王 雷， 王少華， 張耀輝

(陸軍裝甲兵學(xué)院裝備保障與再制造系， 北京 100072)

多部件系統(tǒng)維修決策建模研究是由多個部件組成的系統(tǒng)維修策略優(yōu)化組合問題。由于部件之間存在相互作用關(guān)系，多部件系統(tǒng)維修決策組合情況多、分析難度大，描述多部件系統(tǒng)中部件的狀態(tài)劣化過程，制定適合多部件系統(tǒng)的狀態(tài)維修策略[1]，已成為當(dāng)前維修領(lǐng)域的研究熱點。如：TIAN等[2]基于狀態(tài)監(jiān)測信息和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測了設(shè)備失效時間分布，以“故障率”為維修控制限，制定了單位時間內(nèi)期望維修費用最小的風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)狀態(tài)維修策略；葛小凱等[3]采用Gamma過程描述了部件退化狀態(tài)，結(jié)合系統(tǒng)維修作業(yè)流程和故障歷史等信息，提出了經(jīng)濟依賴性強度矩陣、結(jié)構(gòu)依賴性可達矩陣和隨機依賴性概率矩陣，構(gòu)建了多部件系統(tǒng)期望周期費用仿真模型；張曉紅等[4]針對故障特征明顯可辨別的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)，提出了劣化狀態(tài)空間分割方法，基于嵌入式馬爾科夫鏈構(gòu)建系統(tǒng)半更新周期，建立了系統(tǒng)長期平均費用率模型，優(yōu)化求解系統(tǒng)的機會維修組合概率；趙洪山等[5]通過定義狀態(tài)指示器來描述部件退化狀態(tài)，判斷狀態(tài)維修和機會維修的閾值函數(shù)與狀態(tài)指示器大小的關(guān)系，建立了風(fēng)電機組關(guān)鍵部件的威布爾比例失效模型，降低了風(fēng)電機組維修成本；蘇春等[6]采用隨機過程描述了部件性能退化過程，基于風(fēng)電場平均維修成本，建立了多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修模型，降低了系統(tǒng)維修費用。

上述研究從機會維修控制限的角度對“機會”進行了定義，將系統(tǒng)中不同部件的維修活動與其預(yù)防性維修控制限建立聯(lián)系，形成一個機會維修區(qū)域，并以此對不同部件的維修策略進行優(yōu)化組合。筆者根據(jù)部件間相互關(guān)系的強弱程度，引入機會策略增加機會維修閾值，將系統(tǒng)各關(guān)鍵部件之間的維修方式按照維修相關(guān)性進行優(yōu)化組合，基于半更新過程理論,建立了以多部件系統(tǒng)長期運行平均停機率(簡稱“平均停機率”)最小為目標(biāo)的狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型，并采用蒙特卡羅法優(yōu)化了系統(tǒng)檢測間隔期、不同劣化部件預(yù)防性維修閾值與機會維修閾值，提高了多部件系統(tǒng)的可用度。

1 多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修過程模型

1.1 系統(tǒng)特征描述

筆者以多個故障獨立且連續(xù)劣化的部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)整體故障的情況比較少，通常是由于系統(tǒng)中某部件i(i=1，2，…，n)先故障進而導(dǎo)致整個系統(tǒng)故障，因此假定系統(tǒng)任意部件故障均可導(dǎo)致整個系統(tǒng)故障。系統(tǒng)劣化是損傷累積的結(jié)果，損傷隨時間累積將導(dǎo)致部件i的性能逐漸劣化，且系統(tǒng)劣化過程可描述為多元隨機分布。

Gamma過程[7]具有平穩(wěn)、獨立和非負的增量，且劣化規(guī)律的期望值呈線性分布，便于數(shù)學(xué)計算，能較好地反映隨時間單調(diào)非減的劣化狀態(tài)。設(shè)Xi(t)為t時刻反映部件i(i=1，2，…，n)劣化程度的特征參數(shù)(劣化量),其為在每個時刻點都服從Gamma分布的隨機變量，則{Xi(t),t≥0}滿足t=0,Xi(0)=0。

記服從Gamma過程的劣化狀態(tài)增量

Xi(t+τ)=Xi(t)+Xi(τ),τ∈(0，∞)，

(1)

其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為

G(Xi,τ)=P{Xi(t+τ)-Xi(t)≤xi},

(2)

(3)

1.2 系統(tǒng)維修策略

筆者采用定期檢測方式確定系統(tǒng)各部件的狀態(tài)，采取預(yù)防性維修、機會維修、故障維修相結(jié)合的維修策略。設(shè)fi為部件i的故障閾值,通常根據(jù)工程經(jīng)驗或歷史信息給出;oi為機會維修閾值，pi為預(yù)防性維修閾值，且0

1) 檢測為完全檢測，系統(tǒng)開始工作后，所有部件同時進行定期檢測(t=kτ，k=1，2，…)，其中部件相關(guān)的狀態(tài)信息通過檢測獲知，每次檢測耗時為ts。

2) 若任意部件i在每個檢測點的劣化狀態(tài)滿足pi≤Xi(t)

3) 若在2次檢測間隔期之間部件i的劣化狀態(tài)滿足Xi(tMi)≥fi，即視部件發(fā)生故障，并導(dǎo)致整個系統(tǒng)停機，但停機不影響其他部件的劣化狀態(tài)。其中：tMi為部件i的故障時刻，由于系統(tǒng)故障時刻與停機維修時刻為同一時刻，且實際中因部件故障特征明顯，一般不需要檢測便可直觀判斷。設(shè)部件發(fā)生故障后立即進行故障維修，維修時間為tCi，故障前一次檢測為半更新周期內(nèi)的最后一次檢測，且ts<maxtPi，并忽略系統(tǒng)中2個以上部件同時出現(xiàn)故障的情況。

4) 當(dāng)部件i進行預(yù)防性維修時可為其他部件提供維修機會，且系統(tǒng)中部件j(j=1,2，…，n,j≠i)的劣化狀態(tài)滿足oj≤Xj(t)

5) 若系統(tǒng)中2個以上部件同時維修，則采用并行作業(yè)。

6) 任意維修后，被維修的部件狀態(tài)恢復(fù)如新，即該部件更新，所有部件同時維修時，系統(tǒng)狀態(tài)恢復(fù)如新，即系統(tǒng)更新。圖1為兩部件系統(tǒng)劣化及維修更新過程[3]。通過分析系統(tǒng)劣化過程可知：尋找多部件系統(tǒng)的完全更新周期比較困難，利用系統(tǒng)狀態(tài)的半更新特性分析，可記系統(tǒng)中部件i從初始狀態(tài)經(jīng)過預(yù)防性維修或故障維修恢復(fù)到全新狀態(tài)所用的時間為一個半更新周期(T)。由于檢測時間、更換時間相對于系統(tǒng)檢測間隔期與半更新周期要小得多，因此在圖1時間軸的檢測周期標(biāo)記中將其忽略不計。

1.3 系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分及其概率計算

分析多部件系統(tǒng)劣化過程可知：部件的3個維修閾值將其劣化空間劃分為隨機劣化區(qū)域、機會維修區(qū)域、預(yù)防性維修區(qū)域、故障維修區(qū)域4個區(qū)域。

根據(jù)圖1可將兩部件狀態(tài)空間相互疊加為4類劣化區(qū)域：1)系統(tǒng)隨機劣化區(qū)域U0；2)部件i單獨維修區(qū)域，包括部件i單獨預(yù)防性維修區(qū)域Pi和部件i單獨故障維修區(qū)域Ci；3) 部件1、2同時維修區(qū)域，包括部件1、2同時預(yù)防性維修區(qū)域P1P2,一部件預(yù)防性維修而另一部件機會維修區(qū)域P1O2、P2O1，一部件故障維修而另一部件機會維修區(qū)域C1O2、C2O1；4)兩部件同時故障維修區(qū)域[6]。忽略同時故障維修區(qū)域的兩部件系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分如圖2所示。

1)兩部件系統(tǒng)隨機劣化不進行任何維修活動的概率

(4)

2) 兩部件系統(tǒng)中部件1、2單獨進行預(yù)防性維修活動的概率

(5)

3) 兩部件系統(tǒng)中部件1、2單獨進行故障維修活動的概率

(6)

4)兩部件系統(tǒng)中部件1進行預(yù)防性維修而部件2進行機會維修活動或部件2進行預(yù)防性維修而部件1進行機會維修活動的概率

(7)

5) 兩部件系統(tǒng)中部件1進行故障維修而部件2進行機會維修活動或部件2進行故障維修而部件1進行機會維修活動的概率

(8)

6) 兩部件系統(tǒng)中部件1、2同時進行預(yù)防性維修活動的概率

(9)

1.4 多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修的平均停機率函數(shù)

考慮到多部件系統(tǒng)劣化過程具有半更新特性，為使系統(tǒng)能工作時間盡可能達到相對較高的水平，在系統(tǒng)特征描述的基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)更新周期限定為半更新周期，建立系統(tǒng)平均停機率(F)[8]最小的狀態(tài)維修優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。記任意時刻t系統(tǒng)的停機累積時間為S(t)，根據(jù)更新過程理論，F(xiàn)為半更新周期期望停機時間與半更新周期期望時間的比值，即

(10)

半更新周期的期望時間

E(T)=E(E(T|Nk))=

(11)

式中:Nk為半更新周期內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生半更新時的檢測次數(shù)；p(Nk=k)為系統(tǒng)半更新周期內(nèi)進行k次檢測的概率。

半更新周期內(nèi)的期望停機時間

E(S(T))=E(Nk)ts+pPimax(tPi)+

pOimax(tPi)+pCitCi。

(12)

式中：E(Nk)為半更新周期內(nèi)的平均檢測次數(shù)；ppi為半更新周期內(nèi)n個部件單獨或同時進行預(yù)防性維修活動組合的概率；pOi為半更新周期內(nèi)至多n-1個部件預(yù)防性維修同時至少1個部件機會維修活動組合的概率；pCi為半更新周期內(nèi)系統(tǒng)中任一部件進行故障維修活動組合的概率；max(tPi)為半更新周期內(nèi)n個部件單獨或同時進行預(yù)防性維修活動組合或至多n-1個部件預(yù)防性維修同時至少1個部件機會維修活動組合時，由于部件維修采取并行作業(yè)，因此系統(tǒng)維修耗時取部件i中最長維修耗時tPi。

綜上所述，可得系統(tǒng)平均停機時間(F)的目標(biāo)函數(shù)

minF=

(13)

2 多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化策略的解析模型

2.1 半更新周期期望停機時間E(S(T))的計算

以兩部件系統(tǒng)為例，依據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計方法對系統(tǒng)狀態(tài)維修決策變量：最佳檢測間隔期τ，部件1、2的機會維修閾值o1、o2，預(yù)防性維修閾值p1、p2進行解析計算。

首先確定半更新周期內(nèi)的平均檢測次數(shù)

(14)

系統(tǒng)的半更新主要包括如下3類情況：

1) 1個半更新周期內(nèi)進行k次檢測時，n個部件單獨或同時進行預(yù)防性維修時系統(tǒng)半更新，其發(fā)生概率

p1(Nk=k)=pP1(x1,x2)+pP2(x1,x2)+

pP1P2(x1,x2)=

G(f1,p1,o2,0,kτ)+

G(o1,0,f2,p2,kτ)+

G(f1,p1,f2,p2,kτ)。

(15)

2) 1個半更新周期內(nèi)進行k次檢測時，任意n-1個部件預(yù)防性維修的同時至少1個部件機會維修時系統(tǒng)半更新，其發(fā)生概率

p2(Nk=k)=pP1O2(x1,x2)+pP2O1(x1,x2)=

G(f1,p1,p2,o2,kτ)+

G(p1,o1,f2,p2,kτ)。

(16)

3) 1個半更新周期內(nèi)進行k次檢測時，任意一個部件進行故障維修時系統(tǒng)半更新，其發(fā)生概率

p3(Nk=k)=p(kτ

p(kτ

G(p1,kτ)(K(f1,(k+1)τ)-K(f1,kτ))+

G(p2,kτ)(K(f2,(k+1)τ)-K(f2,kτ))。

(17)

式中：Xi(kτ)為第k次檢測時系統(tǒng)對應(yīng)的劣化狀態(tài)參數(shù)值，tM1、tM2分別為部件1、2劣化量X1(t)、X2(t)首次達到故障閾值的時刻。對于性能劣化型系統(tǒng)，當(dāng)部件i隨機劣化量達到故障閾值fi時，系統(tǒng)發(fā)生故障不需要檢測便停機進行故障維修[9]，且系統(tǒng)故障時刻與停機維修時刻為同一時刻，記其分布函數(shù)為K(fi,t)，且滿足關(guān)系

K(fi,t)=p(tMi≤t)=

(18)

因此，系統(tǒng)長期運行時發(fā)生半更新的維修概率分別為

(19)

綜上所述，可確定半更新周期的期望停機時間E(S(T))的具體表達式。

2.2 半更新周期期望時間E(T)的計算

半更新周期期望時間計算只考慮檢測時間和維修時間，其由預(yù)防性維修時半更新周期期望時間EP(T)、機會維修時半更新周期期望時間EO(T)和故障維修時半更新周期期望時間EC(T)組成。

1) 由于預(yù)防性維修導(dǎo)致系統(tǒng)半更新，則任意部件i單獨或同時預(yù)防性維修時，

(20)

2) 任意n-1個部件預(yù)防性維修的同時至少1個部件機會維修時，

(pP1O2(x1,x2)+pP2O1(x1,x2))]。

(21)

3) 任意一個部件故障維修時，

(22)

綜上所述，便可確定半更新周期期望時間E(T)的具體表達式。

2.3 仿真優(yōu)化求解

由于采用解析方法求解系統(tǒng)半更新周期期望停機時間E(S(T))和半更新周期期望時間E(T)比較困難，筆者采用蒙特卡羅(Monte Carlo)[10]仿真求解方法，對連續(xù)劣化系統(tǒng)的狀態(tài)維修決策進行仿真，得到最佳維修策略(o1,o2,p1,p2,τ)。具體優(yōu)化流程如下：

1) 確立系統(tǒng)劣化量X(t)達到故障閾值的時刻tMi，且存在Xi(0)=0,Xi(t)

(1)初始劣化量t=0，Xi(0)=0，取時間步長Δt=1，仿真次數(shù)N(足夠大)，設(shè)置Gamma分布形狀參數(shù)αi、尺度參數(shù)βi、故障閾值fi的初始值；

(2)利用Gamma分布產(chǎn)生隨機數(shù)ΔXt，即 [t，t+1]時間段內(nèi)系統(tǒng)的劣化增量，令t=t+1，Xi=Xi+ΔXt，遍歷Xi的取值空間；

(3)判斷系統(tǒng)劣化量X(t)與故障閾值fi的大小，若Xi(t)≥fi,則故障時刻t=tMi，否則返回步驟(2)。

2) 得到系統(tǒng)故障時刻后，對決策目標(biāo)函數(shù)進行仿真優(yōu)化，具體步驟如下：

(1)設(shè)置檢測時間ts，預(yù)防性維修時間tPi，故障維修時間tCi，檢測次數(shù)k(足夠大)；

(2)根據(jù)仿真得到的系統(tǒng)故障時刻tMi，初始化預(yù)防性維修閾值pi和系統(tǒng)檢測間隔期τ的范圍和變化幅度；

(3)根據(jù)式(13)構(gòu)造MATLAB迭代式,令k=k+1，遍歷(o1,o2,p1,p2,τ)的取值空間，執(zhí)行式(13)的MATLAB迭代式；

(4)多次迭代后，比較預(yù)防性維修閾值pi與故障閾值fi的大小，檢測間隔期τ與故障時刻tMi和檢測次數(shù)k比值tMi/k的大小，若oi

(5)最小F值對應(yīng)的(o1,o2,p1,p2,τ)即為最佳維修策略。

3 案例分析

3.1 案例描述及求解

以某型裝備傳動系統(tǒng)的齒輪傳動箱、變速箱組成的兩部件系統(tǒng)為研究對象，其中齒輪傳動箱、變速箱經(jīng)過長期運轉(zhuǎn)，其技術(shù)狀態(tài)發(fā)生劣化，并最終發(fā)生磨損、裂紋以及斷齒等故障。筆者以機械磨損為主要故障模式的齒輪傳動箱、變速箱兩部件系統(tǒng)進行維修決策，驗證所提出方法的有效性和可行性。對齒輪傳動箱、變速箱的劣化狀態(tài)進行定期檢測，采用連續(xù)狀態(tài)隨機模型描述其磨損程度。根據(jù)Gamma分布參數(shù)的物理意義以及工程實踐經(jīng)驗確定的兩齒輪故障閾值fi等劣化參數(shù)和對應(yīng)部件的維修時間如表1所示。

表1 系統(tǒng)內(nèi)各部件的劣化參數(shù)和對應(yīng)維修時間

應(yīng)用蒙特卡羅仿真算法得到的兩部件劣化量軌跡分別如圖3、4所示。

由此可以看出：當(dāng)f1=12，f2=12時，系統(tǒng)劣化量X1(t)、X2(t)達到故障閾值的時刻分別為tM1=36 d,tM2=18 d。

系統(tǒng)劣化量的極大值、極小值曲線分別表示在一個時間步長上仿真劣化量的最大、最小值。在仿真過程中，為產(chǎn)生大量隨機數(shù)，可在一個時間點上仿真上百次，則某一時刻2個極值曲線間的區(qū)域可表明劣化量Xi(t)的離散程度。

根據(jù)仿真得到平均停機率F與決策變量(o1,o2,p1,p2,τ)的遍歷求解數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 基于蒙特卡羅法的優(yōu)化迭代值

由表2可得Fmin=0.058 7，(o1,o2,p1,p2,τ)=(5，4，10，9，10)。

3.2 結(jié)果對比分析

為了驗證本文方法的有效性，在保持各部件劣化參數(shù)和維修時間參數(shù)不變的前提下，不考慮機會維修策略，各部件按照本身劣化規(guī)律進行狀態(tài)維修決策。首先設(shè)計仿真算法求解連續(xù)劣化的兩部件系統(tǒng)狀態(tài)維修模型，對兩部件進行系統(tǒng)層分析，獲得最佳維修策略(p1,p2,τ)。

具體優(yōu)化步驟如下：

1) 設(shè)置檢測時間ts=0.1 h，部件i(i=1,2)的預(yù)防性維修時間tP1=1 h,tP2=0.5 h，故障維修時間tC1=2 h,tC2=1 h，檢測次數(shù)為k(足夠大)；

2) 設(shè)置部件i(i=1,2)的故障時刻tM1=36 h,tM2=18 h，并初始化部件i(i=1,2)的預(yù)防性維修閾值pi和系統(tǒng)檢測間隔期τ的范圍和變化幅度；

3) 構(gòu)造迭代式，令k=k+1，遍歷(p1,p2,τ)的取值空間，執(zhí)行仿真過程；

4) 多次迭代后進行維修決策，判斷各部件預(yù)防性維修閾值pi與故障閾值fi的大小，檢測間隔期τ與故障時刻和檢測次數(shù)比值tMi/k的大小,若p1

5) 最小F值對應(yīng)的(p1,p2,τ)即為最佳維修策略。

通過仿真得到兩部件系統(tǒng)平均停機率F與檢測間隔期τ、預(yù)防性維修閾值pi的遍歷求解數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 兩部件及系統(tǒng)的狀態(tài)維修優(yōu)化策略對比分析

由表3可得不考慮機會策略的兩部件系統(tǒng)狀態(tài)維修優(yōu)化策略：系統(tǒng)維修策略只是兩部件狀態(tài)維修策略的簡單疊加。

采用本文優(yōu)化得到的機會維修閾值、預(yù)防性維修閾值和檢測間隔期進行維修決策，可以將多部件系統(tǒng)平均停機率從不考慮機會維修條件下的6.89%減小到5.87%，表明本文的優(yōu)化策略可進一步減少系統(tǒng)的停機次數(shù)與停機時間，提高系統(tǒng)的可用度。

4 結(jié)論

筆者引入機會維修策略研究分析了多部件系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分及與部件間維修組合的對應(yīng)關(guān)系

及其概率計算，構(gòu)建了以多部件系統(tǒng)平均停機率最小為目標(biāo)的狀態(tài)維修決策優(yōu)化模型及解析方法，設(shè)計了仿真優(yōu)化算法,求解了系統(tǒng)檢測間隔期、各部件的預(yù)防性維修閾值與機會維修閾值，避免了“維數(shù)爆炸”的問題。以某型裝備傳動系統(tǒng)為例，對多部件系統(tǒng)狀態(tài)維修策略中考慮機會維修組合與采取多個部件狀態(tài)維修策略疊加方式進行對比，驗證了模型的適用性。但筆者僅針對多部件系統(tǒng)中故障模式屬于劣化故障的關(guān)鍵部件進行了建模研究，下一步將重點對同一系統(tǒng)中同時存在多種故障模式，且相互之間存在故障及結(jié)構(gòu)相關(guān)性的部件維修組合進行建模研究。