張文丑 張卓群

Copula模型是一種多元聯(lián)合分布建模工具。由于其構(gòu)造靈活、能夠更好地捕捉真實經(jīng)濟序列特性等優(yōu)點，近年來被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟問題研究之中。具體到金融領(lǐng)域，Copula模型在市場相關(guān)性測度、投資組合風(fēng)險度量、信用衍生品定價等方面具有突出優(yōu)勢，已經(jīng)成為學(xué)界和業(yè)界研究金融問題的重要定量方法。

金融時間序列特性及傳統(tǒng)分析困境

上個世紀(jì)八十年代之后，隨著發(fā)達國家金融市場規(guī)模不斷擴大、金融工具品種不斷創(chuàng)新，金融時間序列的量化研究進入新紀(jì)元。大量研究表明，金融時間序列與其他經(jīng)濟序列具有顯著區(qū)別，主要表現(xiàn)出以下幾個特征：第一，尖峰厚尾；第二，異方差性和波動聚集。尖峰指的是金融資產(chǎn)收益率的實際分布相較于正態(tài)分布在中部具有更高的概率密度，厚尾指的是實際分布在左右尾部比正態(tài)分布要厚一些。發(fā)生這種現(xiàn)象的一個解釋是，資產(chǎn)收益率的變化相較于其他經(jīng)濟序列數(shù)值差異過大。這種特性也表明金融市場中的交易容易獲得暴利，也容易遭受損失。異方差性指的是資產(chǎn)收益率的條件方差具有時變性。波動聚集指的是資產(chǎn)收益率出現(xiàn)較大波動時，通常會緊隨出現(xiàn)一系列較大波動；出現(xiàn)較小波動時，同樣可能緊隨出現(xiàn)一系列小波動。造成異方差性和波動聚集的一個解釋為金融時間序列存在短記性，并且受到市場景氣周期的影響。

金融時間序列的這些特性，為其分析預(yù)測帶來了困難。1982 年，Engle提出了ARCH模型，允許金融時間序列的方差在過去新息的基礎(chǔ)上，隨著時間變化而變化，也就是條件異方差的概念，該模型較好地解決了異方差性和波動聚集的問題。一系列衍生模型，如GARCH、EGARCH、IGARCH等相繼被創(chuàng)造出來，形成了GARCH族模型。Engle本人也憑借在金融時序分析領(lǐng)域做出的突出貢獻，與Granger共同獲得了2003年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。此外，對于尖峰厚尾問題的研究成為了金融量化研究領(lǐng)域的熱點。顯然，依靠正態(tài)分布、t分布難以刻畫資產(chǎn)收益率的真實分布，也難以捕捉多個序列之間的相關(guān)關(guān)系，強行使用會產(chǎn)生謬誤。而基于Copula函數(shù)的建模方法為解決此類問題提供了一條可行路徑。

Copula模型的優(yōu)勢

Copula的概念最早由Sklar于1959年提出，其本質(zhì)上是一種連接函數(shù)，用于概率測度空間領(lǐng)域的相關(guān)研究之中。二十世紀(jì)七十年代，Schweizer將Copula方法逐步引入到了統(tǒng)計、計量領(lǐng)域，進一步拓展了Copula函數(shù)的研究范圍。不過由于Copula函數(shù)形式較為復(fù)雜，依靠人工計算的可行性較差，因此九十年代之前相關(guān)研究多停留在理論層面。隨著近二十年計算機的普及， Copula方法在經(jīng)濟領(lǐng)域，特別是在金融領(lǐng)域的應(yīng)用得到了蓬勃發(fā)展。與傳統(tǒng)的建模工具相比，Copula模型具有以下幾個優(yōu)勢。

第一，兩步建模方法極大提升了模型的靈活性。在多元正態(tài)分布的建立過程中，首先假設(shè)每一個隨機變量的邊緣分布均服從正態(tài)分布，隨后使用相關(guān)系數(shù)矩陣刻畫相關(guān)性。顯然，這種假設(shè)既不具有靈活性，又與實際分布相差甚遠。Copula方法克服了這個缺陷。Copula模型的建立分為兩步：首先根據(jù)每個隨機變量的數(shù)據(jù)生成過程擬合邊緣分布，隨后選用適合的Copula函數(shù)將多個邊緣分布相連接，形成多元聯(lián)合分布。

第二，多種變量分布能夠較好地擬合真實時序。在第一步中，Copula模型對隨機變量的邊緣分布沒有硬性限制，可以使用正態(tài)、t、GED等多種參數(shù)分布擬合，也可以使用核密度估計等非參數(shù)方法擬合，甚至可以使用經(jīng)驗分布擬合。對于金融時序來說，可以使用上述一種或多種方法組合刻畫邊緣分布，能夠較好地解決尖峰厚尾問題。在第二步中，Copula函數(shù)具有多種多樣的形式，如橢圓族Copula、阿基米德族Copula等。通過選取不同的Copula函數(shù)，可以刻畫隨機變量之間復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。將不同邊緣分布與不同Copula函數(shù)相組合，可以構(gòu)建出多種多樣的聯(lián)合分布，能夠更有效地捕捉真實金融時序的特征。

第三，層次構(gòu)建思想更為有利于拆分金融風(fēng)險。兩步構(gòu)建模型實際體現(xiàn)了層次建模思想。這種拆分使得單個資產(chǎn)的波動風(fēng)險體現(xiàn)在了邊緣分布之中，資產(chǎn)之間相互聯(lián)動的相關(guān)性風(fēng)險體現(xiàn)在了Copula函數(shù)之中，實現(xiàn)了風(fēng)險的逐層分解。更有利于分析相關(guān)金融問題，有利于強化金融風(fēng)險管控體系。

Copula方法在金融領(lǐng)域的主要應(yīng)用

基于Copula模型的上述優(yōu)點，目前該方法在金融領(lǐng)域的學(xué)術(shù)研究和實際應(yīng)用方面取得了一批顯著的成果，以下將就主要的三個方向進行介紹。

第一，市場相關(guān)性測度。股市、外匯、期貨等金融市場之間存在普遍聯(lián)系，國家與國家之間的金融市場同樣相互依存。2008 年，由美國爆發(fā)的次貸危機在很短的時間內(nèi)沿著資本流動路徑傳染至全球主要金融市場，引發(fā)國際金融危機。因此研究市場之間的相關(guān)性對于我國防控輸入性金融風(fēng)險、保障國家金融安全具有重要意義。顯而易見，在金融市場關(guān)聯(lián)高度復(fù)雜化的今天，傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)或者系數(shù)矩陣愈發(fā)趨于無效。Copula函數(shù)作為一種新的解決方案，它的一個顯著特性就是能夠捕捉隨機變量之間的非線性和非對稱相關(guān)關(guān)系。特別是能夠捕捉尾部相關(guān)關(guān)系，也就是能夠測度出當(dāng)一個市場發(fā)生極端上漲或極端下跌時，其他關(guān)聯(lián)市場上漲或下跌的可能性，這對監(jiān)測市場異動的發(fā)生具有重要作用。此外，近幾年一種基于二元Copula函數(shù)逐層疊加的圖模型——Vine Copula模型逐步興起。Vine Copula模型不但能夠捕捉多個市場之間的復(fù)雜關(guān)系，更能夠依據(jù)一定的路徑，刻畫市場之間相互影響的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，使得更為全面地認(rèn)識市場之間的聯(lián)動成為可能。

第二，投資組合風(fēng)險度量。Copula函數(shù)不但能夠測度市場間的相關(guān)性，同樣能夠測度不同資產(chǎn)間的相關(guān)性，這就引申出來該模型的另一重要應(yīng)用——投資組合風(fēng)險度量。對于機構(gòu)投資者和個人投資者來說，風(fēng)險度量和控制是投資過程中最重要的工作，目前國際通用的做法是計算投資組合的在險價值（VaR）。VaR指的是在一定置信水平下和一定持有期內(nèi)，某一投資組合可能面臨的最大損失。目前計算VaR的主要方法有正態(tài)分布法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法等。Copula方法開辟了一條新的路徑，以兩種資產(chǎn)投資組合為例，其計算方法如下：首先，選取適當(dāng)?shù)倪吘壏植己虲opula函數(shù)對兩種資產(chǎn)的收益率構(gòu)建最優(yōu)Copula模型；其次，采用蒙特卡洛模擬技術(shù)根據(jù)選取的Copula 函數(shù)生成相關(guān)的二維隨機樣本；再次，根據(jù)各資產(chǎn)收益率的邊緣分布做逆概率變換，得到收益率，根據(jù)兩種資產(chǎn)的比重計算得到收益率樣本集；最后，根據(jù)置信水平，計算兩種資產(chǎn)組合收益率的樣本分位數(shù)，得到VaR。上述過程可以重復(fù)多次，直到VaR收斂為止。使用Copula函數(shù)計算資產(chǎn)投資組合VaR，既利用了蒙特卡洛模擬仿真的計算思想，又克服了正態(tài)分布法無法捕捉收益率尖峰厚尾特征的缺陷。在大多數(shù)投資組合VaR的度量研究中， Copula方法可以取得持平或者優(yōu)于傳統(tǒng)方法的效果。

第三，信用衍生品定價。除了市場風(fēng)險以外，金融機構(gòu)面臨的另外一個重要風(fēng)險是信用風(fēng)險，Copula方法在此領(lǐng)域同樣具有用武之地。信用衍生品是上個世紀(jì)九十年代創(chuàng)造出來的新型信用風(fēng)險管理工具，其具有分散信用風(fēng)險、增強資產(chǎn)流動性、提升資本回報率、擴大金融市場規(guī)模、提高金融市場效率等幾方面的功效。信用衍生品的種類很多，以擔(dān)保債務(wù)憑證（CDO）為例，創(chuàng)始銀行取得擁有現(xiàn)金流的資產(chǎn)組合之后，將其轉(zhuǎn)移給特殊目的實體（SPE）進行分割和重新打包，以私募或公開的形式發(fā)行給投資人，進而實現(xiàn)信用風(fēng)險的市場化配置。在CDO的定價過程中， 資產(chǎn)之間的違約相關(guān)性是影響CDO信用風(fēng)險的主要因素。2000 年，Li提出使用Copula函數(shù)測度違約相關(guān)系數(shù)，這種方法一經(jīng)提出，就得到了廣泛的應(yīng)用。與傳統(tǒng)定價方法相比，Copula函數(shù)具有靈活易用、能夠較好刻畫資產(chǎn)復(fù)雜相關(guān)性等優(yōu)點，保證其能夠達到同等或更為優(yōu)良的定價效果。目前，基于Copula函數(shù)的信用衍生品定價在學(xué)界得到了極大的發(fā)展，出現(xiàn)了許多關(guān)聯(lián)研究； 在業(yè)界已經(jīng)嵌入多種計量分析軟件，成為CDO定價的標(biāo)準(zhǔn)方法之一。

除了上述領(lǐng)域之外，Copula方法在以相關(guān)性為基礎(chǔ)的其他金融問題研究領(lǐng)域，如資產(chǎn)最優(yōu)組合選擇、信用評級等方面，同樣具有廣闊的應(yīng)用前景。值得注意的是，計量經(jīng)濟模型是基于一定假設(shè)條件下對于經(jīng)濟現(xiàn)象的高度提煉與濃縮，使用Copula方法對金融問題研究可以起到很好的量化效果，但最終利益相關(guān)者的決策不能完全依賴模型結(jié)果，需要就具體問題開展更為深入分析和研究。

（本研究得到中國社會科學(xué)院學(xué)科建設(shè)“登峰戰(zhàn)略”資助計劃項目“數(shù)量經(jīng)濟學(xué)”資助）

（作者單位：中國社會科學(xué)院研究生院，中國社會科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟與技術(shù)經(jīng)濟研究所）