圖29 輸出電壓Vrms隨磁鐵間距d和窄帶中心頻率fc的變化,其中激勵(lì)強(qiáng)度和帶寬分別為D=0.2和γ=5 Hz;圖(b)是圖(a)的俯視圖Fig.29.Dependence of output voltage Vrmson magnet spacing d and the center frequencies fcwhile D=0.2 and γ=5 Hz.Panel(b)is the top view of panel(a).

圖30 激勵(lì)中心頻率fc=13 Hz時(shí),激振臺(tái)的激勵(lì)狀態(tài) (a)加速度響應(yīng);(b)加速度頻譜Fig.30.Excitation state of the vibrator when fc=13 Hz:(a)Acceleration response;(b)acceleration spectrum.

圖31 激勵(lì)中心頻率fc=13 Hz時(shí),不同峰值間距下系統(tǒng)的位移響應(yīng) (a)d0=18 mm;(b)dL=16 mm;(c)dR=24 mmFig.31.Displacement response under different magnet spacings when fc=13 Hz:(a)d0=18 mm;(b)dL=16 mm;(c)dR=24 mm.

7 結(jié) 論

本文以雙穩(wěn)壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)為研究對(duì)象,探討了不同中心頻率窄帶隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)和能量采集特性.研究結(jié)果表明:對(duì)于一定帶寬的窄帶隨機(jī)激勵(lì),1)系統(tǒng)始終存在一個(gè)可產(chǎn)生響應(yīng)峰值的磁鐵間距(稱為分界點(diǎn)間距)d0,這一特性類似于寬頻帶隨機(jī)激勵(lì)的雙穩(wěn)系統(tǒng)在最優(yōu)磁鐵間距處產(chǎn)生響應(yīng)峰值的雙穩(wěn)響應(yīng)特性;2)當(dāng)激勵(lì)頻率由小到大依次變化且不超過某個(gè)頻率值時(shí),系統(tǒng)分別存在另外兩個(gè)或一個(gè)不同磁鐵間距(d1和d2或d1)也能使系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到峰值電壓,且系統(tǒng)這種峰值輸出電壓間距隨中心頻率變化的規(guī)律,是與系統(tǒng)的等效線性固有頻率隨磁鐵間距的變化規(guī)律一致;3)磁鐵間距d1和d2處的系統(tǒng)峰值輸出電壓,是由系統(tǒng)在其等效線性固有頻率處誘導(dǎo)產(chǎn)生雙穩(wěn)或單穩(wěn)“共振”形成的;4)由于在一定帶寬的窄帶激勵(lì)下,系統(tǒng)響應(yīng)存在3個(gè)峰值間距d0,d1和d2,因此對(duì)于實(shí)際環(huán)境變化的窄帶激勵(lì),可根據(jù)具體工況將能量采集系統(tǒng)的磁鐵間距進(jìn)行合理安排,以實(shí)現(xiàn)更好的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換.