(重慶交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 重慶 400074)

一、引言與原始數(shù)據(jù)

(一)引言

隨著信息時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會(huì)員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如,在線DVD租賃問題,即顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會(huì)員，訂購(gòu)DVD租賃服務(wù)。會(huì)員對(duì)哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張DVD，這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。

(二)原始數(shù)據(jù)

現(xiàn)規(guī)定，每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回(郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān))，就可以繼續(xù)下次租賃，為了使在線DVD租賃更好的服務(wù)大眾，我們需要對(duì)下列問題進(jìn)行討論。

1.網(wǎng)站正準(zhǔn)備購(gòu)買一些新的DVD，通過問卷調(diào)查和歷史數(shù)據(jù)得到了會(huì)員對(duì)DVD的租賃情況。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬(wàn)個(gè)會(huì)員，對(duì)表1中的每種DVD來說，在租賃公司的能力范圍內(nèi)，求解能保證希望看到該種DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該種DVD和三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該種DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的張數(shù)；

2.根據(jù)表2中列出的網(wǎng)站上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單，對(duì)這些DVD進(jìn)行合理的分配，使會(huì)員獲得最大的滿意度并具體列出前30位會(huì)員(即C0001—C0030)獲得的DVD的情況。

3.在表2的基礎(chǔ)上假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營(yíng)管理人員，在考慮公司收益的情況下，決定每種DVD的購(gòu)買量。

4.如果你是網(wǎng)站經(jīng)營(yíng)管理人員，明確提出在DVD的需求預(yù)測(cè)、購(gòu)買和分配中其他的值得研究的重要問題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

表1 對(duì)1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果

表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會(huì)員的在線訂單

二、模型的假設(shè)與符號(hào)的約定

(一)模型的假設(shè)與說明

(1)假設(shè)每個(gè)月都是30天。

(2)假設(shè)每月租賃DVD一次的會(huì)員的租賃與歸還日期介于每月1—30號(hào)之間，每月租賃DVD兩次的會(huì)員的租賃與歸還日期介于每月1—15號(hào)和16—30號(hào) 之間。

(3)假設(shè)每一位會(huì)員第一次租的碟片和第二次租的碟片完全不相同。

(4)假設(shè)碟片郵寄回來后不影響下一次租賃。

(5)不考慮DVD在租賃過程中的丟失、破損等情況。

(二)符號(hào)的約定與說明

X1每月租賃DVD一次的會(huì)員

X2每月租賃DVD兩次的會(huì)員

E(X1) 每月租賃一次的會(huì)員所租賃的DVD的平均流通天數(shù)

E(X2) 每月租賃兩次的會(huì)員所租賃的DVD的平均流通天數(shù)

E(X) 兩種情況下碟片的平均流通天數(shù)

E1(X) 每張碟片一個(gè)月內(nèi)的平均流通天數(shù)

E3(X) 每張碟片三個(gè)月內(nèi)的平均流通天數(shù)

xij第i位會(huì)員選擇第j種碟片

pij第i位會(huì)員對(duì)第j種碟片的滿意度

Cij每種碟片的滿意度

B總的碟片的滿意度

S總的應(yīng)該購(gòu)買的碟片數(shù)

bj每種碟片應(yīng)該購(gòu)買的碟片數(shù)

三、問題的分析

(一)問題1的分析

對(duì)于問題一主要是解決在已知會(huì)員的人數(shù)的情況下，要使網(wǎng)站以準(zhǔn)備最少的5種類型DVD的張數(shù)，來保證希望看到各種DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD和至少95%的會(huì)員在三個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD這兩個(gè)問題，利用概率論中均勻分布的相關(guān)知識(shí)可以解決該類問題。根據(jù)已知，首先確定兩種租賃方式下碟片的平均流通天數(shù)，再按照兩種租賃方式下會(huì)員的比例，可以確定每張碟片的平均流通天數(shù)，再根據(jù)每種碟片愿意觀看的會(huì)員人數(shù)就可以確定每種碟片應(yīng)該準(zhǔn)備多少?gòu)垺?/p>

(二)問題2的分析

對(duì)于問題二是對(duì)表2給出的100種DVD現(xiàn)有張數(shù)以及1000位會(huì)員的訂單數(shù)對(duì)DVD進(jìn)行分配，使會(huì)員獲得最大的滿意度，可建立0—1整數(shù)規(guī)劃模型來進(jìn)行處理，其中各名會(huì)員是否獲得了各DVD類型為0—1變量，又因?yàn)闀?huì)員的滿意度跟會(huì)員的偏愛程度有關(guān)，表2中會(huì)員的在線訂單數(shù)表示會(huì)員的偏愛程度，數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛程度越高，只需將會(huì)員所分配到不同種類的DVD所對(duì)應(yīng)的訂單數(shù)字求和取最小值，即滿意度越大，所建立的目標(biāo)函數(shù)的值越小。在這里又存在一個(gè)問題，由于數(shù)字0表示對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中，所以為了避免出現(xiàn)結(jié)果為0的情況，我們把0改成100，這樣就可以算出最小值從而達(dá)到對(duì)這些碟片進(jìn)行合理的分配獲得最大的滿意度同時(shí)排除了結(jié)果不存在的可能性。

(三)問題3的分析

對(duì)于這個(gè)問題，本質(zhì)上是雙目標(biāo)規(guī)劃，我們采取逐步解決的方法，計(jì)算出DVD的購(gòu)買量。對(duì)于第一小問如何決定DVD的購(gòu)買量，我們注意到要購(gòu)買滿足題目要求的DVD張數(shù)，至少有950人可以得到滿意的碟片，為此需要2850張碟片，又因?yàn)闀?huì)員租賃碟片的情況有兩種即一個(gè)月租賃一次和一個(gè)月租賃兩次。要使一個(gè)月租賃兩次的會(huì)員在第二次租賃時(shí)可以收到使自己滿意的碟片，所以總共需要準(zhǔn)備的碟片張數(shù)為2850+2850*0.4=3990張。在表2中會(huì)員對(duì)DVD的滿意程度，由于數(shù)字越小，滿意程度越大，因?yàn)橛?的存在，為了避免結(jié)果不存在的情況(同問題2)，該題我們首先分別將表格中的1-10的對(duì)11的補(bǔ)數(shù)代替它們本身，這樣數(shù)字越大就表示滿意度越大，再分別求出每種碟片的滿意度之和，然后求所有種碟片的總滿意度，再根據(jù)每種滿意度之和占總滿意度的比例，就可以求得每種碟片的購(gòu)買量。

(四)問題4的分析

因?yàn)榇蠖鄶?shù)項(xiàng)目的最終目的就是為了盈利，為了更好的盈利和服務(wù)會(huì)員，每個(gè)月需要新增碟片，而在DVD在線租賃這個(gè)過程中，需要考慮到，碟片破損，會(huì)員逾期交費(fèi)[1]等問題。因此我們想到的是在考慮這些不定因素的基礎(chǔ)上計(jì)算當(dāng)月的收益。

四、模型的建立與求解

(一)問題1的模型建立與求解

對(duì)于問題1，我們利用概率論中的均勻分布[2]，通過求數(shù)學(xué)期望得到兩種租賃方式下每種碟片的平均流通天數(shù)以及兩種比例下會(huì)員的租賃的碟片的平均流通天數(shù)：

通過得到的一個(gè)月內(nèi)每張碟片的平均流通次數(shù)以及愿意觀看的每種DVD的會(huì)員人數(shù)，根據(jù)表1，計(jì)算可得保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD至少應(yīng)該準(zhǔn)備的碟片數(shù):

DDVD1=(200÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD2=(100÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD3=(50÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD4=(25÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

DVD5=(10÷1000×100000×0.5)÷E1(X);

最終結(jié)果為:

DVD1≈3704;

DVD2≈1852;

DVD3≈926;

DVD4≈463;

DVD5≈185;

同理可得為使在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD應(yīng)該準(zhǔn)備的碟片張數(shù):

(二)問題2的模型建立與求解

對(duì)于問題2，由于1位會(huì)員可以選擇3張DVD，若第i位會(huì)員選擇第j種DVD記為xij,則xij=1否則xij=0;其中i=1…1000;j=1…100;pij表示會(huì)員對(duì)某種DVD的偏愛程度[3](數(shù)字越小，表示偏愛程度越大)。為此建立0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型：

首先利用表格中的數(shù)據(jù)，然后編寫lingo程序求解模型，為了方便結(jié)果解釋，最后將前30位會(huì)員(即C0001-C0030)分別獲得哪些DVD輸入到表3。如下所示表格中30行表示的是30位會(huì)員所分配到的碟片情況，第一列表示的是30位會(huì)員，第二列表示的是選擇情況。

表3 會(huì)員所獲得的碟片種類

(三)問題3的模型建立與求解

為了求得DVD的購(gòu)買量，我們根據(jù)題目要求，因?yàn)橐还灿?000名會(huì)員，所以至少有950名可以獲得自己滿意的DVD，一次可以獲得三張，又因?yàn)槊吭伦赓U一次的會(huì)員在每月租賃兩次的會(huì)員進(jìn)行第二次租賃時(shí)碟片不一定郵寄回來，為了使一個(gè)月租賃兩次的會(huì)員可以看到網(wǎng)站購(gòu)買的所有碟片，所以網(wǎng)站一共需要購(gòu)買S=2850+2850×0.4=3990張碟片，確定了碟片總數(shù)，利用11這個(gè)數(shù)字將滿意度擴(kuò)大化，接下來需要根據(jù)每種碟片的滿意度[4]占總體的比例，來求得每種碟片應(yīng)該購(gòu)買的數(shù)量。為此建立如下的數(shù)學(xué)模型：

利用Matlab編程求得每種DVD的購(gòu)買量，如下圖所示：

圖1 D0001—D0020種碟片的購(gòu)買量

圖2 D00021—D0040種碟片的購(gòu)買量

圖3 D00041—D0060種碟片的購(gòu)買量

(四)問題4的模型建立

假設(shè)當(dāng)月購(gòu)買第i種DVD的數(shù)量為ai,價(jià)格為bi,則當(dāng)月購(gòu)買DVD所花費(fèi)的總金額為：

假設(shè)會(huì)員的數(shù)量E與會(huì)費(fèi)c和會(huì)員的滿意程度h有關(guān)，建立如下關(guān)系式：

E=f(c,h);

會(huì)員的滿意程度h與可選擇的DVD的數(shù)量n和種類d有關(guān)：

h=f(d,n);

假設(shè)DVD的損壞數(shù)量D可表示為：D=λE;

假設(shè)損毀DVD的單價(jià)y為所有DVD單價(jià)的平均價(jià)格：

假設(shè)每月盈利Q與會(huì)員會(huì)費(fèi)，購(gòu)買DVD的價(jià)格和DVD的虧損費(fèi)用有關(guān)。根據(jù)以上建立如下單目標(biāo)規(guī)劃模型：

五、模型的進(jìn)一步討論

對(duì)于問題3的第二問，我們?cè)谟?jì)算時(shí)僅僅考慮了一次租賃的情況，沒有按照歷史數(shù)據(jù)顯示的規(guī)律分為兩種情況考慮，為此我們進(jìn)行了如下的模型改進(jìn)。

新增符號(hào)及說明：yij表示二次租賃時(shí)會(huì)員i選擇第j種碟片。具體的數(shù)學(xué)模型如下所示:

表示會(huì)員要么進(jìn)行1次租賃，要么進(jìn)行2次租賃，且兩次均會(huì)獲得三張碟片，如果進(jìn)行二次租賃的話，所需碟片張數(shù)按照會(huì)員總數(shù)的60%進(jìn)行計(jì)算。

六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)

(一)優(yōu)點(diǎn)

(1)建立的規(guī)劃模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系起來，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)問題進(jìn)行求解，使模型具有很好的通用性和推廣性，比如在一些商品的銷售過程中同樣可以使用該類數(shù)學(xué)模型。(2)模型的計(jì)算采用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，可信度高，可操作性強(qiáng)。(3)對(duì)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，讓建模和編程的過程變得簡(jiǎn)單方便。

(二)缺點(diǎn)

(1)由于是調(diào)查問卷所抽取的會(huì)員，導(dǎo)致數(shù)據(jù)有一定的局限性，建立的模型不一定適用于所有會(huì)員。(2)數(shù)據(jù)量太大，表格數(shù)據(jù)量大，計(jì)算容易出錯(cuò)。(3)計(jì)算項(xiàng)目多，聯(lián)系性大，容易在分析過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致全局出錯(cuò)。