盧月莉，趙恒明，覃榮存

(廣西大學行健文理學院， 南寧 530004)

延期支付是一種短期的商業(yè)信貸方式，也稱為信用支付，已被廣泛應用于商業(yè)貿(mào)易活動中。許多企業(yè)為了加速資金周轉(zhuǎn)、及時收回貨款、減少壞賬損失，在提供信用支付策略的同時，往往采取一些優(yōu)惠措施。若零售商承諾在更短的時間內(nèi)付款，則供應商對貨款給予一定的現(xiàn)金折扣，這不僅對零售商的購買數(shù)量及付款時間具有積極的影響，還可以促進雙方建立起長期的合作關系。

文獻[1]首先提出了允許延期支付的經(jīng)濟訂購批量模型，隨后許多文獻從多方面對該模型進行了擴展。文獻[2]在延期支付和價格折扣策略下，從供應商的角度研究有條件的延期支付策略設置問題。文獻[3]基于兩級信用支付研究了一個由單供應商和多個零售商組成的易腐品供應鏈的聯(lián)合采購博弈問題。文獻[4]基于兩層次和等級信用支付策略研究了變質(zhì)性產(chǎn)品的庫存模型。文獻[5]在考慮零售商風險偏好的情況下，研究了商業(yè)信用合同與收益共享契約組合下的供應鏈協(xié)調(diào)問題。一些文獻在信用支付基礎上結(jié)合現(xiàn)金折扣策略進行了拓展[6-12]。例如：文獻[6]考慮了零售商采購價格與銷售價格的差異；文獻[7]對一般產(chǎn)品考慮了非瞬時補貨的情形;文獻[8]對變質(zhì)產(chǎn)品考慮非瞬時補貨的情況; 文獻[9] 研究了幾類確定性需求的產(chǎn)品的庫存問題；文獻[10]考慮了變質(zhì)產(chǎn)品且需求依賴庫存的情形；文獻[11]研究了易腐產(chǎn)品的供應鏈一體化庫存模型; 文獻[12]在兩貨棧情形下研究了變質(zhì)產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨策略。上述文獻都是在產(chǎn)品需求為確定性的基礎上進行的研究。

傳統(tǒng)的庫存問題研究通常把產(chǎn)品的需求作為外因，假設需求率為常數(shù)。然而，現(xiàn)實中許多產(chǎn)品的需求率并非固定不變，產(chǎn)品的市場需求可能會受到時間[13-16]、價格[17-18]、庫存水平[19-20]等因素的影響。因此，研究需求受隨機因素影響，供應商給予信用支付和現(xiàn)金折扣政策下的零售商最優(yōu)訂貨策略更具有現(xiàn)實意義。本文在文獻[9]的基礎上，修正有關的研究假設，建立了供應商提供信用支付與現(xiàn)金折扣及考慮產(chǎn)品需求受隨機因素影響下的零售商庫存決策模型，并給出零售商在上述情況下的最優(yōu)訂購量和最優(yōu)付款時間的計算方法。

1 假設與符號

本文所研究的供應鏈系統(tǒng)由一個零售商和一個供應商所構成，零售商在供應商給予的延期支付和現(xiàn)金折扣策略下決定最優(yōu)的訂購策略。為了便于建立模型，本文給出如下假設：

1) 庫存系統(tǒng)只考慮單一產(chǎn)品，允許缺貨。

2) 累積需求函數(shù)D(t)=α(t)+X，其中α(t)是關于時間t的函數(shù)且初始時刻α(0)=0；X是概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(X)和F(X)的隨機變量，且其數(shù)學期望E[X]=0。

3) 由于需求的不確定性，將采用經(jīng)典報童問題的方法處理周期末可能會出現(xiàn)的產(chǎn)品剩余或缺貨情況，即剩余產(chǎn)品將折價處理，而缺貨會引起缺貨懲罰。

4) 供應商給予不同的信用支付和現(xiàn)金折扣策略供零售商選擇，零售商在信用期內(nèi)無需支付任何貨款，可利用累積的銷售收入獲得利息收益，而信用期結(jié)束時，零售商要立即向供應商支付所有貨款，其未售出產(chǎn)品會因占用資金而產(chǎn)生利息支出。

模型所用的符號：Q為一個周期的訂購量；T為訂購周期；M為供應商給予零售商的延期支付期限；c為單位產(chǎn)品訂購成本；p為單位產(chǎn)品銷售價格；b為單位產(chǎn)品缺貨費；g(g

2 模型的建立

本文考慮文獻[9] 給出的訂購策略：

(1)

其中：cr是單位產(chǎn)品的最高訂購價；Mi和δi一般由供應商根據(jù)歷史經(jīng)驗制定。當M>M3時，c→∞，即供應商不提供過長的信用期，避免帶來不可預見的風險。

基于上述分析與假設，零售商的利潤=銷售收入+殘值+利息收益-訂購費-缺貨費-利息支付，各項計算如下：

① 訂購費=cQ；

② 銷售收入=pmin{Q，D(T)}；

③ 殘值=g[Q-D(T)]+；

④ 缺貨費=b[D(T)-Q]+；

⑤ 利息支付與利息收益和M與T的大小有關，分以下兩種情形討論：

情形1M

TP1(Q)=pmin{Q，D(T)}-cQ+

g[Q-D(T)]+-b[D(T)-Q]++

情形2M≥T

為了得到零售商的期望利潤函數(shù)，首先根據(jù)需求函數(shù)D(t)=α(t)+X算出如下數(shù)學期望：

因此，當M

當M≥T時，零售商的期望利潤為

其中i=1，2，3，M∈{M1，M2，M3}。

庫存系統(tǒng)的目標是決策最優(yōu)的訂購量Q*使期望利潤函數(shù)EP(Q)取得最大值，其中

3 模型分析與求解

為了方便討論，令θ1=p-c+b+pIeM，θ2=p-g+b+pIeM+cIp(T-M)，θ3=p-g+b+pIeM。

情形1M

分別求EP1i(Q)的1階和2階導數(shù)，得：

(p-g+b)F(Q-α(T))-

證明由于α(t)是增函數(shù)且t≤T，則α(t)≤α(T)，而分布函數(shù)F(X)也是增函數(shù)，則

情形2M≥T

同理，分別求EP2i(Q)的1階和2階導數(shù)，得:

(p-g+b)F(Q-α(T))-

(M-T)F(Q-α(T))]

證明由于α(t)是增函數(shù)且t≤T，則α(t)≤α(T)，而分布函數(shù)F(X)也是增函數(shù)，則

現(xiàn)在討論零售商的最優(yōu)訂購策略，即求解模型的算法：

步驟0 輸入相應各參數(shù)。

4 數(shù)值實例

下面將通過數(shù)值例子和靈敏度分析的方法介紹最優(yōu)訂購策略的求解過程，并分析不同參數(shù)變化對最優(yōu)訂購策略的影響。

例1 不同信用支付與現(xiàn)金折扣策略下的最優(yōu)解。

當供應商分別提供兩種不同的信用支付與現(xiàn)金折扣策略，而其他參數(shù)不變時，各種情形下的最優(yōu)解如表1所示，比較得到零售商的最優(yōu)訂購方案分別為{EP11=4 769.78，Q*=142.71，M*=60/360}和{EP12=4 679.70，Q*=141.74，M*=120/360}。結(jié)果表明：不同的訂購策略對期望利潤的影響較為顯著。一般來說，當供應商提供的現(xiàn)金折扣較高時，零售商選擇較短的信用期所獲利潤更大。

表1 不同信用支付與現(xiàn)金折扣策略下的最優(yōu)解

例2 需求的隨機因子對訂購策略的影響。

假設δ1=15%，δ2=10%，δ3=0%，其他參數(shù)與例1相同。當隨機變量分布在不同范圍時，最佳付款時間點為M*=M2=120/360，最優(yōu)訂購量與最優(yōu)期望利潤如表2所示。

表2 X對Q*和EP(Q*)的影響

從表2可知：當隨機變量分布區(qū)間變大時，最優(yōu)訂購量變大，而最優(yōu)期望利潤變小。這說明，當產(chǎn)品的需求受到隨機因素影響較為顯著時，為了避免缺貨帶來如服務水平降低、缺貨損失銷售機會等不良影響，零售商需訂購更多的產(chǎn)品來滿足需求。而需求的不確定性會導致周期末出現(xiàn)產(chǎn)品剩余(折價處理)或缺貨(產(chǎn)生缺貨懲罰)，因此期望利潤會變小。由此可見：需求的不確定性對產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的影響不可忽視。

例3 缺貨費和產(chǎn)品殘值對訂購策略的影響。

為了得到更顯著的結(jié)果，假設X～U[-100，100]，其他參數(shù)不變。計算得最佳付款時間點都是M*=M1=60/360年，而最優(yōu)訂購量與最優(yōu)期望利潤分別見表3、4。

表3 b對Q*和EP(Q*)的影響

表4 g對Q*和EP(Q*)的影響

從表3可以看出： 在隨機變量的分布范圍較大的情況下，當單位缺貨費變大時，最優(yōu)訂購量和期望利潤都只有微小變化，說明單位缺貨費對最優(yōu)訂購量和期望利潤的影響不大，零售商應該考慮訂購更多的產(chǎn)品來滿足需求，避免出現(xiàn)缺貨，從而提高服務水平。

由表4可知：當單位商品殘值變大時，最優(yōu)訂購量和期望利潤都逐漸變大。這是因為當單位商品殘值變大時，缺貨對期望利潤的影響較小，一方面，若需求變大則銷售收入變大，從而利息收益變大；另一方面，若供過于求導致周期末產(chǎn)品有剩余，還有殘值收入，此時零售商可以考慮訂購更多的產(chǎn)品獲得更大的利潤。

5 結(jié)束語

供應商在給予零售商信用支付的同時，為了盡早收回貨款，加速資金周轉(zhuǎn)或減少壞賬損失，往往會結(jié)合現(xiàn)金折扣來吸引零售商盡早支付貨款。在現(xiàn)實生活中，產(chǎn)品的市場需求受到各種隨機因素的影響，并非是固定不變的，具有一定的不確定性。因此，本文在考慮信用支付與現(xiàn)金折扣的基礎上，考慮產(chǎn)品需求受隨機因素影響的情形，建立了相應的零售商庫存決策模型，使模型更接近實際情況，得到最優(yōu)訂購量和最優(yōu)付款時間的計算方法，為零售商及時根據(jù)實際情況調(diào)整自己的訂貨策略提供了決策依據(jù)。