■河南省潢川第一中學(xué)高三(11)班 程 曦

一、不具備“正值”條件時，需將其轉(zhuǎn)化為正值

例1求函數(shù)的最值。

分析：因2x,,不一定是正值,故需先將其轉(zhuǎn)化為正值。

解：當(dāng)x＞0時,=1-。

當(dāng)x＜0時,y=1-2x-=1+(-2x)+。

綜上所述,當(dāng)x＞0時,時,函數(shù)y=1-2x-的最大值為;當(dāng)x＜0時,x=時,函數(shù)y=1-2x-的最小值為。

點評：基本不等式的兩個變量都必須是正實數(shù)。如果兩個變量異號或同為負(fù)實數(shù),那么不等式要么不成立,要么不等號的方向會改變。

變式訓(xùn)練：已知x＜0,求函數(shù)3x的最大值。

解：因為x＜0,所以-x＞0

故y≤-12,當(dāng)且僅當(dāng),即x=-2時,等號成立。

故當(dāng)x＜0時,函數(shù)的最大值為-12。

二、不具備“定值”條件時，需將其構(gòu)造成定值條件

1.求和的最值,而積不為定值

例2已知x＞-1,求函數(shù)y=2x+的最小值。

分析：要積為定值,必須要去掉分母中的2x+3,故需把2x變形為(2x+3)-3。

解：由題意知,y=2x+=(2x+3)+。

x＞-1,故2x+3＞0,(2x+3)+

故y≥1,當(dāng)且僅當(dāng)2x+3=,即x=-時,等號成立。

故當(dāng)x＞-1時,函數(shù)3x的最小值為1。

變式訓(xùn)練：已知a、b、x、y都是正數(shù),且,求x+y的最小值。

解：x+y=

2.求積的最值,而和不為定值

例3已知,求函數(shù)(1-3x)的最大值。

分析：由題意可知x,1-3x均為正數(shù),但x2,1-3x的和不是定值,故需將(1-3x)進(jìn)行適當(dāng)變形,構(gòu)造定值。

解：

點評：在利用“均值不等式”求最值時,若不具備“定值”條件,需將其構(gòu)造成定值條件,并巧妙用“定值”這個條件對所求式子進(jìn)行分拆、組合、添加系數(shù)使之滿足均值不等式的條件。

三、不具備“相等”條件時，需進(jìn)行適當(dāng)變形或利用函數(shù)單調(diào)性求最值

例4已知0＜x≤1,求函數(shù)的最小值。

分析：若直接利用基本不等式,則有y=,當(dāng)x=2時,等號成立。而2?(0,1],所以等號不成立。

解：因為在x∈(0,2]上為減函數(shù),所以函數(shù)在x∈(0,1]上為減函數(shù)。

因此,當(dāng)x=1時,函數(shù)取得最小值ymin=1+4=5。

變式訓(xùn)練：已知x∈(0,π),求y=的最小值。

解：令t=sinx(0＜t≤1),則易得y=,y在t∈(0,1]上是減函數(shù)。

故當(dāng)t=1,即時,ymin=10。

四、最值問題的其他處理方法

例5已知a＞b＞0,求的最小值。

分析：本題若直接利用均值不等式,即使通過變形,也很難保證其積為定值,可先求的最小值,連續(xù)兩次用均值不等式。

解：因為a＞b＞0,所以a-b＞0。故b(a-b

點評：第一次用均值不等式求分母最值時,達(dá)到了化簡分母的目的,同時具備第二次使用基本不等式的“相等”條件,也具備第一次的“相等”條件。連續(xù)兩次使用基本不等式求最值時,應(yīng)注意兩次“相等”必須一致,否則就會出錯。