蒲曉慶 吳靜 郭強(qiáng) 蔡建臻

1)(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)2)(北京東方計(jì)量測(cè)試研究所,北京 100086)(2018年8月3日收到;2018年8月27日收到修改稿)

石墨烯材料應(yīng)用于多種電子器件時(shí)不可避免地要與金屬電極接觸,它們之間的接觸電阻直接影響了器件的性能.為了揭示影響金屬電極與石墨烯間接觸電阻的因素,提出有效地抑制這些影響的措施,本文建立了一種求解接觸電阻的物理模型,將載流子的輸運(yùn)分為金屬與正下方石墨烯之間、正下方石墨烯與鄰近石墨烯之間的兩個(gè)過(guò)程,分別研究各個(gè)過(guò)程的輸運(yùn)概率;結(jié)合金屬電極與石墨烯接觸對(duì)載流子分布的影響分析接觸電阻,據(jù)此分別探討了金屬電極材料、柵極電壓、摻雜濃度、金屬與石墨烯原子距離等對(duì)接觸電阻的影響.為驗(yàn)證理論分析結(jié)果的正確性,制作了金與石墨烯接觸的實(shí)驗(yàn)樣品,實(shí)驗(yàn)測(cè)得的接觸電阻與理論分析結(jié)果符合.理論分析結(jié)果表明,可通過(guò)選擇與石墨烯功函數(shù)接近的金屬材料,降低二氧化硅層厚度,增加載流子平均自由程,改進(jìn)金屬材料的表面形態(tài)使其更光滑,減小金屬與石墨烯耦合長(zhǎng)度等方法降低石墨烯與金屬電極的接觸電阻.

1 引 言

自2004年英國(guó)曼徹斯特大學(xué)的Novoselov和Geim等使用機(jī)械剝離法首次制備出石墨烯材料[1]以來(lái),由于石墨烯在電學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等方面具有優(yōu)良的性能,已在高性能場(chǎng)效應(yīng)管、傳感器、光電器件、量子化器件等得到應(yīng)用[2?6].例如,在電學(xué)計(jì)量領(lǐng)域,石墨烯材料由于其高載流子遷移率、量子化電導(dǎo)和量子化霍爾效應(yīng),被應(yīng)用于霍爾電阻的測(cè)量,測(cè)量精度可達(dá)到10?10量級(jí)[7?9];在光電領(lǐng)域,石墨烯由于其高光吸收率,被應(yīng)用于紅外探測(cè)器、發(fā)射器和光電探測(cè)器等[10?12].

石墨烯應(yīng)用于很多電子器件和傳感器時(shí),不可避免地要與金屬接觸. 理想的石墨烯材料具有良好的導(dǎo)電性,電子遷移率可達(dá)到2×105cm·V?1·s?1[13],但在狄拉克點(diǎn)附近較小的態(tài)密度限制了金屬與石墨烯之間載流子的轉(zhuǎn)移,造成接觸區(qū)域的高接觸電阻.控制金屬與石墨烯間的接觸電阻,使其能不受制造環(huán)境和工藝的約束而復(fù)現(xiàn)低電阻值,對(duì)基于石墨烯的高性能電子器件的研制至關(guān)重要.Khomyakov等[14]利用第一性原理分析了石墨烯與金屬接觸時(shí),載流子的相互作用和轉(zhuǎn)移情況,建立了物理吸附于石墨烯上的金屬的費(fèi)米能級(jí)和功函數(shù)變化的一般模型,分析了化學(xué)吸附的金屬對(duì)石墨烯帶隙和金屬功函數(shù)的影響.Matsuda等[15,16]根據(jù)金屬與石墨烯之間相互作用力的大小,將金屬與石墨烯的接觸分為三類(lèi),從原子結(jié)構(gòu)層面分析接觸耦合力、缺陷等因素對(duì)接觸電阻的影響.Chaves等[17]利用傳輸線(xiàn)方法分析金屬與石墨烯的接觸電阻,并利用隧穿電子密度進(jìn)行了接觸電阻率的推導(dǎo).傳統(tǒng)的半導(dǎo)體材料與金屬接觸時(shí),接觸區(qū)域的載流子平均自由程遠(yuǎn)大于金屬與半導(dǎo)體的耦合長(zhǎng)度.石墨烯與金屬接觸時(shí),載流子平均自由程并不滿(mǎn)足這一條件,因而需要對(duì)傳輸線(xiàn)模型進(jìn)行校準(zhǔn),增加了理論推導(dǎo)的復(fù)雜度,同時(shí)此種方法難以考慮金屬下方半導(dǎo)體材料的薄膜電阻與半導(dǎo)體溝道薄膜電阻的差異.Xia等[18]建立了金屬與石墨烯接觸的二維物理模型,并提出金屬與石墨烯接觸時(shí)載流子的輸運(yùn)過(guò)程分為載流子從金屬進(jìn)入其下方的石墨烯,以及從金屬下方石墨烯到門(mén)控的石墨烯溝道的兩個(gè)過(guò)程,使得接觸電阻的理論分析更加簡(jiǎn)單.

為了從本質(zhì)上理解影響金屬電極與石墨烯的接觸電阻的因素,本文從載流子輸運(yùn)角度分析接觸電阻.借鑒文獻(xiàn)[18]的思想,將接觸區(qū)域的載流子輸運(yùn)過(guò)程也分為兩個(gè)過(guò)程,并基于朗道公式計(jì)算接觸電阻.在求解過(guò)程中,利用金屬與石墨烯的耦合、載流子的自由輸運(yùn)以及石墨烯狄拉克費(fèi)米子的反射系數(shù)可得兩個(gè)輸運(yùn)過(guò)程的輸運(yùn)概率,通過(guò)不同材料接觸時(shí)石墨烯的費(fèi)米能級(jí)變化可計(jì)算出石墨烯的量子化導(dǎo)通模式數(shù)量,綜合上述結(jié)果可推出接觸電阻的計(jì)算公式.另外,本文還利用傳輸線(xiàn)模型設(shè)計(jì)了金屬電極與石墨烯接觸的測(cè)試樣品,并用四點(diǎn)法測(cè)量其接觸電阻,將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論結(jié)果對(duì)比分析以驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性.在此基礎(chǔ)上分析了影響金屬與石墨烯間接觸電阻的因素,并提出降低接觸電阻的措施.

2 基于朗道方法的接觸電阻推導(dǎo)

考慮金屬與石墨烯接觸的實(shí)際情況,假設(shè)載流子的輸運(yùn)過(guò)程為如圖1所示的兩個(gè)步驟:

A)載流子從金屬電極轉(zhuǎn)移到其正下方的石墨烯;

B)載流子從金屬電極正下方的石墨烯轉(zhuǎn)移到鄰近的石墨烯.

金屬電極與石墨烯接觸時(shí),載流子同時(shí)存在彈道輸運(yùn)與擴(kuò)散輸運(yùn),但以載流子的彈道輸運(yùn)為主[18].利用朗道公式[19]表示金屬電極與石墨烯的接觸電阻為

其中,h為普朗克常數(shù);e為電子電量;M為金屬下方的石墨烯中量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量MA和鄰近的石墨烯中量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量MB的最小值,M=min{MA,MB};TA,TB分別為過(guò)程A,B的載流子的輸運(yùn)概率.(1)式中右側(cè)第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)過(guò)程A的電阻,第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)過(guò)程B的電阻,第三項(xiàng)為不考慮載流子反射造成的輸運(yùn)引入的修正電阻.

圖1 金屬與石墨烯接觸的物理模型Fig.1.Physical model of the contact of metal and graphene.

2.1 傳輸概率TA,TB的分析

根據(jù)圖1中的坐標(biāo)系,可將過(guò)程A的電壓V、電流I的關(guān)系表示為

利用指數(shù)形式表示如圖2所示的過(guò)程B中每一點(diǎn)費(fèi)米能級(jí)的變化為

其中,?EA為金屬電極正下方石墨烯的費(fèi)米能量和狄拉克點(diǎn)的能量差,?EB為鄰近石墨烯的費(fèi)米能量和狄拉克點(diǎn)的能量差,L為過(guò)程B中費(fèi)米能量變化區(qū)域的長(zhǎng)度.過(guò)程B的輸運(yùn)概率TB可表示為[21]

式中,κmn=kB?kA+mkBx+nkAx(m,n=±1);其中,kAx,kBx分別為金屬正下方石墨烯費(fèi)米波矢kFA、鄰近石墨烯費(fèi)米波矢kFB的縱向分量;費(fèi)米波矢縱向分量與橫向分量的關(guān)系為sgn為符號(hào)函數(shù),其正、負(fù)分別表示石墨烯的p摻雜和n摻雜.

圖2 利用指數(shù)形式表征過(guò)程B中石墨烯的能量變化Fig.2.Energy change of graphene in process B characterized by exponential form.

2.2 石墨烯中量子化導(dǎo)通模式數(shù)量MA,MB的分析

石墨烯量子化導(dǎo)通模式數(shù)量M可利用石墨烯寬度W、石墨烯費(fèi)米能級(jí)的變化?E等表示為M=W?E/(πVF),因此對(duì)M的求解可通過(guò)求解?E來(lái)實(shí)現(xiàn).參考文獻(xiàn)[14]中石墨烯與金屬表面勢(shì)能變化示意圖,可做出與圖1所示模型對(duì)應(yīng)的金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖,如圖3所示.圖中WM表示金屬的功函數(shù),WG表示石墨烯的功函數(shù),WSi表示硅的功函數(shù),?MG為金屬與石墨烯接觸表面的勢(shì)能變化,?O為二氧化硅中的勢(shì)能變化,V為施加的漏源電壓,Vg為施加的柵極電壓,deq為金屬與石墨烯費(fèi)米能級(jí)平衡時(shí)的距離.

根據(jù)圖3,WM,WG可分別表示為

式中,?MG為金屬與石墨烯接觸造成的表面勢(shì)能變化,其由載流子在接觸區(qū)域表面移動(dòng)造成的勢(shì)能變化?t和表面電子、空穴的化學(xué)反應(yīng)造成的化學(xué)能變化?c兩部分組成.當(dāng)金屬與石墨烯原子之間的距離超過(guò)4 nm,?c通常可忽略[14].根據(jù)整個(gè)物理模型呈電中性,有

式中,QM為金屬所帶電量其中,C1為單位面積的金屬與石墨烯之間的電容ε0/d1,d1為金屬與石墨烯之間的距離;QG為石墨烯所帶電量,為硅所帶電量,可利用計(jì)算,其中,C2為單位面積的石墨烯與硅之間的電容ε/d2,d2為SiO2層的厚度,ε為SiO2的介電常數(shù).

聯(lián)立求解(7)—(9)式,?EA可表示為

其中,VDirac表示實(shí)現(xiàn)?EA=0的柵極電壓.

利用與分析?EA類(lèi)似的方法,令d1→∞,WM=0,可將?EB表示為

圖3 金屬-石墨烯-二氧化硅-硅的能帶變化示意圖Fig.3.Schematic illustration of band change of metalgraphene-SiO2-Si.

3 接觸電阻實(shí)測(cè)結(jié)果與影響因素分析

利用第2節(jié)的理論計(jì)算了金、銀、銅、鈦、鈀5種常見(jiàn)金屬電極與石墨烯接觸時(shí)的接觸電阻.表1列出了5種金屬材料的電學(xué)參數(shù)以及假設(shè)TA=0.75,TB=1,柵極電壓為0時(shí)的接觸電阻值.

文獻(xiàn)[18]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得柵極電壓為0時(shí),鈀金屬電極與石墨烯間的接觸電阻為(230±20)?·μm,表1的理論分析結(jié)果為210 ?·μm,兩者較接近.為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提的接觸電阻的分析方法,基于傳輸線(xiàn)模型制作金屬與石墨烯接觸樣品,并采用四點(diǎn)法測(cè)量樣品的接觸電阻.如圖4所示,利用探針在金屬電極兩端通正向電流并測(cè)電壓得到正向電阻,通反向電流并測(cè)電壓得到反向電阻,取它們的平均值為樣品的電阻.其中,測(cè)試探針由奕葉國(guó)際有限公司提供,電流源的型號(hào)為KEYSIGHT B2961A,電壓測(cè)量?jī)x的型號(hào)為RIGOL DM3068.

表1 金屬的電學(xué)參數(shù)Table 1.Electrical parameters for different metal electrodes.

圖4 金屬與石墨烯的接觸樣品及接觸電阻測(cè)量方法示意圖Fig.4.Test sample of metal-graphene contact and the schematic diagram on the measurement method of contact resistance.

圖5 樣品總電阻隨石墨烯長(zhǎng)度的變化Fig.5. Variations of the total resistance with the lengths of the graphene.

實(shí)驗(yàn)樣品兩金屬電極之間的石墨烯長(zhǎng)度分別為2,4,6,8,10μm,分別在電極兩端通入10,20,40,60,80μA的電流,測(cè)量?jī)山饘匐姌O間的電壓值.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可得測(cè)試樣品總電阻變化趨勢(shì)如圖5所示,根據(jù)傳輸線(xiàn)模型原理,石墨烯長(zhǎng)度為0時(shí)的總電阻為(160±30)?.樣品的電極寬度為4μm,考慮到所測(cè)結(jié)果是兩個(gè)金屬電極與石墨烯接觸,則接觸電阻為(320±60)?·μm,這與表2中金與石墨烯的接觸電阻的理論計(jì)算值相近.

(1)式中金屬與石墨烯間接觸電阻僅存在量子化導(dǎo)通模式的數(shù)量M、過(guò)程A的輸運(yùn)概率TA、過(guò)程B的輸運(yùn)概率TB,而M又與?E有關(guān).根據(jù)(10)和(11)式可知,金屬的功函數(shù)、金屬與石墨烯的距離、石墨烯與柵極之間的絕緣層厚度、石墨烯摻雜濃度、柵極電壓均會(huì)對(duì)?E造成影響.顯然,石墨烯的摻雜濃度越高,接觸電阻越小.圖6為不同金屬與石墨烯在平衡距離時(shí),接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系.圖中接觸電阻總是關(guān)于某一柵極電壓左右對(duì)稱(chēng)分布,并在該電壓處趨于無(wú)窮,這是由于此處金屬與石墨烯之間無(wú)勢(shì)能差異,即?E=0.石墨烯的功函數(shù)、金屬的功函數(shù)以及金屬與石墨烯接觸的化學(xué)勢(shì)能變化的差值決定了曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)處柵極電壓的大小.由于不同金屬與石墨烯接觸的化學(xué)勢(shì)能變化差異較小,選擇柵極電壓在狄拉克點(diǎn)電壓附近時(shí),金屬功函數(shù)與石墨烯功函數(shù)差異越小,接觸電阻越小.圖6中,對(duì)稱(chēng)處的接觸電阻從小到大對(duì)應(yīng)的金屬分別為鈦、銀、銅、金、鈀,這與各金屬的功函數(shù)和石墨烯功函數(shù)(本文取其為4.5 eV)的差異有關(guān).

圖7(a)是金屬電極為鈀,d1=0,d2為100,200,300 nm時(shí),接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系.由圖7(a)可知,曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心均為Vg?VDirac=0,d2越大,接觸電阻值越大.圖7(b)是金屬電極為鈀,d2=90 nm,d1為0.1,0.2,0.3 nm時(shí)接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系曲線(xiàn),金屬與石墨烯距離越大,曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心對(duì)應(yīng)的柵極電壓越小,接觸電阻變化越快.當(dāng)(Vg?VDirac)的變化范圍為0—20 V時(shí),金屬與石墨烯距離越大,接觸電阻越大.

圖6 不同材料金屬電極下RC與柵極電壓Vg的關(guān)系Fig.6.Relationship between RCand gate voltage Vg with different metal electrodes.

圖7 接觸電阻與柵極電壓的關(guān)系 (a)改變二氧化硅的厚度d2;(b)改變金屬與石墨烯的距離d1Fig.7.Relationship between RCand gate voltage:(a)Variations of the thickness d2of SiO2;(b)variations of the distance d1between metal and graphene.

由(4)式可知,λ和λm影響TA,λ與弛豫時(shí)間成正比,λm與金屬-石墨烯耦合力成反比,λ/λm越小,TA越大,則接觸電阻越小.若只考慮TB對(duì)接觸電阻的影響,由(6)式可知,載流子在石墨烯中的入射角度、?E發(fā)生改變的長(zhǎng)度L等因素均會(huì)影響TB.通常入射角度越大,L越短,接觸電阻越小.

4 結(jié) 論

本文基于朗道公式推導(dǎo)了金屬電極與石墨烯的接觸電阻,利用傳輸線(xiàn)模型制作了金屬與石墨烯接觸的實(shí)驗(yàn)樣品,通過(guò)對(duì)比接觸電阻的理論計(jì)算值和實(shí)測(cè)值驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.理論分析結(jié)果表明,為降低金屬與石墨烯的接觸電阻,可從以下兩方面入手.

1)提高石墨烯量子化導(dǎo)通模式數(shù)量:選擇功函數(shù)與石墨烯接近的金屬材料;降低二氧化硅層的厚度,使柵極電壓變化范圍一定時(shí)量子化導(dǎo)通模式數(shù)量變化范圍更大;增加金屬下方石墨烯和溝道石墨烯之間的載流子濃度差.

2)提高載流子傳輸概率:提高石墨烯材料遷移率,增加載流子平均自由程,改進(jìn)金屬材料的表面形態(tài),減小金屬與石墨烯耦合長(zhǎng)度.