東潤(rùn)澤, 郭 英,2, 張坤峰, 楊銀松

(1. 空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院, 陜西 西安 710077; 2. 通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 河北 石家莊 050081)

0 引 言

跳頻通信的偵察主要分為跳頻信號(hào)檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)和網(wǎng)臺(tái)分選3個(gè)部分[1-3],其中跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)是對(duì)敵方跳頻網(wǎng)臺(tái)進(jìn)行干擾的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。近年來(lái)針對(duì)多跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)主要包括時(shí)頻分析[4-5]、稀疏重構(gòu)[6-8]和原子分解[9-11]3種方法。時(shí)頻分析方法通過(guò)得到清晰穩(wěn)健的時(shí)頻圖然后實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的估計(jì),雖然一些改進(jìn)的時(shí)頻分布能抑制交叉項(xiàng)從而得到更加清晰的時(shí)頻圖,但是該方法依然存在對(duì)噪聲敏感、跳頻參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]通過(guò)在空間頻率域構(gòu)建超完備稀疏字典,利用稀疏貝葉斯重構(gòu)信號(hào)完成頻率參數(shù)估計(jì),但未考慮頻率不在字典網(wǎng)格上的情況。文獻(xiàn)[7]通過(guò)稀疏重構(gòu)來(lái)獲取高聚集度的時(shí)頻圖,但只適用于在已知頻率集中的信號(hào)。原子分解算法是通過(guò)構(gòu)建原子字典來(lái)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行表示,進(jìn)而利用匹配跟蹤(matching pursuit, MP)算法完成對(duì)跳頻信號(hào)參數(shù)的估計(jì),但是構(gòu)造的原子字典是離散的,信號(hào)的參數(shù)空間卻是連續(xù)的,在不知道信號(hào)先驗(yàn)信息的情況下很難構(gòu)造出匹配的原子字典[12]。文獻(xiàn)[13-14]提出一種基于稀疏線性回歸(sparse linear regression, SLR)的參數(shù)估計(jì)方法,在低信噪比情況下能獲得清晰的時(shí)頻圖,但在處理多跳頻信號(hào)時(shí)信號(hào)配對(duì)存在困難。文獻(xiàn)[15]針對(duì)有限網(wǎng)格與實(shí)際信號(hào)連續(xù)的參數(shù)之間存在的不匹配問(wèn)題提出一種無(wú)網(wǎng)格壓縮感知的方法,該方法思路新穎,在信號(hào)去噪[16-17]、波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)[18-20]和雷達(dá)成像[21-22]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

綜上所述,目前對(duì)多跳頻信號(hào)的參數(shù)估計(jì)主要是將信號(hào)的連續(xù)參數(shù)空間進(jìn)行離散化,然后構(gòu)建有限字典來(lái)對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行表示,并未考慮字典和信號(hào)不匹配的情況。針對(duì)該問(wèn)題,本文在文獻(xiàn)[17]基礎(chǔ)上,利用跳頻信號(hào)在時(shí)頻域的稀疏性構(gòu)造可以描述連續(xù)變量的無(wú)限原子集合,通過(guò)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行重疊劃分建立每段信號(hào)的原子范數(shù)最小化模型,通過(guò)求解其對(duì)偶問(wèn)題完成對(duì)每段信號(hào)的估計(jì),利用對(duì)偶多項(xiàng)式完成對(duì)每個(gè)分段信號(hào)的頻率估計(jì),再把每個(gè)分段信號(hào)內(nèi)存在的頻率合起來(lái)得到跳頻信號(hào)頻率集的估計(jì),并通過(guò)統(tǒng)計(jì)各個(gè)分段內(nèi)頻率分量的數(shù)目完成跳變時(shí)刻的檢測(cè)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 跳頻信號(hào)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在觀測(cè)時(shí)間(0,T]內(nèi)共有N個(gè)跳頻信號(hào),則接收信號(hào)可表示為

(1)

式中,sn(t)表示第n個(gè)跳頻信號(hào);cn表示第n個(gè)跳頻信號(hào)的幅度;v(t)表示均值為零,方差為σ2的高斯白噪聲。設(shè)第n個(gè)跳頻信號(hào)sn(t)的跳周期為Tn,在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)共有K個(gè)完整跳,第k(k=1,…,K)個(gè)完整跳的中心頻率為fn k,初相為φn k,最開(kāi)始非完整跳的持續(xù)時(shí)間為Δtn 0,中心頻率為fn 0,初相為φn 0,則sn(t)可表示為

(2)

式中,rect(t)表示單位矩形脈沖函數(shù),0

,m∈(0,M]

(3)

1.2 原子范數(shù)及其對(duì)偶范數(shù)

定義A為一個(gè)原子集合,假設(shè)A中的任一原子a不在其他原子構(gòu)成的凸包c(diǎn)onv(Aa)內(nèi),且凸包c(diǎn)onv(A)是以原點(diǎn)為中心成中心對(duì)稱的,即A中的原子都是凸包c(diǎn)onv(A)的極值點(diǎn),a∈A當(dāng)且僅當(dāng)-a∈A,則原子范數(shù)‖·‖A定義[23]為

‖x‖A=inf{t> 0|x∈tconv(A)}=

(4)

≤1}=

sup{〈t,x〉|‖x‖A≤1}=sup{〈t,a〉|a∈A}

(5)

2 算法原理

2.1 原子范數(shù)最小化問(wèn)題

根據(jù)跳頻信號(hào)在時(shí)頻域具有的稀疏性,首先定義原子集A中的原子[15]為

[a(f,φ)]h=ej2π(hf+φ),a(f,φ)∈CH

(6)

式中,f∈[0,1]表示歸一化頻率；h∈(0,H]表示A中的原子是H維的復(fù)向量；φ∈[0,2π),則原子集A={a(f,φ)|f∈[0,1],φ∈[0,2π)}。

跳頻信號(hào)具有在其持續(xù)時(shí)間內(nèi)頻率隨機(jī)跳變的特性,為了使接收到的跳頻信號(hào)能夠被A中的原子所表示,需要對(duì)其進(jìn)行等間隔劃分,將長(zhǎng)度為M的一段信號(hào)劃分為G段長(zhǎng)為H的信號(hào),每段之間重疊長(zhǎng)度為i,則有

(7)

將這G段信號(hào)按列組成觀測(cè)矩陣Y=[y1,y2,…,yG],Y∈CH×G如圖1所示。則式(3)可重寫為Y=S+V,其中，S和V分別代表原信號(hào)矩陣和高斯白噪聲矩陣,S=[s1,s2,…,sG],vg～N(0,σ2IH),vg∈V。

圖1 跳頻信號(hào)劃分示意圖Fig.1 Schematic diagram of frequency hopping signal division

(8)

將式(8)轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題為

τ‖sg‖A

(9)

式中,τ為正則化參數(shù)。

2.2 基于對(duì)偶范數(shù)的半定規(guī)劃問(wèn)題

根據(jù)文獻(xiàn)[17],原子范數(shù)最小化問(wèn)題(9)的對(duì)偶問(wèn)題為

(10)

,a(f,φ)〉=

(11)

(12)

(13)

u=[u1,u2,…,uN]

,tg〉

s.t.TH(Q)=e1

(14)

式(14)的對(duì)偶形式為

(15)

因此原子范數(shù)最小化問(wèn)題(9)等價(jià)于

(16)

2.3 基于對(duì)偶多項(xiàng)式的頻率定位

(17)

圖2給出了由截取的一段長(zhǎng)為64點(diǎn)的跳頻信號(hào)得到的對(duì)偶多項(xiàng)式的值,其縱軸以τ進(jìn)行歸一化,信噪比為10 dB。對(duì)每一段信號(hào)進(jìn)行頻率定位得到的頻率分量取并集,我們就得到了跳頻信號(hào)的頻率集。

圖2 基于對(duì)偶多項(xiàng)式的頻率定位Fig.2 Frequency localization based on dual polynomials

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)1

假設(shè)觀測(cè)時(shí)間T=5.12 ms,跳頻信號(hào)個(gè)數(shù)N=3,采樣率fs=200 kHz,采樣點(diǎn)數(shù)M=1 024,3個(gè)跳頻信號(hào)同步跳,頻率集分別為[108,20,46,134]kHz、[46,130,96,160]kHz和[140,72,122,32]kHz,跳周期為1.28 ms,信噪比為10 dB。重疊劃分得到的每段信號(hào)長(zhǎng)為H=64,每段之間重疊i=32,則共有G=31段信號(hào)。對(duì)每一段信號(hào)分別進(jìn)行頻率定位,每一段信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻率分量個(gè)數(shù)如圖3所示。

圖3 各段信號(hào)包含的頻率分量個(gè)數(shù)Fig.3 Number of frequency components contained ineach segment of the signal

對(duì)所有分段信號(hào)的頻率分量個(gè)數(shù)求平均,我們認(rèn)為頻率分量個(gè)數(shù)大于平均數(shù)的分段信號(hào)包含了跳變時(shí)刻,即第8,16和24段,取每一段的中心點(diǎn)為跳變時(shí)刻點(diǎn),分別為第256,512,768。然后以檢測(cè)出的跳變時(shí)刻點(diǎn)為邊界,重新劃分接收信號(hào)為4段,再進(jìn)行頻率定位,得到的時(shí)頻圖如圖4所示。

圖4 多跳頻信號(hào)同步跳時(shí)頻圖Fig.4 Time frequency diagram for synchronous multiplefrequency hopping signals

3.2 實(shí)驗(yàn)2

設(shè)置3個(gè)跳頻信號(hào)異步跳,頻率集分別為[60,128,78]kHz、[154,180,104,40,162]kHz和[92,70,104,154,66,126,104]kHz,跳周期分別為2.33 ms、1.28 ms和1.04 ms,每個(gè)跳頻信號(hào)第一跳的持續(xù)時(shí)間分別為275、153和155個(gè)采樣點(diǎn)數(shù),其他條件和信號(hào)劃分方式同實(shí)驗(yàn)1,得到的時(shí)頻圖如圖5所示。

3.3 實(shí)驗(yàn)3

為驗(yàn)證噪聲對(duì)本文算法估計(jì)跳頻頻率的影響,設(shè)定信噪比從0 dB以1 dB為步長(zhǎng)遞增至10 dB,跳頻信號(hào)個(gè)數(shù)N分別取2和3,其他條件和信號(hào)劃分方式同實(shí)驗(yàn)1,取第一段長(zhǎng)為64點(diǎn)的信號(hào),在每個(gè)信噪比下進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),圖6給出了歸一化頻率的MSE隨信噪比變化的曲線?？梢钥闯?本文算法對(duì)跳頻信號(hào)頻率的估計(jì)性能隨著信噪比的增大而提高,當(dāng)信噪比大于0 dB時(shí),頻率估計(jì)的MSE低于200 Hz。與文獻(xiàn)[6]稀疏重構(gòu)算法相比,本文算法的誤差降低了一個(gè)數(shù)量級(jí),與文獻(xiàn)[10]原子分解算法相比,本文算法在相同信噪比下具有更好的估計(jì)性能。

圖5 多跳頻信號(hào)異步跳時(shí)頻圖Fig.5 Time frequency diagram for asynchronous multiplefrequency hopping signals

圖6 頻率估計(jì)均方誤差隨信噪比的變化Fig.6 Change of mean square error with signal to noiseratio of frequency estimation

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)的基字典不匹配問(wèn)題出發(fā),提出了一種基于原子范數(shù)的多跳頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法。該方法與以往方法相比不需要預(yù)先設(shè)定基字典,能夠直接獲得信號(hào)的頻率集,而不是從跳頻圖案中對(duì)頻率集進(jìn)行估計(jì),在低信噪比下具有良好的估計(jì)性能。