潘晶雯， 羅 靜， 姜廣緒， 鞠麗梅， 張少亮

(1. 陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072； 2. 陸軍裝甲兵學(xué)院教研保障中心， 北京 100072； 3. 中國能源建設(shè)集團(tuán)規(guī)劃設(shè)計(jì)有限公司， 北京 100120)

多鐵性層合柱是一類應(yīng)用于智能器件中的常見多鐵性結(jié)構(gòu)形式。對于層合柱，界面是關(guān)鍵部位，它起著磁電耦合的應(yīng)變介導(dǎo)作用[1]。在動態(tài)載荷環(huán)境中，多鐵性智能結(jié)構(gòu)常處于振動的工作狀態(tài)，而在力-電-磁耦合作用下，其界面容易產(chǎn)生機(jī)械損傷、電學(xué)損傷、磁學(xué)損傷等界面損傷。界面損傷會在一定程度上削弱界面和結(jié)構(gòu)的功能，也勢必影響層狀多鐵性器件的力-電-磁響應(yīng)特性。因此，振動條件下含損傷界面的智能結(jié)構(gòu)力學(xué)研究成為近年來國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[2-10]。

目前，界面損傷模型一般都是解耦的線性模型，而忽略了不同種類損傷之間的耦合作用。在含弱界面的多鐵性層合結(jié)構(gòu)研究中，損傷耦合條件下進(jìn)行力學(xué)分析更符合實(shí)際情況?；诖?，筆者利用平面問題中的弱界面耦合廣義線彈簧模型對含弱界面的多鐵性空心層合柱振動行為進(jìn)行分析，以探究空心層合柱內(nèi)徑變化影響界面損傷系數(shù)和損傷耦合系數(shù)對機(jī)械振動頻率的作用規(guī)律，為空心柱狀智能元器件的尺寸設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 含弱界面的多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型

在高溫、高壓條件下，多鐵性材料制造時(shí)2種材料之間因相互滲透或者擴(kuò)散，而在接觸面產(chǎn)生界面層，即弱界面[3]，這種作用使得界面層同時(shí)含有鐵電、鐵磁成分。因此，在無力、電、磁損傷存在的情況下，該類界面層一般具有磁電彈性質(zhì)，其平面問題的本構(gòu)關(guān)系為[11]

σr=Mu，

(1)

式中：σr=[σrBrDr]T，為廣義應(yīng)力，其中σr、Br、Dr分別為徑向的正應(yīng)力、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電位移；u=[urφrφr]T，為廣義位移，其中ur、φr、φr分別為徑向的機(jī)械位移、磁勢、電勢；

為將界面層的材料系數(shù)矩陣與廣義位移偏導(dǎo)運(yùn)算聯(lián)立得到的矩陣，其下標(biāo)中的逗號后表示對相應(yīng)坐標(biāo)求偏導(dǎo)運(yùn)算所針對的變量，c33、μ33、ε33、h33、e33、d33分別為界面層的彈性常數(shù)、磁導(dǎo)率、介電系數(shù)、壓磁系數(shù)、壓電系數(shù)、磁電系數(shù)。

在機(jī)械載荷和電磁場作用下，含弱界面的多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型為[12]

σr|Γ=βΓ(u|Γ+-u|Γ-)，

(2)

式中：

(3)

為廣義剛度矩陣，其中β2為機(jī)械損傷系數(shù)，β3為磁學(xué)損傷系數(shù)，β4為電學(xué)損傷系數(shù)，β5、β6和β7分別為力-磁損傷耦合系數(shù)、力-電損傷耦合系數(shù)和力-磁-電損傷耦合系數(shù)；u|Γ+、u|Γ-分別為弱界面上鐵磁側(cè)、鐵電側(cè)的廣義位移。

由于βi(i=2,3,…,7)的量綱彼此不同，為便于分析，將式(3)改寫為

(4)

2 含弱界面的多鐵性層合柱的理論模型

2.1 幾何模型

圖1為一個(gè)含弱界面的空心多鐵性層合柱的橫截面，其中外部為鐵電層，內(nèi)部為鐵磁層，中間為弱界面。以橫截面圓心O為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，θ為半徑r和極軸Ox的夾角。鐵磁層內(nèi)、外半徑分別為r0、r1，鐵電層內(nèi)、外半徑分別為r1、r2。于是，鐵磁層、鐵電層的厚度分別為tm=r1-r0,te=r2-r1。

該多鐵性層合柱位于徑向電場中，其內(nèi)、外表面的徑向電場分量的大小分別為E1和E2。在鐵磁層的內(nèi)表面加以接地，而在鐵電層的外表面加以φ0eiωt的交流電壓，其中φ0為提供電勢的振幅，ω為交流電壓的角頻率，t為時(shí)間。為了簡便，在后面的說明中消去時(shí)間因子，則多鐵性層合柱的邊界條件為

(5)

(6)

另外，在設(shè)置層合柱的內(nèi)、外表面的邊界條件后，也需對弱界面的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行連續(xù)性假設(shè)，則有

σr(r1)=βΓ(u(2)(r1)-u(1)(r1))。

(7)

2.2 基本方程

2.2.1 壓電部分

壓電部分的基本方程如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

彈性力學(xué)的平衡方程為

(12)

(13)

(14)

將式(13)進(jìn)行積分可得

(15)

將式(15)代入式(10)，可得

(16)

將式(8)、(9)代入式(12)，可得

(17)

式中：A1為積分常數(shù)；η=ωr/v2，為定義的無量綱量，v2為常數(shù)(見附錄A);α2、λ2為常數(shù)(見附錄A)。

二階非齊次微分方程的解為[13]

A1λ2(γ1h(η)+γ2l(η))，

(18)

式中：A2、A3為積分常數(shù)；Jα2(η)、Yα2(η) 為α2階第一類和第二類Bessel函數(shù)；γ1、γ2為常數(shù)(見附錄A)；h(η)、l(η)為已知函數(shù)(見附錄B)。

將式(18)代入式(8)中，化簡后可得

(19)

對式(16)進(jìn)行積分，化簡后可得

φr(2)=f21(η)A1+f22(η)A2+A3f23(η)+A4；

(20)

對式(14)進(jìn)行積分可得

(21)

將式(21)代入式(11)，可得

(22)

式中：g21(η)、g22(η)、g23(η)，f21(η)、f22(η)、f23(η)均為已知函數(shù)(見附錄B)；A4、B1、B2為積分常數(shù)。

2.2.2 壓磁部分

壓磁部分的計(jì)算推導(dǎo)與壓電部分相似。同理，其基本方程為

(23)

(24)

(25)

(26)

推導(dǎo)得到如下結(jié)果：

(27)

(28)

(29)

C1λ1(γ11h1(ξ)+γ22l1(ξ))，

(30)

(31)

(32)

式中：C1、C2、C3、C4、D1、D2為積分常數(shù)；Jα1(ξ)、Yα1(ξ) 為α1階第一類和第二類Bessel函數(shù)，其中ξ=ωr/v1，為定義的無量綱量，α1、v1為常數(shù)(見附錄A)；λ1、γ11、γ22為常數(shù)(見附錄A)；g11(ξ)、g12(ξ)、g13(ξ)、h1(ξ)、l1(ξ)、f11(ξ)、f12(ξ)、f13(ξ)均為已知函數(shù)(見附錄B)。

2.2.3 振動分析

將式(8)-(11)、(20)、(22)和式(27)-(32)代入式(5)-(7)中，得到代數(shù)方程

MF=C。

(33)

式中：

F=(A1，A2，A3，A4，B1，B2，C1，C2，C3，C4，D1，D2)T；

C=(0，0，0，0，0，φ0，0，0，0，0，0，0)T；

M=(mij)12×12，矩陣中各元素表達(dá)式見附錄C。

根據(jù)式(15)、(33)，電位移可以表示為

(34)

式中：N=(nij)12×12，其中nij=mij(i=01,02,…,12;j=02,03,…,12)，n0101=n0201=…=n0501=0，n0601=φ0，n0701=n0801=…=n1201=0。

3 數(shù)值分析結(jié)果

假設(shè)鐵電層和鐵磁層的材料分別為BaTiO3和CoFe2O4[11,14]。另外，假設(shè)鐵電層與鐵磁層具有相同的厚度，即t=te=tm=0.01 m。

3.1 多鐵性層合柱內(nèi)徑對界面損傷的影響

3.2 多鐵性層合柱內(nèi)徑對弱界面損傷耦合的影響

3.3 多鐵性層合柱的徑厚比對機(jī)械振動頻率的影響

由3.1、3.2節(jié)可知：當(dāng)內(nèi)徑r0=0.08 m時(shí)，弱界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對機(jī)械振動頻率的影響很小。因此，有必要研究層合柱的徑厚比n=r0/t對機(jī)械振動頻率的影響。

圖8為在不同的弱界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)存在的情況下，徑厚比n對機(jī)械振動頻率的影響變化曲線?？梢钥闯觯弘S著n的不斷增大，各損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對機(jī)械振動頻率的影響呈下降趨勢；當(dāng)n≈8時(shí)，各系數(shù)對振動頻率的影響已很小，且趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)論

針對多鐵性復(fù)合材料力電磁耦合的特征，利用含弱界面多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型，對指定參數(shù)的空心多鐵性層合柱進(jìn)行了振動分析。結(jié)果表明：當(dāng)空心層合柱的徑厚比n≈8時(shí)，界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對機(jī)械振動頻率的影響很小。此結(jié)論可為空心柱狀各鐵性智能器件的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

附錄A:常數(shù)

(A-1)

(A-2)

(A-3)

(A-4)

式中：Γ(x)為Gamma函數(shù)。

附錄B:已知函數(shù)

(B-1)

(B-2)

式中：pFq[{a1,…,ap},{b1,…,bq},x]為廣義超幾何函數(shù)，其中p為包含a1,…,ap的參數(shù)，q為包含b1,…,bq的參數(shù)，這里p=1,q=2。

(B-3)

式中：

Ω21(η)=η-1Γ(1-α2)J-α2(η)Jα2(η)；

Ω22(η)=ηα2pFq[{α2/2},{1+α2,1+

α2/2},-η2/4]Ω20(η)；

Ω20(η)= [Yα2-1(η)-Yα2+1(η)-

(Jα2-1(η)-Jα2+1(η))cot(α2π)]；

Ω23(η)=η-1Γ(1+α2)Jα2(η)×

(Yα2(η)-Jα2(η)cot(α2π))；

Ω24(η)=η-α2(Jα2-1(η)-Jα2+1(η))×

pFq[{-α2/2},{1-α2,1-α2/2},-η2/4]；

Ω25(η)=η-1(γ1h(η)+γ2l(η))；

(B-4)

式中：

(B-5)

式中：

Ω10(ξ)= Yα1-1(ξ)-Yα1+1(ξ)-

(Jα1-1(ξ)-Jα1+1(ξ))cot(α1π)；

Ω11(ξ)=ξ-1Γ(1-α1)J-α1(ξ)Jα1(ξ)；

Ω12(ξ)=ξα1pFq[{α1/2},{1+α1,1+

α1/2},-ξ2/4]Ω10(ξ)；

Ω13(ξ)=ξ-1Γ(1+α1)Jα1(ξ)(Yα1(ξ)-

Jα1(ξ)cot(α1π))；

Ω14(ξ)=ξ-α1(Jα1-1(ξ)-Jα1+1(ξ))×

pFq[{-α1/2},{1-α1,1-α1/2},-ξ2/4]；

(B-6)

式中：

附錄C:矩陣元素

m0101=m0102=m0103=m0104=m0105=m0106=0，

m0110=m0111=m0112=0；

m0201=m0202=m0203=m0204=m0205=m0206=

m0207=m0208=m0209=m0210=0，

m0301=m0302=m0303=m0304=m0305=m0306=0，

m0311=m0312=0；

m0406=m0407=m0408=m0409=m0410=

m0411=m0412=0；

m0506=m0507=m0508=m0509=m0510=

m0511=m0512=0；

m0604=1，m0605=m0606=m0607=

m0608=m0609=m0610=m0611=m0612=0；

m0704=m0705=m0706=0，

m0808=m0809=m0810=m0811=m0812=0；

m0906=m0907=m0908=m0909=