袁一丹
(浙江省桐廬中學(xué),浙江 桐廬)
函數(shù)知識(shí)貫穿高中數(shù)學(xué),與數(shù)列、解析幾何等知識(shí)緊密聯(lián)系,是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是歷年浙江省高考的重難點(diǎn)(近三年純粹函數(shù)考題的統(tǒng)計(jì)見下表,不含其他知識(shí)背景考查函數(shù)題)。學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,同時(shí)是深入研究數(shù)學(xué)甚至是其他學(xué)科的基礎(chǔ)。
高考年份 題號(hào) 總分2015文 5(5分)、8(5分)、11(6分)、12(6分)、20(15分) 37分2015理 7(5分)、10(6分)、18(15分) 26分2016 文 3(5 分)、6(5 分)、7(5 分)、11(6 分)、12(6 分)、20(15 分) 42 分2016理 5(5分)、10(6分)、18(15分) 26分2017 5(4 分)、7(4 分)、17(4 分)、20(15 分) 27 分
數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)的過程一般可分四環(huán)節(jié):定義概念→探究性質(zhì)→建立聯(lián)系→實(shí)踐應(yīng)用。詳細(xì)的,首先從數(shù)、形的角度提取信息并確立數(shù)學(xué)對(duì)象,然后探索數(shù)學(xué)對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而探究出性質(zhì),再建立相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)聯(lián)系形成一個(gè)知識(shí)體系,最后應(yīng)用所生成的新的知識(shí)體系來解決數(shù)學(xué)問題。這樣形成一個(gè)螺旋上升、層層深入并能達(dá)成深化認(rèn)識(shí)、拓展新知的數(shù)學(xué)問題解構(gòu)過程,而其中數(shù)學(xué)對(duì)象確立的適切性是數(shù)學(xué)問題解構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)。
【案例 1】(2008 年浙江理 15)
已知t為常數(shù)。函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則 t= .
點(diǎn)析:此題難點(diǎn)是參數(shù)t的認(rèn)識(shí)和處理。若通過分析解構(gòu)出數(shù)學(xué)對(duì)象來開展解題的路徑,如確立數(shù)學(xué)對(duì)象為函數(shù)y=x2-2x,然后探究y=x2-2x的圖象與函數(shù)y=x2-2x-t的圖象及y=|x2-2x-t|的圖象的關(guān)系,再建立直觀的數(shù)學(xué)聯(lián)系,結(jié)合圖象解決問題。本題本質(zhì)的解構(gòu)方法在于能否把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定函數(shù)圖象的平移和翻折變換到某一特定位置。
高中數(shù)學(xué)語言相比初中數(shù)學(xué)抽象程度突增,知識(shí)內(nèi)容整體數(shù)量巨增,思維方法更具嚴(yán)謹(jǐn)性和推理性,對(duì)綜合分析能力較弱的學(xué)生易產(chǎn)生學(xué)困點(diǎn),解題時(shí)更會(huì)出現(xiàn)思維盲點(diǎn)。如何從抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提取出適切的數(shù)學(xué)對(duì)象?如何把抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象轉(zhuǎn)化得直觀而易于探究?這是我們數(shù)學(xué)解題研究一個(gè)努力的方向。
【案例 2】(2015 浙江理 7)
存在函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有()
A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|
點(diǎn)析:此題難點(diǎn)在于題設(shè)信息怎么提取轉(zhuǎn)化,選項(xiàng)信息與題設(shè)信息之間的聯(lián)系是什么?根據(jù)題設(shè)信息已知函數(shù)f(x)的定義域,根據(jù)選項(xiàng)信息可選擇用換元法求f(x)的解析式,這一步驟是可操作的。但是篩選出正確選項(xiàng)的依據(jù)是什么?關(guān)注到題設(shè)信息“函數(shù)”,可追問求出來的關(guān)系式是“函數(shù)的表示形式”嗎?這一抽象思維過程是難點(diǎn)。因此此題的思維盲點(diǎn)在于我們想要了解的數(shù)學(xué)對(duì)象是什么,如果能確立數(shù)學(xué)對(duì)象為函數(shù)的解析式,結(jié)合對(duì)函數(shù)定義的考量,此題即破。
基于上述三個(gè)方面的教學(xué)實(shí)際需求,本文擬通過研究高中函數(shù)模塊中解題的教學(xué)實(shí)踐,歸納總結(jié)出以確立適切的數(shù)學(xué)對(duì)象是數(shù)學(xué)問題解構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié),并以案例的形式確立數(shù)學(xué)對(duì)象來解題。
1.理論基礎(chǔ)
(1)數(shù)學(xué)的語言功能
數(shù)學(xué)是具有獨(dú)特的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式的一門語言。數(shù)學(xué)解題可以看成是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀、表達(dá)和交流的過程,也是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)邏輯思考、創(chuàng)造性思考,從而達(dá)成認(rèn)識(shí)問題、解決問題的微實(shí)踐。
(2)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)
認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)越高,數(shù)學(xué)問題越簡單、樸素、自然,越透徹。高觀點(diǎn)的核心要素就是需要具備良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和廣泛的知識(shí)面,同時(shí)能夠用最樸素的思想去推動(dòng)數(shù)學(xué)問題解決的整個(gè)思維過程。在函數(shù)模塊對(duì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)進(jìn)行深度思考,抽象出適切的數(shù)學(xué)對(duì)象,以此數(shù)學(xué)對(duì)象為核心,通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象及數(shù)據(jù)分析探尋數(shù)學(xué)對(duì)象與待求數(shù)學(xué)問題目標(biāo)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系,進(jìn)行精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理,達(dá)成解決問題的目的。
普高數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的六大核心素養(yǎng):
在解決數(shù)學(xué)問題的過程中可以很好地鍛煉學(xué)生抽象、建模、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算等核心素養(yǎng),不僅解決了數(shù)學(xué)問題,還“繁殖”出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“蘑菇群”。通過多年數(shù)學(xué)解題策略的研究,本人認(rèn)為函數(shù)模塊中可以從題設(shè)中提取出問題解決的核心點(diǎn)——數(shù)學(xué)對(duì)象,并以此數(shù)學(xué)對(duì)象為核心探尋與問題目標(biāo)的本質(zhì)聯(lián)系,以這樣一種最樸素的思想去思考,讓整個(gè)解題思維過程自然流暢。
2.分類設(shè)計(jì)
本文所指函數(shù)模塊數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)對(duì)象特指:方程、函數(shù)、不等式三類。因?yàn)榇鷶?shù)問題探究的基本上是等量關(guān)系和不等關(guān)系,其中等量關(guān)系中需要能分析出解決該問題時(shí)需要把等量關(guān)系看成方程還是函數(shù)展開探究,但有時(shí)候不考慮所含字母的身份,只是看成等式就可以解決問題。
【案例 3】(2016 浙江 12)
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,則 a=___;b=___.思路——數(shù)學(xué)對(duì)象:等式x3+3x2-a3-3a2=(x-b)(x-a)2;a≠0;數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:等式的恒等變形;
處理方法:對(duì)等式左邊進(jìn)行因式分解與右側(cè)對(duì)照,求出a,b的值。
左邊=x3+3x2-a3-3a2=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a]
右邊=(x-a)[x2-(a+b)x+ab]
有些數(shù)學(xué)問題很明顯能獲得這樣的信息:只需要把題設(shè)中的函數(shù)研究清楚就可以解決問題,研究的方向一般為函數(shù)的圖象和函數(shù)的性質(zhì)兩方面,作出函數(shù)的圖象或者對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行適當(dāng)變換達(dá)到問題目標(biāo),或者通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲取與問題目標(biāo)關(guān)聯(lián)的信息,從而解決問題。但是函數(shù)的選擇是否適切關(guān)系到能否順利、快速、精準(zhǔn)地解決問題。因此下面的案例從三種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象選擇入手進(jìn)行剖析,獲得一題多解的解題方向。
【案例 4】(2017 浙江 17)
此題主要考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng),運(yùn)用觀察、類比、化歸的策略來解決問題。其中抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的思路有三種:函數(shù)、方程、不等式。
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:f(x)的最大值為5;
思路 2.數(shù)學(xué)對(duì)象:函數(shù) g(t)=|t-a|+a,t∈[4,5];
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:g(t)的最大值為5;
處理方法:注意到g(t)在t∈R上的圖象關(guān)于直線t=a對(duì)稱,且在(-∞,a]上單調(diào)遞減,在[a,+∞]上單調(diào)遞增,立得
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:h(t)的圖象變換;
處理方法:把 h(t)的圖象向下(a>0)或向上(a>0)平移 |a|個(gè)單位,然后對(duì)x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折,之后再把所得圖象向上(a>0)或向下(a>0)平移 |a|個(gè)單位,使得最高點(diǎn)為縱坐標(biāo)為5。
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:確保不等式恒成立且等號(hào)能成立;
本文以此案例的解析立足于數(shù)學(xué)對(duì)象的確立,通過對(duì)比分析,藉希望讀者可以斟酌出對(duì)自己最適切的數(shù)學(xué)對(duì)象,以達(dá)到“他山之石可以攻玉”的研究價(jià)值。
平時(shí)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師和學(xué)生的關(guān)注度更多在解題技巧方面,除非對(duì)這種技巧運(yùn)用得非常純熟,否則應(yīng)試時(shí)易找不準(zhǔn)方向。如果在平時(shí)教學(xué)中就時(shí)刻滲透著眼于數(shù)學(xué)對(duì)象的解題方向的探尋,那無論怎樣的問題拿到都能如偵探破案一樣追尋到解題線索。下例為本人某一節(jié)作業(yè)分析課時(shí)開展的基于數(shù)學(xué)對(duì)象與問題目標(biāo)之間聯(lián)系的一題多變的解題教學(xué)片段:
【案例5】
已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+2-a集合A={x∈N|f(x)<0}中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
思路1.數(shù)學(xué)對(duì)象:函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+2-a.
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:x∈N,f(x)的符號(hào);
處理方法:從變化中挖掘出定值,f(-1)=5(定值),f(0)=2-a,f(1)=1-2a,f(2)=2-3a,f(3)=5-4a,由此展開探究:
(1)若f(0)=2-a<0,則f(1)<0,f(2)<0,f(3)<0,此時(shí)集合A中元素不唯一,符合條件;
(2)若f(0)=2-a>0,
②若f(1)<0,由集合A中元素唯一性,則必須滿足f(2)≥0,解得
思路 2.數(shù)學(xué)對(duì)象:關(guān)于 x 的不等式 x2-(a+2)x+2-a<0,x∈N
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:不等式只有一個(gè)自然數(shù)解。
處理方法:參變量分離,數(shù)形結(jié)合。
變式1.(結(jié)合一個(gè)符合條件的x,尋找約束條件)
已知函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x-4-a集合A={x∈N|f(x)<0}中只有一個(gè)元素,求a的取值范圍。
思路數(shù)學(xué)對(duì)象:函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x-4-a.
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:x∈N,f(x)的符號(hào);
處理方法:從變化中挖掘出定值,f(1)=-1(定值)<0,只需滿足f(0)≥0且f(2)≥0即可。
變式2.(利用函數(shù)過定點(diǎn),尋找約束條件)
已知函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x-3-a.集合A={x∈N|f(x)<0}中只有一個(gè)元素,求a的取值范圍。
思路數(shù)學(xué)對(duì)象:函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x-3-a.
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:x∈N,f(x)的符號(hào);
處理方法:從變化中挖掘出定值,f(1)=0(定值),又知x=1、-a-3為函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn),只需滿足條件-1≤-a-3<0或2<-a-3≤3即可。
變式3.(利用函數(shù)對(duì)稱軸的確定性,尋找約束條件)
已知函數(shù)f(x)=x2-6x-a2-2a+8.集合A={x∈N|f(x)<0}中只有一個(gè)元素,求a的取值范圍。
思路數(shù)學(xué)對(duì)象:函數(shù)f(x)=x2-6x-a2-2a+8.
數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向:x∈N,f(x)的符號(hào);
處理方法:從變化中挖掘出定性,f(x)的對(duì)稱軸為x=3,又知x=2-a,4+a為函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn),只需滿足條件2≤2-a<3或3<4+a≤4即可。
本案例擬從數(shù)學(xué)對(duì)象選擇入手,展開一題多解的處理方法;然后再改變數(shù)學(xué)對(duì)象的特質(zhì),展開一題多變下不斷調(diào)整策略溝通數(shù)學(xué)對(duì)象與問題解決目標(biāo)之間的聯(lián)系,從而達(dá)成優(yōu)化解決一類問題的解題方法。
本文提出的以確立適切的數(shù)學(xué)對(duì)象入手開展解題,在本人多年教學(xué)中一直滲透著、實(shí)踐著,所帶的畢業(yè)班都能在高考中于同類班級(jí)中取得平均分第一,并能出現(xiàn)高分?,F(xiàn)粗淺地總結(jié)出來分享給大家。希望能對(duì)教師的教學(xué)有所啟發(fā),提高教學(xué)效益,并能幫助學(xué)生提高解題能力,增強(qiáng)解題信心,以收到事半功倍的效果。