竺 斌

(浙江省湖州中學(xué)，浙江 湖州 313000)

物理極值問(wèn)題是求解某個(gè)物理量在某個(gè)過(guò)程中出現(xiàn)的極大值或者極小值的問(wèn)題.這對(duì)某個(gè)物理量的研究具有非常重要的作用,特別對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題具有極其重要的價(jià)值.一般的處理方法是用數(shù)學(xué)方法來(lái)求解,但有時(shí)寫出的函數(shù)關(guān)系非常復(fù)雜,很難求出它的極值,或者求解過(guò)程非常繁瑣,或者求解過(guò)程的數(shù)學(xué)運(yùn)算量非常大.所以有些問(wèn)題,我們可以考慮是否通過(guò)對(duì)物理過(guò)程的分析,從物理角度思考達(dá)到極值所滿足的物理?xiàng)l件,根據(jù)這一條件進(jìn)行求解,可能會(huì)帶來(lái)意想不到的驚喜.另外,有些物理量的函數(shù)關(guān)系不能直接寫出,這類問(wèn)題的解答可能會(huì)有些技巧,比如利用類比的方法,將這一問(wèn)題與我們熟悉的問(wèn)題進(jìn)行類比,問(wèn)題也就迎刃而解了.下面介紹的利用光學(xué)中的費(fèi)馬原理來(lái)求解一些運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題就是典型的例子.

1 分析物理過(guò)程,找出達(dá)到極值所滿足的物理?xiàng)l件

(1) 計(jì)算運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),這些位置,運(yùn)動(dòng)物體的速度一定是水平的,豎直分速度為0,否則就不可能為最高點(diǎn)或最低點(diǎn).抓住這特點(diǎn)進(jìn)行求解問(wèn)題就迎刃而解了.

圖1

例1.(2018年4月浙江省選考科目考試物理試題的選擇題第13題)如圖1所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點(diǎn)水平距離為16 m,豎直距離為2 m,A、B間繩長(zhǎng)為20 m.質(zhì)量為10 kg的猴子抓住套在繩子上的滑環(huán)從A處滑到B處.以A點(diǎn)所在水平面為參考平面,猴子在滑行過(guò)程中重力勢(shì)能最小值約為(繩處于拉直狀態(tài))

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J (D) -2.0×102J.

圖2

本題考查了重力勢(shì)能的最小值.重力勢(shì)能最小,也就是猴子沿繩子下滑到最低點(diǎn),這是一題求高度最低的極值問(wèn)題.一般的數(shù)學(xué)解法,猴子的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,建立以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出橢圓方程,如圖2所示.最低點(diǎn)位置是橢圓的切線水平,即斜率為-0.125的點(diǎn)(有兩個(gè)Q、Q′),其中一個(gè)Q就是高度最低的點(diǎn).這樣的計(jì)算肯定比較繁瑣,而且要用到求導(dǎo).

圖3

如果用物理方法可以方便的確定最低點(diǎn)的位置.猴子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),速度方向一定是水平的.如圖3所示,猴子運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)滑輪的位置記為Q點(diǎn),過(guò)Q點(diǎn)做水平線MN,過(guò)Q點(diǎn)做豎直線QP,即MN⊥QP.猴子運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓,速度沿切線方向(水平MN方向),根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì),法線QP一定平分∠BQA,即∠BQP=∠PQA.接下來(lái)根據(jù)平面幾何的知識(shí)很容易得到QA的高度為7 m.

(2) 物體做變加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,若加速度先減小后反向增加,速度先增加后減小.那么速度最大的時(shí)刻也即加速度為0的時(shí)刻或者合力為0的時(shí)刻.

例2.一質(zhì)量為m的小環(huán)A套在光滑的水平固定桿中,并用長(zhǎng)為l的細(xì)繩與質(zhì)量也為m的小球B連接,先將繩拉至水平方向,然后靜止釋放.當(dāng)繩與水平桿之間的夾角θ為多大時(shí),小球B的速度最大,并求出此最大速度.

圖4

解析:小球B對(duì)地速度為vB,相對(duì)環(huán)A的速度為vBA,小環(huán)A的速度為vA.如圖4所示.它們之間的關(guān)系:vBx=vBAsinθ-vA，

vBy=vBAcosθ.

當(dāng)小球擺至繩子與水平方向的夾角為θ時(shí),根據(jù)機(jī)械能守恒可得

系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒可得:

mvA=mvBx

由以上幾式可解得

設(shè)繩子的拉力為F,小環(huán)的加速度為a,則有Fcosθ=ma.

圖5

要使小球速度最大,那么小球沿對(duì)地速度vB方向的合力為0,有

mgcosα=Fsin(θ-α)

可得3cos4θ+8cos2θ-3=0.

2 類比方法求極值

類比是物理學(xué)的重要方法之一,對(duì)物理學(xué)的發(fā)展起了積極的促進(jìn)作用.有些運(yùn)動(dòng)學(xué)的極值問(wèn)題可以類比于光學(xué)中的折射定律(或者費(fèi)馬原理),應(yīng)用折射定律解決非常的簡(jiǎn)捷.比如“胡不歸”問(wèn)題和均勻重力場(chǎng)中最快下降路線.下面分別來(lái)探討這兩個(gè)問(wèn)題.

2.1 “胡不歸”問(wèn)題

圖6

古老的“胡不歸”傳說(shuō),說(shuō)的是:從前有一個(gè)身在A地當(dāng)學(xué)徒的小伙子,當(dāng)他得悉在家鄉(xiāng)B地的年老父親病危的消息后,便立即向掌柜告了假,借了些錢,啟程趕路,由于思念心切,他挑選了全是沙礫地帶的直線路徑AB(如圖6所示),他認(rèn)為走近路必定最省時(shí),因此,他放棄了沿驛道AC先走一程的想法.當(dāng)他氣喘吁吁地來(lái)到父親跟前時(shí),老人剛剛咽了氣,小伙子不覺(jué)失聲痛哭.鄰舍聞聲前來(lái)勸慰,有人告訴小伙子,老人在彌留之際,還不斷喃喃地叨念“胡不歸?胡不歸?……”

例3.現(xiàn)給“胡不歸”問(wèn)題附以數(shù)據(jù),B地到驛道的直線距離為12 km,AB兩地的直線距離為20 km.沿沙礫地帶步行的速度為1 m/s,在驛道騎馬的速度為10 m/s.那么小伙子怎樣的走法從A地到B地的時(shí)間最短.

圖7

解析:如果將此問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的求極值問(wèn)題可以求解,但是求解過(guò)程復(fù)雜,要用到導(dǎo)數(shù)求極值的方法.現(xiàn)在將此問(wèn)題與光的折射聯(lián)系起來(lái),用折射定律求解,要方便得多.我們?cè)O(shè)想從A點(diǎn)發(fā)出的一束光(代替小伙子)先與兩媒質(zhì)(驛道跟沙礫地帶)界面AC(即驛道)成一很小的角度入射到D點(diǎn),此時(shí)光速為v1,然后折射入第二種媒質(zhì)(沙礫地帶)到達(dá)B點(diǎn),此過(guò)程中光速為v2,如圖7所示.假定此光束沿ADB路線傳播是符合折射定律的路徑,根據(jù)費(fèi)馬原理:光線在兩點(diǎn)間的實(shí)際路徑是使所需的傳播時(shí)間為極值的路徑.光的折射定律就是費(fèi)馬原理的一個(gè)推論,光從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)走的路徑是所需時(shí)間最短的路徑.所以小伙子走ADB路線所用時(shí)間最短.

根據(jù)折射定律及折射率與速度的關(guān)系可得,

所以小伙子先沿驛道騎馬行走約14.79 km至D點(diǎn),然后進(jìn)入沙礫地帶沿DB方向步行至B地,所用時(shí)間最短.

2.2 重力場(chǎng)中最快下降路線.

例4.在某一豎直面上有O、P兩點(diǎn),這兩點(diǎn)的水平距離為a,豎直距離為b.試找出一條從O點(diǎn)到P點(diǎn)的光滑曲線軌道,使得質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)靜止出發(fā)無(wú)摩擦的沿此軌道滑到P點(diǎn)所需的時(shí)間最短.

解析: 光的折射定律為n1sinθ1=n2sinθ2，

圖8

圖9

由以上兩式可得dx=2Asin2β·dβ.

所以得到質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中的最快下降路線的參數(shù)表達(dá)式為

其中參數(shù)A可由P點(diǎn)的坐標(biāo)a和b通過(guò)下面兩式確定,

由此可見(jiàn),最快下降路線是一條擺線.

綜上所述,用物理方法求解極值問(wèn)題,必須有敏銳的物理洞察力.根據(jù)題意,找出取到極值滿足的物理?xiàng)l件,或者根據(jù)已有的一些物理規(guī)律,巧妙的運(yùn)用類比方法,找到求解極值問(wèn)題的關(guān)鍵,這是用物理方法求解極值問(wèn)題的核心,不能盲目地將物理問(wèn)題純數(shù)學(xué)化.研究物理極值的物理解法,不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理概念、物理過(guò)程以及物理規(guī)律的認(rèn)識(shí)和理解,而且也可以省去復(fù)雜繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算.