潘 杰，馬超群

(長安大學 公路學院，陜西 西安 710064)

隨著城市軌道交通實時交通信息系統(tǒng)的日益完善，管理者需要掌握未來短時間內客流量的變化趨勢，以制定和實施運營管理計劃，這不僅可以使交通管理逐步走向智能化、動態(tài)化和信息化，還能提高運營效率，同時為出行者提供高效方便的服務。

文獻[1]提出了基于Kalman濾波的短時地鐵換乘客流預測方法，得到平日早高峰客流預測結果評價指標均優(yōu)于節(jié)假日的預測結果，但存在對突變點預測不夠準確。文獻[2]選用SARIMA模型對北京市地鐵進站客流量預測進行短時預測，預測結果基本能夠滿足對客流掌握的需求，但該模型對于特殊節(jié)假日的預測效果甚微；文獻[3]將K近鄰非參數(shù)回歸應用于軌道交通客流量預測中，發(fā)現(xiàn)K近鄰非參數(shù)回歸比其他模型的預測精度更高、對突發(fā)客流的處理能力更強。文獻[4]將神經網絡和支持向量機兩種方法融合在一起，得到了組合預測模型；文獻[5]則在前人研究的基礎上，建立了基于客流時序特征的神經網絡模型。

傳統(tǒng)預測法和灰色系統(tǒng)理論都可以獨立完成一定時期內地鐵客流量大體趨勢的預測。但由于地鐵客流量受到很多未知因素影響，導致數(shù)據(jù)波動性較大，因此，傳統(tǒng)方法和灰色模型在短期預測中預測精度不高。本文考慮到地鐵客流量的隨機性和連續(xù)性，提出一種改進的灰色馬爾科夫預測模型。用改進后的模型對西安地鐵客流量進行了預測，改進后的灰色馬爾科夫模型的準確度和精度都有所提高。

1 改進灰色馬爾科夫模型

1.1 無偏灰色GM(1，1)模型[6]

設原始數(shù)據(jù)序列為嚴格的指數(shù)序列，即

x0(k)=Me-η(k-1)，k=1，2，…，n.

(1)

其一次累加生成序列為

(2)

用傳統(tǒng)的GM(1，1)建模方法建模,可得

(3)

Yn=[Meη,Meη,…,Me(n-1)η]T.

(4)

經推導可得

(5)

最終擬合結果為

x′(0)(1)=M.

(6a)

(k=2，3，…，n).

(6b)

根據(jù)式(5)，可用傳統(tǒng)GM (1，1)模型的參數(shù)a,u來表示原始序列的參數(shù)η，M

假設指數(shù)序列建立的模型為

x0(k)=M′ea′(k-1)，k=1，2，…，n.

(7)

其中，令

式(6a)和式(6b)是一個無偏模型。由此建立無偏GM(1，1)模型，其建模步驟為：

步驟(1)到步驟(3)見本文1.1中傳統(tǒng)GM(1，1)模型建立步驟。

步驟(4)：求出無偏GM(1，1)模型的參數(shù)

步驟(5)：建立原始數(shù)據(jù)序列模型

x′(0)(1)=x(0)(1)，

(8a)

x′(0)(k)=M′ea′(k-1)(k=2，3，…，n).

(8b)

與傳統(tǒng)GM(1，1)模型相比，無偏GM(1，1)模型基本消除了傳統(tǒng)GM(1，1)模型的固有偏差，其應用范圍較傳統(tǒng)GM(1，1)模型更為廣泛。此外，無偏GM(1，1)模型無需進行累減還原，簡化了建模步驟，提高了模型的計算速度。

1.2 滑動灰色GM(1，1)模型

考慮數(shù)據(jù)隨著時間變化具有內在的連續(xù)性，利用加權平滑思想對原始數(shù)據(jù)進行處理后，再結合無偏GM(1,1)建模過程建立滑動無偏GM(1,1)模型：

設原始數(shù)據(jù)序列為

經加權平滑處理得

(9)

(10)

對原始數(shù)據(jù)進行加權處理后，對該組數(shù)據(jù)利用無偏GM(1,1)模型進行預測，得出的結果即滑動無偏GM(1,1)模型預測結果，該模型預測具有較高的準確性，但對波動數(shù)據(jù)的適用情況較差。為彌補GM(1,1)模型的不足，引入了馬爾科夫模型。

1.3 馬爾科夫模型的建立[7-10]

1.3.1 狀態(tài)劃分

地鐵客流的變化過程是一個隨機呈現(xiàn)上升或下降趨勢的非穩(wěn)定隨機過程，地鐵客流量的數(shù)據(jù)序列符合n階馬爾科夫非平穩(wěn)隨機序列。設Y為相應時間序列的取值區(qū)域，利用M黃金分割法將Y劃分為m個狀態(tài)，則有H1，H2，…，Hm。

1.3.2 確定系統(tǒng)狀態(tài)

在有些預測問題中，系統(tǒng)狀態(tài)是確定的，但有些系統(tǒng)的狀態(tài)經常需要人為的事先劃分來確定系統(tǒng)狀態(tài)，通常無統(tǒng)一標準。

1.3.3 計算初始概率和一步轉移概率矩陣

1.3.4 利用P進行系統(tǒng)預測

若時間序列的觀測值yt落入狀態(tài)Hi,Pij=max(Pi1,Pi2,…,Pim)為P的第i行元素，則可預測Yt+1時刻將轉移到狀態(tài)Hj，這是因為轉移到狀態(tài)Hj可能性最大。

1.3.5 利用馬爾科夫鏈的遍歷性和平穩(wěn)分布對系統(tǒng)進行分析。

2 模型應用分析

2.1 地鐵客流的灰色馬爾科夫模型

本文以2014—2016年西安地鐵二號線各站點的AFC數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，可得到二號線每個月的總客流量。將每3個月(一個季度)的客流量進行一次匯總，得到西安地鐵客流量的樣本數(shù)據(jù)(見表1)。

表1 2014.3—2017.3西安地鐵客流量實際值

將表1中每個季度的地鐵客流總量作為初始數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型，對2017年前3個季度的客流量進行預測，從而得出2014.3—2017.3西安地鐵客流量GM(1，1)模型的預測值(見表2)。

表2 2014.3—2017.3西安地鐵客流量GM(1，1)模型的預測值

根據(jù)GM(1，1)模型的預測值計算出殘差ε(1)(K)和殘差的相對值Δ(K)，再把Δ(K)與馬爾科夫

模型相結合[11]，由殘差的相對值Δ(K)將它們劃分為3種狀態(tài)，分別記為⊕1=(-8%，-2%]，⊕2=(-2%，0]，⊕3=(0，9]。得出2014.3—2016.4的GM(1，1)模型預測值、每年的殘差ε(1)(K)、殘差的相對值Δ(K)以及各自所處的狀態(tài)[12]，如表3所示。

表3 狀態(tài)分布表

根據(jù)表3中的狀態(tài)劃分，對狀態(tài)轉移概率矩陣的分析如下[13-14]:表3中處于狀態(tài)1的情況共出現(xiàn)了3次，經過一步轉移之后的狀態(tài)分別變?yōu)闋顟B(tài)3和狀態(tài)2，由此可得出由狀態(tài)1經過一步轉移過后仍然處于狀態(tài)3的概率為2/3，轉移后到狀態(tài)2的概率為1/3，依此類推，得到狀態(tài)轉移矩陣為

由于2016年第四季度處于狀態(tài)3，那么初始向量為V0=(0，0，1)，對2017年第一季度客流量進行狀態(tài)預測，由一步狀態(tài)轉移得到

P(1)=V0P=(0，0，1)，

則得到2017年第一季度處于第一狀態(tài)的概率為1/2，處于第二狀態(tài)的概率為1/2。通過加權平均得出2017年第一季度客流量預測值為6 550萬人。同理，用V0×P2對2017年第二季度客流量進行預測，為7 016萬人，用V0×P3對2017年第三季度客流量進行預測，為7 215萬人。根據(jù)地鐵客流量原始值和灰色馬爾科夫模型預測值建立對比圖，如圖1所示。

圖1 灰色馬爾科夫模型對客流量的預測

圖1給出了灰色模型對2號線客流量的預測，地鐵客流量實際值圍繞灰色模型預測值上下波動，整體上看用灰色模型均能夠相對準確預測各個季度的客流量，驗證了灰色模型的可行性。將2014年第3季度到2016年第4季度的數(shù)據(jù)當作己知的數(shù)據(jù)，用馬爾科夫預測模型分別對2017年前3個季度的客流量進行預測，從圖1中得出灰色馬爾科夫模型修正后的灰色GM(1，1)模型，精度進一步提高，能夠準確地預測，但模型具有可用性之外也存在一定的誤差，需要對灰色馬爾科夫預測模型結合實際情況加以改進。

2.2 基于滑動優(yōu)化的灰色馬爾科夫模型

對原始數(shù)據(jù)序列經一次加權滑動平均處理后建立無偏GM (1,1)模型，稱為滑動無偏GM (1,1)模型[15]?；瑒訜o偏GM (1,1)模型對原始數(shù)據(jù)進行處理，得出滑動無偏GM(1，1)模型的預測值(見表4)。

表4 2014.3—2017.3西安地鐵客流量滑動 無偏GM(1，1)模型的預測值

由殘差的相對值Δ(K)將它們劃分為3種狀態(tài)，分別記為⊕1=(-8%，-2%]，⊕2=(-2%，0]，⊕3=(0，8]， 2014.3—2016.4的GM(1，1)模型的預測值、每年的殘差ε(1)(K)、殘差的相對值Δ(K)、以及各自所處的狀態(tài)(見表5)。

表5 狀態(tài)分布表

通過GM(1，1)模型與滑動無偏GM(1，1)模型預測結果的對比分析，發(fā)現(xiàn)滑動無偏GM(1，1)與傳統(tǒng)的GM(1, 1)相比，最大絕對百分誤差從8.48%下降到了7%，平均絕對百分誤差從3.6%下降到了2.99%。故無偏GM(1,1)模型與傳統(tǒng)的GM(1,1)模型相比在精度方面有所提高。

運用馬爾科夫模型對滑動無偏GM(1，1)預測值進行修正，通過加權平均得出2017年第1季度客流量最終的預測值為6 687萬人。同理，用V0×P2對2017年第2季度客流量進行預測，為6 974萬人，用V0×P3對2017年第3季度客流量進行預測，為7 191萬人。由此繪制滑動無偏灰色模型預測值和客流量原始值對比圖(見圖2)。

圖2 滑動無偏灰色馬爾科夫模型對客流量的預測

圖2給出了滑動無偏灰色模型對2號線客流量的預測，從圖2可知，地鐵客流量實際值圍繞灰色模型預測值上下波動，且波動幅度進一步縮小。整體上看用滑動無偏灰色模型比傳統(tǒng)灰色預測模型更為貼近現(xiàn)實值，驗證了滑動無偏灰色模型的優(yōu)越性；將2014年第三季度到2016年第四季度的數(shù)據(jù)當作己知數(shù)據(jù)，用滑動無偏灰色馬爾科夫預測模型分別對2017年前3個季度的客流量進行預測，從圖中得出馬爾科夫模型修正后的滑動無偏灰色GM(1，1)模型，精度進一步提高，能夠準確預測，與實際值的誤差降到最低。

2.3 馬爾科夫模型與滑動無偏馬爾科夫模型比較

將地鐵客流量原始值、馬爾科夫模型預測值和滑動無偏馬爾科夫模型預測值建立比較圖(見圖3)。

圖3 兩種預測值與實際值的比較

從圖3可以看出，利用滑動無偏灰色馬爾科夫模型得到的擬合曲線更接近于原始曲線，比灰色馬爾科夫模型擬合的曲線效果要好，更傾向于實際數(shù)據(jù)。

對比2017年3個季度的灰色馬爾科夫模型、滑動無偏灰色馬爾科夫模型兩個模型的評定標準:最大絕對百分誤差(MaxAPE),平均絕對誤差(MAE)，平均絕對百分誤差(MAEP)(見表6)。

表6 預測方法的誤差對比

從圖3和表6可知，經過滑動無偏灰色馬爾科夫模型優(yōu)化后的3種誤差均有所下降，預測精度提高，驗證了滑動無偏灰色馬爾科夫預測模型在地鐵客流量預測中的適用性。

3 結 語

本文將滑動平滑法和無偏GM(1，1)方法結合，對原始的灰色GM(1，1)進行改進，應用于地鐵客流量的預測，構建了滑動無偏灰色馬爾科夫預測模型對地鐵客流量預測模型，并與原始的灰色馬爾科夫預測模型進行預測效果比較。利用模型對西安地鐵二號線客流量進行預測，并與原始的灰色馬爾科夫預測模型進行預測效果比較。實驗結果表明，滑動無偏灰色馬爾科夫預測模型的預測精度均較高，最大絕對百分誤差(MaxAPE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分誤差(MAEP)均比原始的灰色馬爾科夫模型預測結果有了一定的提升，驗證了滑動無偏灰色馬爾科夫預測模型在地鐵客流量預測上的適用性。