張志會(huì)

(武昌工學(xué)院,湖北 武漢 430065)

一元函數(shù)的微積分，所討論的均是單變量函數(shù)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，僅知道變量間的函數(shù)關(guān)系是不夠的，有時(shí)還需要知道變量變化的快慢程度。例如，物體運(yùn)動(dòng)的速度，城市人口增長(zhǎng)速度等。因此為了準(zhǔn)確地說(shuō)明這些問(wèn)題，就引入導(dǎo)數(shù)的概念。數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué)，研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué)。微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué)。微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)。微分學(xué)是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分，其中導(dǎo)數(shù)反映出函數(shù)相對(duì)于自變量的變化而變化的快慢程度，而微分則指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)值變化的近似值。本文主要闡述了在計(jì)算一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，討論計(jì)算一元函數(shù)的多種導(dǎo)數(shù)的方法。

例1設(shè)y=e-x，求y′

解令u=-x，則y=eu，從而

=eu(-1)=-e-x.

即 (e-x)′=-e-x.

=15x2(x3-2)4．

對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程能正確掌握后，可以不必寫(xiě)出中間變量，只要記住復(fù)合過(guò)程，就可進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.

例3設(shè)y=arc sin[2cos(x-1)],求y′

解y′={arc sin[2cos(x-1)]}′

解由于ey可看作是以y為中間變量的復(fù)合函數(shù)，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

y+xy′-ex+ey·y′=0

為求y′|x=0，先把x=0代入方程xy-ex+ey=0得y(0)=0

在計(jì)算冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及某些乘冪、連乘積、帶根號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以采用先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)的方法，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

解先在兩邊取對(duì)數(shù)，得

lny=2ln(x2+2)-ln(x4+1)-ln(x2+1).

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得

即

例7求y=xsin x(x>0)的導(dǎo)數(shù)

解兩邊取對(duì)數(shù)得lny=sinxlnx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得