連穎穎，彭 楨，沈 燕

(1.安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000；2.安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601)

反變有限子范疇的概念是由Auslander等[1]于1980年提出的.此后，Auslander等[2]對反變有限子范疇做了進一步的推廣，研究了由代數(shù)A的投射維數(shù)有限的有限生成模構成的滿子范疇p<∞(A)的反變有限性，且其與投射維數(shù)不超過1的傾斜模之間存在緊密的聯(lián)系.這些研究引起了代數(shù)學家的關注并在后續(xù)研究中得到了很多重要結論，如Angeleri-Hügel等[3]證明了對于有限維代數(shù)A，其有限維數(shù)有限當且僅當存在一個A上的傾斜模T，使得T的右正交滿子范疇與p<∞(A)的右正交滿子范疇一致，給出了著名的有限維數(shù)猜想的一個充要條件[4].這些研究使得對于p<∞(A)的反變有限性的研究有了一定的理論價值.

導出范疇的概念是由Grothendieck在20世紀60年代提出并由Verdier完成了其核心構造[5].自該概念被提出以來，導出范疇與許多學科產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系，如偏微分方程、李理論、幾何以及代數(shù)等.在代數(shù)表示理論中，代數(shù)的導出范疇之間的等價給出了代數(shù)的一種等價關系，是代數(shù)之間的3種重要等價關系之一，它保持代數(shù)的許多同調(diào)性質(zhì)，如導出等價保持K理論[6]、保持代數(shù)的有限維數(shù)的有限性等[7].此外，導出等價與穩(wěn)定等價也聯(lián)系緊密[8].而環(huán)的同調(diào)滿同態(tài)誘導了兩個環(huán)的導出范疇之間的粘合，可以看作導出等價的推廣，它在代數(shù)表示理論和代數(shù)K理論等的研究中起到了重要作用.作者考慮同調(diào)滿同態(tài)能不能保持代數(shù)的一些性質(zhì)，為代數(shù)工作者進一步討論代數(shù)的關系提供了一定的理論基礎.

論文研究了p<∞(A)的反變有限性在代數(shù)的導出等價下的關系，證明了p<∞(A)的反變有限性是導出等價下的不變量.

定理1給定域k上的有限維代數(shù)A,B，設存在同調(diào)滿同態(tài)：φ:A→B，如果B作為A-模是投射維數(shù)有限的，且p<∞(A)在A中反變有限，那么p<∞(B)在B中反變有限.

1 預備知識

給定一個k-代數(shù)A,B，對于代數(shù)同態(tài)φ:A→B，若滿足給定任意的代數(shù)同態(tài)f1,f2:B→C滿足φf1=φf2，都有f1=f2,則稱φ是一個滿同態(tài)，顯而易見，代數(shù)之間的滿同態(tài)其實是代數(shù)范疇內(nèi)的一個滿態(tài)射.

引理1[9]設φ:A→B是一個代數(shù)同態(tài)，則下列各條等價

(1)φ是一個滿同態(tài)；

(2) 乘法映射：μB:B?AB→B是一個B-雙模同構；

(3)φ誘導的函子：φ*:B-mod→A-mod是一個忠實滿函子；

(4) 存在函子間的自然等價：λ：(B?A-)φ*→1B-mod.

上述引理給了滿同態(tài)的定義的同時也刻畫了滿同態(tài)的性質(zhì).

引理2[10]給定代數(shù)滿同態(tài)φ:A→B，下列各條等價

滿足上述條件的代數(shù)滿同態(tài)叫做同調(diào)滿同態(tài).

給定代數(shù)A,A-mod的滿子范疇C，如果滿足對任意的A-模M，都存在一個右C-逼近，那么C稱為反變有限的[1].

引理3[11]給定域k上的A,B，對任意的左A-模X，以及任意的左B-模Y，存在如下的自然同構

2 定理的證明

定理1的證明根據(jù)定義要證p<∞(B)在B-mod中反變有限，那么對于任意的B-模X，PX∈p<∞(B)，以及A-模同態(tài)αX:PX→X，對任意的P∈p<∞(B)以及B-模同態(tài)α:P→X，都存在B-模同態(tài)f:P→PX，使得下面的交換圖成立

(1)

現(xiàn)對于B-模X以及任意的P∈p<∞(B)和B-模同態(tài)α:P→X，根據(jù)引理1，X是一個A-模，若B作為A-模是投射維數(shù)有限的，故P∈p<∞(A)α:P→X是A-模同態(tài).因為p<∞(A)在A-mod中反變有限，所以存在QX∈p<∞(A)以及A-模同態(tài)βX:QX→X，對A-模X，以及P∈p<∞(A)，A-模同態(tài)α:P→X，存在A-模同態(tài)g:P→QX，使得下面的交換圖成立

(2)

令PX=B?AQX，由引理3知

(3)

由于∈p<∞(A)，故由(3)式得PX∈p<∞(B).令

(4)

接下來驗證交換圖(1)成立.

根據(jù)交換圖(2)得到下面的交換圖

再由(4)式可得下面的交換圖

由于P∈p<∞(B)，α:P→X是B-模同態(tài)，再由引理1，得到下面的交換圖

于是得到交換圖(1)，從而證明了p<∞(B)在B-mod中反變有限.