(華南理工大學(xué) 廣東 廣州 510000)

隨著我國國民經(jīng)濟的迅猛發(fā)展，各種復(fù)雜體型的鋼結(jié)構(gòu)應(yīng)運而生，然而，鋼結(jié)構(gòu)常存在失穩(wěn)屈曲問題，人們開始對大跨度鋼析架施工過程中所表現(xiàn)出的諸多力學(xué)及技術(shù)問題愈來愈重視。其中，細長鋼桿受壓失穩(wěn)分析是非常具有代表性的問題。[1]

非線性分析，尤其是幾何非線性分析在很多情況下是去估算一個結(jié)構(gòu)在失去穩(wěn)定性前所能承受的最大載荷。線性屈曲分析方法主要通過小位移線性理論假設(shè)建立彎曲平衡方程。小位移線性理論假設(shè)在結(jié)構(gòu)受載變形過程忽略了結(jié)構(gòu)的構(gòu)形變化，因此外載施加各個階段，總是在結(jié)構(gòu)未受載時的構(gòu)形上產(chǎn)生平衡，當(dāng)屈由產(chǎn)生時，結(jié)構(gòu)構(gòu)形突然跳到另一個平衡位置。[2]嚴格說來，一個受載結(jié)構(gòu)僅在變形后的位置上才處于靜平衡狀態(tài)，從加載一開始就出現(xiàn)了幾何非線性的特性。曲線是非線性的，一直達到極限，這種在結(jié)構(gòu)變形所有過程中，在變形后構(gòu)形上考慮平衡一直達到極限的方法稱非線性屈曲或稱極限屈曲。

在工程實際中分校屈曲現(xiàn)象實為罕見，它僅出現(xiàn)在完全無結(jié)構(gòu)缺陷，完全沿軸向加壓的絕對直桿情況下，分枝屈曲現(xiàn)象雖然罕見，但實際中有不少結(jié)構(gòu)屈曲狀態(tài)接近分枝屈曲。而分校屈曲的計算工作量又遠小于計算極限屈曲的工作量。況且，不少作者得出結(jié)論，一些中等非線性的屈曲性態(tài)，可以用線性屈曲問題特征矢量的線性組合近似得到。因此線性屈曲理論還是有其實際價值。

但經(jīng)典的線性屈曲理論存在精度差的缺點，在實際應(yīng)用中還存在適用范圍窄的限制。由于數(shù)字計算機與有限元法的迅速發(fā)展，計算工作盤已不成為一個嚴重制約因素，因而近年來研究者的注意力多轉(zhuǎn)向了非線性屈曲的領(lǐng)域。非線性屈曲的基本求解方法是逐步施加外載增量。

一、鋼材本構(gòu)關(guān)系

鋼材本構(gòu)關(guān)系的模型對失穩(wěn)屈曲的分析有重大影響。在建立本構(gòu)關(guān)系時一般都是基于現(xiàn)有的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)本構(gòu)理論，再結(jié)合鋼材的力學(xué)特性，確定甚至調(diào)整本構(gòu)關(guān)系中各種所需的材料參數(shù)。通常鋼材的本構(gòu)關(guān)系可以分為線性彈性階段和應(yīng)變強化階段。其中非線性階段的強化理論有眾多研究成果，成形中常用硬化模型可分為各向同性硬化和隨動硬化。

各向同性硬化認為后繼屈服面相對初始屈服面只發(fā)生大小的變化而位置不變。但該類模型只能描述單一應(yīng)變路徑下的屈服面相似變化，無法描述應(yīng)變路徑改變時材料的包辛格效應(yīng)和交叉效應(yīng)。

與各向同性硬化模型不同的是，隨動硬化模型只考慮屈服面的位置移動，不考慮屈服面大小的變化。隨動硬化模型避免了各向同性硬化模型無法描述包辛格效應(yīng)的缺點，很快得到了廣泛的應(yīng)用，如線性隨動硬化、多曲面硬化模型、Armstrong-Frederic非線性隨動硬化模型。以及在Armstrong-Frederic 模型基礎(chǔ)上改進的Chaboche 系列非線性隨動硬化模型。因此在Ansys Workbench中有以下5中定義材料非線性硬化方式。

(1)雙線性各向同性硬化。(2)多線性各向同性硬化。(3)雙線性隨動硬化。(4)多線性隨動硬化。(5)Chaboche隨動硬化。

二、幾何非線性

屈曲的含義可簡述為：結(jié)構(gòu)處于一種平衡狀態(tài)，載荷增量為一個微量，其位移增量很大。用方程來表達這種物理現(xiàn)象，則由總體拉格朗日列式法建立的結(jié)構(gòu)剛度方程

[KT]d{δ}=0

(2-1)

根據(jù)屈曲含義

[KT]=[K0]+[Kσ]+[KL]

(2-2)

將式(2-2)代入(2-1)得

([K0]+[Kσ]+[KL])d{δ}=0

(2-3)

在線性屈曲情況下，屈曲前結(jié)構(gòu)處于原始位形的線性平衡狀態(tài)，因此上式中的大位移矩陣[KL]應(yīng)為零，此時式(3-3)簡化為

([K0]+[Kσ])d{δ}=0

(2-4)

(2-5)

代入式(2-4)，則有

(2-6)

可以看出式(2-6)是一個廣義特征值方程，也是經(jīng)典彈性穩(wěn)定理論的最后控制方程。

實際求解時可按以下步驟進行：

(1)按線彈性問題的有限元法形成各單元的剛度矩陣[k0]，并用常規(guī)方法組裝成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，即[K0]=∑[k0]。

(2)對結(jié)構(gòu)施加參考載荷{Fr}，并求解有限元方程[K0]{δ}={Fr}，進而可求得各單元節(jié)點應(yīng)力。

值得指出的是，由式(2-6)所表征的線性屈曲問題，是建立在下述假設(shè)的基礎(chǔ)上的，即假設(shè)線性應(yīng)變剛度矩陣在屈曲前不產(chǎn)生明顯的變化，且初應(yīng)力矩陣簡單地與應(yīng)力水平成正比。如前所述，這在實際問題中是很罕見的。由式(2-6)所確定的極值載荷只能是近似的。由于線性屈曲理論存在精度差，以及適用范圍窄的限制，所以，在一般情況下，應(yīng)當(dāng)用切線剛度矩陣[KT]來研究這個問題。當(dāng)[KT]d{δ}≡0時，發(fā)生隨遇平衡。顯然，這里應(yīng)該用逐次逼近的方法進行求解。

三、計算模型

分析一個內(nèi)徑為40mm，外徑為50mm長為2000mm的細長圓鋼管，鋼材為Q235鋼，桿一端為基礎(chǔ)固接，另一端受軸心壓力作用。在AnsysWorkbench中建立如圖4-2所示的實體模型。非線性分析時，在一秒時間內(nèi)把軸心壓力加到30kN。算例的截面特性為：

長細比：λ=l0/i=2000/12.93=154.68

長細比大于150，屬于細長桿件，進行桿件穩(wěn)定分析。

分根據(jù)析結(jié)果，一階線性屈曲應(yīng)力為23846N，非線性屈曲分析折算結(jié)果為24029N結(jié)果較接近。