王 月, 何 真, 張建蘭, 袁 亮, 陸宇平

(1. 南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 航空機(jī)電系統(tǒng)綜合航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 211106)

0 引 言

與旋翼機(jī)相比,小型固定翼無人機(jī)在續(xù)航能力、飛行范圍以及巡航速度等方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。但旋翼機(jī)可以做到垂直起落,而固定翼無人機(jī)一般通過滑行減速、撞網(wǎng)和傘落等方式進(jìn)行降落。這幾種降落方式有場(chǎng)地空間需求大、地面輔助降落裝置復(fù)雜和落點(diǎn)不確定等缺點(diǎn),限制了固定翼無人機(jī)的應(yīng)用場(chǎng)合。人類從鳥類棲落過程中發(fā)現(xiàn)了靈感,如果固定翼無人機(jī)能像鳥類那樣實(shí)現(xiàn)棲落,就能突破固定翼飛行器降落條件的限制,從而擴(kuò)大固定翼無人機(jī)的應(yīng)用場(chǎng)合。我們觀察金雕的棲落過程,金雕在接近目標(biāo)的前一刻,迅速拉起身體、張開翅膀并且雙腿前伸,這一套動(dòng)作使金雕的飛行狀態(tài)從平飛進(jìn)入過失速狀態(tài),迅速減速并且實(shí)現(xiàn)精確棲落,整套動(dòng)作敏捷而精準(zhǔn)。固定翼無人機(jī)如果能模仿鳥類的棲落機(jī)動(dòng)[1-5],利用大迎角產(chǎn)生的高阻力快速減速并實(shí)現(xiàn)精確地棲落,那么飛行器就可以隨時(shí)隨地棲落,這樣無人機(jī)就能提高續(xù)航能力和提升作戰(zhàn)性能。因此,棲落機(jī)動(dòng)的研究具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

近年來,固定翼無人飛行器的棲落機(jī)動(dòng)得到了越來越多的關(guān)注。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種小型滑翔機(jī),用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了固定翼飛行器棲落在電線上的可能性。文獻(xiàn)[7]研究了變體無人機(jī)棲落機(jī)動(dòng)縱向運(yùn)動(dòng)的多體動(dòng)力學(xué)建模與仿真問題,并分析了變體結(jié)構(gòu)對(duì)棲落機(jī)動(dòng)性能的作用。文獻(xiàn)[8]為棲落機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)了一種滑?？刂破?。

上述文獻(xiàn)主要討論了棲落機(jī)動(dòng)的軌跡控制器設(shè)計(jì),沒有探討所設(shè)計(jì)控制器的局部穩(wěn)定區(qū)域(即吸引域)的計(jì)算方法。對(duì)棲落機(jī)動(dòng)而言,計(jì)算吸引域一方面可以確定飛行器偏離參考軌跡的容許范圍,另一方面可以保證容許范圍內(nèi)的飛行器能夠在有限時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地棲落在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)。因此,吸引域計(jì)算對(duì)棲落機(jī)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)具有重要的意義。近年來,對(duì)局部穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)計(jì)算吸引域的問題得到了學(xué)術(shù)界的關(guān)注。文獻(xiàn)[9]利用線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)凸優(yōu)化方法計(jì)算了Lyapunov函數(shù),解決了光滑非線性系統(tǒng)的吸引域計(jì)算問題。文獻(xiàn)[10]提出運(yùn)用平方和(sum-of-squares, SOS)的方法計(jì)算局部穩(wěn)定系統(tǒng)的吸引域。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用基于仿真的方法計(jì)算局部穩(wěn)定的系統(tǒng)的吸引域。與平方和最優(yōu)化算法相比,這種方法更簡單更直接,并且不要求系統(tǒng)模型是多項(xiàng)式形式,但是這種方法計(jì)算量大,效率較低。以SOS方法為基礎(chǔ),文獻(xiàn)[12]提出了一種固定翼飛行器棲落機(jī)動(dòng)控制器綜合設(shè)計(jì)方法——LQR-Trees控制方法,并探討了該方法的魯棒性。

本文針對(duì)固定翼無人機(jī)棲落過程的非線性特性,以切換控制理論為基礎(chǔ)展開了棲落機(jī)動(dòng)軌跡控制研究,并針對(duì)所設(shè)計(jì)的棲落機(jī)動(dòng)切換控制律,設(shè)計(jì)了相應(yīng)的SOS優(yōu)化算法,計(jì)算了吸引域。首先沿著參考軌跡將棲落機(jī)動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型線性化,構(gòu)造出分段線性模型;然后結(jié)合最優(yōu)控制理論與切換控制理論,對(duì)分段線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)切換控制律。隨后針對(duì)所設(shè)計(jì)的棲落軌跡跟蹤切換控制律,改進(jìn)設(shè)計(jì)了SOS優(yōu)化算法以計(jì)算棲落軌跡吸引域Ω。這樣,只要系統(tǒng)的狀態(tài)量X∈Ω,則在所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器的作用下,飛行器能夠準(zhǔn)確地棲落在目標(biāo)區(qū)域里。最后,對(duì)固定翼飛行器的棲落機(jī)動(dòng)控制過程進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 棲落機(jī)動(dòng)中飛行器的氣動(dòng)模型與動(dòng)力學(xué)模型

以發(fā)動(dòng)機(jī)的推力和升降舵的偏轉(zhuǎn)作為控制輸入。固定翼飛行機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中,V,μ,α,q分別表示飛行速度、航跡角、迎角和俯仰角速度;x和h分別表示飛行器的水平位置和高度;m是飛機(jī)的質(zhì)量;Iy是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;T是推力;L是升力;D是阻力;M是空氣動(dòng)力矩。

飛行器的縱向空氣動(dòng)力和力矩為

(2)

式中,CL、CD和CM分別是飛行器升力、阻力和力矩系數(shù);ρ是空氣密度;S是飛行器的空氣動(dòng)力表面積。

飛行器棲落過程中的空氣動(dòng)力學(xué)系數(shù)由平板模型方法[13-15]得到,升力和阻力系數(shù)可由式(3)逼近。

(3)

俯仰力矩系數(shù)為

.8cosαsin(2α+2δe)+

1.4sinαsin2(α+δe)+0.1sinα)

(4)

式中,Se為升降舵的空氣動(dòng)力表面積;δe是升降舵偏轉(zhuǎn)角;le是升降舵空氣動(dòng)力重心到飛行器質(zhì)心的距離。

2 棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制律設(shè)計(jì)

飛行器棲落機(jī)動(dòng)是迎角大范圍變化的非常規(guī)機(jī)動(dòng)方式,因此需要設(shè)計(jì)控制器改善飛行器的棲落機(jī)動(dòng)性能,保證飛行穩(wěn)定,并實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)棲落。在設(shè)計(jì)控制器之前,需要給定一條參考軌跡,優(yōu)先設(shè)計(jì)參考軌跡的目的是將飛行器定點(diǎn)棲落控制問題轉(zhuǎn)化為軌跡跟蹤問題。參考軌跡可以利用GPOPS工具箱進(jìn)行設(shè)計(jì)[16-17]。本小節(jié)主要對(duì)原非線性動(dòng)力學(xué)模型作線性化處理,并且結(jié)合最優(yōu)控制與切換控制對(duì)處理后的線性切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器。

2.1 分段線性化模型

設(shè)飛行器棲落機(jī)動(dòng)非線性模型為

,u)

(5)

針對(duì)非線性模型(5),應(yīng)用GPOPS工具箱優(yōu)化得到參考軌跡,記為(Xr,ur)。Xr與ur滿足飛行器棲落動(dòng)力學(xué)模型(5),即Xr=f(Xr,ur),其中Xr=[vr,μr,αr,qr,xr,hr]T為狀態(tài)變量參考軌跡,ur=[Tr,δer]T為與狀態(tài)變量參考軌跡Xr相對(duì)應(yīng)的參考輸入(在不引起混淆的情況下,本文將ur稱為參考輸入)。

將非線性模型(5)沿著參考軌跡(Xr,ur)進(jìn)行泰勒展開,具體形式為

Ar(t)(X-Xr)+Br(t)(u-ur)+Ο=

Ar(t)ΔX+Br(t)Δu+Ο

(6)

為了得到Ar(t)與Br(t)的具體表達(dá)式,并且減輕計(jì)算量。定義[t0,tf]為整個(gè)棲落機(jī)動(dòng)的時(shí)間范圍,在整個(gè)棲落過程中均勻地取N個(gè)時(shí)刻點(diǎn)。在每個(gè)時(shí)刻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參考軌跡上的參考點(diǎn)附近,對(duì)棲落系統(tǒng)的非線性模型(1)進(jìn)行線性化。例如,在ti時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的參考軌跡中的參考點(diǎn)附近進(jìn)行線性化,計(jì)算得到線性化模型為

(7)

那么在整個(gè)棲落機(jī)動(dòng)的時(shí)間范圍[t0,tf],棲落機(jī)動(dòng)的線性時(shí)變模型為

(8)

(9)

則式(8)為棲落機(jī)動(dòng)的分段線性化模型。

接下來設(shè)計(jì)切換系統(tǒng)跟蹤參考軌跡的切換控制律。

2.2 切換控制律設(shè)計(jì)

直接設(shè)計(jì)切換系統(tǒng)控制律的工作復(fù)雜,可以從切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)入手,設(shè)計(jì)每一個(gè)子系統(tǒng)的最優(yōu)控制律,這種方法大大降低了工作難度。因此,可以借鑒線性時(shí)不變(linear time invariant,LTI)系統(tǒng)的最優(yōu)控制律理論,對(duì)切換子系統(tǒng)設(shè)計(jì)軌跡跟蹤切換控制律。令(tf-t0)/2N=Δt,在ti-Δt時(shí)刻,式(8)描述的切換系統(tǒng)切換到子系統(tǒng)為

(10)

針對(duì)式(10)描述的線性系統(tǒng),需要尋找一個(gè)最優(yōu)的控制uc,使得X能跟蹤上Xr。為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo),引入關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)和控制參量的二次型性能指標(biāo)，即

ΔuTRΔu+ΔXTQΔX)dt

(11)

設(shè)計(jì)控制律使J取極小值,其中R和Q是根據(jù)設(shè)計(jì)要求選定的權(quán)重矩陣,一般取對(duì)角常值矩陣。這是典型的線性二次型問題,設(shè)計(jì)系統(tǒng)的線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator, LQR)。

為了計(jì)算滿足條件的控制輸入u*(t),引入哈密頓函數(shù)，即

λ(t)TAiΔX(t)+λ(t)TBiΔu(t)

(12)

根據(jù)駐值條件

(13)

得

(14)

由正則方程得

(15)

(16)

令協(xié)態(tài)方程(16)的解為

λ(t)=SiΔX(t), ?t∈[t0,tf]

(17)

式中,Si待定。結(jié)合式(14)～式(17),得Si應(yīng)滿足矩陣方程,即黎卡提方程

(18)

設(shè)計(jì)最優(yōu)控制輸入為

u*(t)=kiΔX(t)

(19)

其中控制增益為

ki=-R-1BiSi

(20)

以上設(shè)計(jì)了切換系統(tǒng)中每一個(gè)子系統(tǒng)的最優(yōu)控制律,在此控制器作用下,每一個(gè)子系統(tǒng)穩(wěn)定并且狀態(tài)量能收斂至參考點(diǎn)。然而,每一個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定并不能保證整個(gè)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定,因此需要分析整個(gè)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于子系統(tǒng)的穩(wěn)定性,還與切換規(guī)則息息相關(guān)。根據(jù)棲落機(jī)動(dòng)的分段線性化過程可知其切換規(guī)則是受約束的,因此本節(jié)分析受約束作用下切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)受約束作用下切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法主要包括:分段連續(xù)二次Lyapunov函數(shù)法(piecewise quadratic lyapunov function,PQLF)[18-19],類Lyapunov函數(shù)法[20],多重Lyapunov函數(shù)法(multiple lyapunov functions,MLFs)[21-22]。本文參考類Lyapunov函數(shù)法分析切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)于線性切換系統(tǒng)的N個(gè)子系統(tǒng),如果能找到每一個(gè)線性子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Lyapnov函數(shù),并且滿足切換前時(shí)刻的Lyapunov函數(shù)值不小于切換后時(shí)刻的Lyapunov函數(shù)值這一條件,那么對(duì)應(yīng)的線性切換系統(tǒng)全局穩(wěn)定。因此,如果能找到式(10)描述的線性切換子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)Vi(ΔX)=ΔXTPiΔX,滿足

(Ai+Biki)TPi+Pi(Ai+Biki)≤-Qi

(21)

Pi-1≥Pi

(22)

式中,Pi和Qi是正定對(duì)稱矩陣。那么滿足式(21)、式(22)的控制律ki(由式(20)得到)就是能保證切換系統(tǒng)穩(wěn)定的子系統(tǒng)切換控制律。

在計(jì)算ki時(shí),先根據(jù)式(20)確定ki,再由式(21)與式(22)核算此ki是否滿足切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求。如果不滿足,則調(diào)整式(18)中的權(quán)值Q與R,再次核算在此權(quán)值計(jì)算出的最優(yōu)控制律ki是否滿足式(21)與式(22)。直到找到滿足式(21)、式(22)與式(20)的控制律ki。

同理,可分別計(jì)算出整個(gè)時(shí)間歷程N(yùn)個(gè)切換子系統(tǒng)的控制律ki。則整個(gè)時(shí)間歷程的切換控制律的形式為

(23)

3 棲落軌跡跟蹤控制律的吸引域計(jì)算

系統(tǒng)的吸引域即為系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域。第2節(jié)設(shè)計(jì)了棲落軌跡跟蹤控制器。此控制器是根據(jù)分段線性近似模型設(shè)計(jì)得到的,因此該控制器只能保證分段線性系統(tǒng)(8)全局穩(wěn)定,而在此控制作用下的閉環(huán)非線性棲落系統(tǒng)是局部穩(wěn)定的,因此分析系統(tǒng)的吸引域是重要問題。本小節(jié)運(yùn)用SOS最優(yōu)化方法[23-24]計(jì)算該閉環(huán)非線性棲落系統(tǒng)的吸引域Ω。即計(jì)算參考軌跡附近的特定區(qū)域Ω,當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)量X∈Ω時(shí),則在所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器作用下,飛行器最終能棲落在目標(biāo)落點(diǎn)區(qū)域Ωf里。下面在第3.1節(jié)介紹切換控制的軌跡吸引域的計(jì)算方法;為了降低SOSTOOLS[25-26]計(jì)算軌跡吸引域的難度,提高準(zhǔn)確度,第3.2節(jié)提出了計(jì)算棲落軌跡吸引域的一種降保守性的方法;第3.3節(jié)引入了基于質(zhì)點(diǎn)模型計(jì)算吸引域的方法。

3.1 棲落軌跡吸引域算法

為了描述沿著參考軌跡的吸引域,我們定義時(shí)變區(qū)域?yàn)?/p>

(24)

(25)

式中,Ωf表示棲落終點(diǎn)的目標(biāo)范圍。則此時(shí)的Ω(ρ,t)即為所求吸引域。

Ωf的具體定義為

(26)

式中,ρf是根據(jù)棲落終點(diǎn)的容許誤差范圍人為設(shè)定的。

為了保證條件(25)成立,需要滿足

(27)

,ti)≤ρ(ti)

(28)

同樣,如果系統(tǒng)在整個(gè)棲落時(shí)間[t0,tf]都滿足上述條件,那么式(24)表示的Ω(ρ,t)就是棲落系統(tǒng)在參考軌跡附近的吸引域,吸引域計(jì)算過程整理成為

(29)

為了將非線性系統(tǒng)(1)的軌跡吸引域求解條件轉(zhuǎn)化為SOS形式,先將式(29)表示的條件轉(zhuǎn)化為

(30)

進(jìn)而,條件(30)等價(jià)于

(31)

為了將條件(31)轉(zhuǎn)化為SOS最優(yōu)化問題,給出引理1。

引理1[27-28]給定多項(xiàng)式集{f1,…,fs},{g1,…,gt},{h1,…,hu}∈Rn,下面的兩個(gè)條件是等價(jià)的:

(2) 存在多項(xiàng)式f∈p{f1,…,fs},g∈M{g1,…,gt},h∈I{h1,…,hu}滿足f+g2+h=0,其中,Rn表示所有實(shí)數(shù)域上n元多項(xiàng)式的集合。

再根據(jù)引理1,條件(31)可轉(zhuǎn)化為

(32)

式中,s1,s3∈Σ，Σ表示平方和多項(xiàng)式。取s3=1,將條件(32)簡化,得到SOS最優(yōu)化算法為

(33)

由于并不是所有的非負(fù)多項(xiàng)式都能用平方和的形式表示,因此算法(33)是算法(32)的充分條件。

因?yàn)镾OS最優(yōu)化方法適用于多項(xiàng)式系統(tǒng),所以我們需要對(duì)式(1)中的f(X)進(jìn)行泰勒展開,用泰勒展開的多項(xiàng)式系統(tǒng)去估計(jì)原非線性系統(tǒng)。

考慮算法(33)中的表達(dá)式為

(34)

式中,s2的系數(shù)是變量;ρ(t)是與t相關(guān)的變量。而SOS最優(yōu)化方法要求約束條件中的未知量之間是線性關(guān)系,所以將算法(33)轉(zhuǎn)化為

(35)

為了簡化問題,在計(jì)算吸引域時(shí),以時(shí)間取樣,將整個(gè)棲落時(shí)間[t0,tf]分為N段,比如計(jì)算時(shí)間范圍內(nèi)[tf-1-Δt,tf-1+Δt]的吸引域,將[tf-1-Δt,tf-1+Δt]范圍內(nèi)的ρf-1(t)用線性形式估計(jì)。因?yàn)棣裦是由棲落終點(diǎn)的容許誤差范圍而人為設(shè)定的,所以ρf已知。設(shè)在[tf-1+Δt,tf]這一段時(shí)間內(nèi),吸引半徑不變等于ρf,那么只需要計(jì)算tf-1這一時(shí)刻的ρf-1,就可以計(jì)算出ρf-1(t)。按照上述方法,以t=ti時(shí)刻取樣,算法式(35)可簡化為

(36)

其中

(37)

3.2 切換控制吸引域計(jì)算的降保守性方法

?i∈[0,N](Ai+Biki)TSx+Sx(Ai+Biki)<0

(38)

為了解決由于Ω(ρ,ts)跳變帶來的吸引域計(jì)算失真的問題,需要保證式(39)成立。

(39)

此時(shí)解出的在ts這一時(shí)刻前后的吸引域才是符合要求的[29]。

(40)

最后,ρi(t)以分段線性形式估計(jì)表達(dá)為

, ?t∈[ti-Δt,ti+Δt)

(41)

ρi(t)即為系統(tǒng)在[ti-Δt,ti+Δt)這一時(shí)間段的吸引半徑。進(jìn)而得到整個(gè)棲落時(shí)間范圍的分段線性表達(dá)式ρ(t)。

3.3 基于質(zhì)點(diǎn)模型的棲落軌跡吸引域計(jì)算

(42)

式中,av表示加速度;ωμ表示航跡角速度。

簡化后的質(zhì)點(diǎn)模型輸入是加速度av與航跡角速度ωμ。為了使這兩個(gè)控制量符合實(shí)際六維系統(tǒng)的物理規(guī)律,需要添加輸入飽和約束。將此約束加入到SOS算法式(36)中,約束具體表達(dá)式為

(43)

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制仿真

仿真中固定翼飛行器的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為:m=0.8 kg,Iy=0.1 kg·m2。飛行器的其他物理參數(shù)見文獻(xiàn)[8]。仿真中采用的飛行器動(dòng)力學(xué)模型為式(1)所表示的棲落機(jī)動(dòng)非線性模型,其中,氣動(dòng)參數(shù)由式(2)、式(3)和式(4)計(jì)算獲得。在設(shè)計(jì)控制律時(shí),將整個(gè)棲落時(shí)間區(qū)域[0,2 s]均勻分為20段,在{0 s,0.1 s,0.2 s,0.3 s,…,1.9 s,2 s}這21個(gè)時(shí)刻的參考點(diǎn)處分別得到線性化模型以便于控制律設(shè)計(jì)。在計(jì)算最優(yōu)控制律時(shí),設(shè)定式(11)中的權(quán)重矩陣為Q=diag[1.5,8,1.5,1.5,20,15],R=diag[1,50];進(jìn)而聯(lián)立式(20)～式(22)求解獲得控制律。將所設(shè)計(jì)的控制律應(yīng)用于棲落運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型(1)進(jìn)行仿真。

飛行器棲落機(jī)動(dòng)理想初始飛行狀態(tài)X*(t0)=[9.973 6,0,0.245 5,0,0,0],為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的控制律的狀態(tài)量跟蹤效果,設(shè)計(jì)實(shí)際的初始飛行速度具有偏差1 m/s,航跡角偏差為0.1 rad,迎角偏差為0.05 rad,俯仰角速度偏差為0.1 rad/s,高度與水平位置偏差都為1 m。仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。其中,圖1對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量跟蹤曲線,圖2對(duì)應(yīng)控制輸入曲線,圖3對(duì)應(yīng)飛行器位置跟蹤曲線。圖1中藍(lán)色虛線對(duì)應(yīng)參考軌跡,紅色實(shí)線對(duì)應(yīng)切換控制響應(yīng)曲線?？梢?在切換控制器作用下,速度、航跡角、迎角、俯仰角速度、水平位置和高度均能跟蹤參考曲線,并在終點(diǎn)時(shí)刻收斂到滿足要求(|Δv|<0.5 m,|Δμ|<0.35 rad,|Δα|<0.35 rad,|Δx|<0.1 m,|Δh|<0.1 m)的范圍內(nèi)。驗(yàn)證了基于LQR與切換控制綜合設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

控制輸入曲線如圖2所示,圖2中藍(lán)色虛線表示參考輸入曲線,紅色實(shí)線表示切換閉環(huán)控制輸入?？梢?推力與升降舵偏轉(zhuǎn)量雖然沒有收斂到標(biāo)稱值,但是與理想輸入值偏差范圍合理。

圖3描述了飛行器棲落機(jī)動(dòng)位置跟蹤曲線。其中藍(lán)色虛線對(duì)應(yīng)參考軌跡,綠色點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)開環(huán)響應(yīng)曲線,紅色實(shí)線對(duì)應(yīng)切換控制閉環(huán)響應(yīng)曲線。在棲落機(jī)動(dòng)飛行結(jié)束時(shí)刻,參考棲落位置為(14.05,2.103),未加控制器的棲落位置為(13.6,2.518),切換控制下的棲落位置為(14.01,2.035)。

由此可見,在切換控制作用下,盡管初始位置偏差很大,但響應(yīng)曲線最終能收斂到指定位置附近,符合棲落位置精度要求。而未加控制器的棲落位置與指定位置偏差較大,不符合棲落要求。驗(yàn)證了設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器的必要性與基于LQR與切換控制綜合設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器的有效性。

圖1 狀態(tài)變量跟蹤曲線Fig.1 Tracking curve of state variables

圖2 控制輸入曲線Fig.2 Tracking curve of control input

圖3 位置跟蹤曲線Fig.3 Tracking curve of position

4.2 棲落機(jī)動(dòng)軌跡吸引域仿真

，z=[ΔxΔhΔvΔμ]T

(44)

式中,U是4×4的實(shí)對(duì)稱矩陣,由10個(gè)決定變量構(gòu)成[30]。

接著將控制輸入的約束條件(43)加入到SOS算法(36)中。根據(jù)六維模型仿真結(jié)果,對(duì)整個(gè)棲落機(jī)動(dòng)過程的質(zhì)點(diǎn)模型輸入量進(jìn)行了分段約束,具體約束范圍如表1所示。

表1 棲落機(jī)動(dòng)過程控制輸入約束范圍

Table 1 Scope of constraint of control input in perching process

在整個(gè)棲落時(shí)間[0,2 s]每隔0.1 s取一個(gè)時(shí)刻點(diǎn),共取21個(gè)時(shí)刻點(diǎn),聯(lián)立式(43)與式(36)分別算出21個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的吸引域,注意計(jì)算是從終點(diǎn)時(shí)刻的收斂半徑計(jì)算開始的。對(duì)2 s這一終點(diǎn)時(shí)刻,期望終點(diǎn)誤差0≤Δv≤0.5 m/s,|Δμ|≤0.35 rad,|Δx|≤0.1 m和|Δh|≤0.1 m。根據(jù)期望誤差范圍,并結(jié)合式(26),設(shè)置ρf為0.15。定下ρf之后,聯(lián)立式(36)、式(37)與約束條件(43)算出1.9 s這一時(shí)刻的收斂半徑ρf-1,同理遞推計(jì)算出整個(gè)棲落過程的收斂半徑。最后根據(jù)式(41)寫出分段線性吸引半徑,為了形象直觀地表示吸引域,將其投影在xh平面,結(jié)果如圖4所示,其中綠色橢圓表示吸引域。

圖4 吸引域在xh平面的投影Fig.4 Projection of the domain of attraction in xh plane

圖4描述了分段線性吸引域在xh平面上的投影。每個(gè)橢圓代表對(duì)應(yīng)時(shí)刻的吸引域,在軌跡跟蹤控制器的作用下,前一個(gè)時(shí)刻橢圓內(nèi)的所有狀態(tài)量都會(huì)收斂到下一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的橢圓吸引域內(nèi),進(jìn)而可以推知,只要初始狀態(tài)在0 s對(duì)應(yīng)的橢圓吸引域內(nèi),最終位置都會(huì)收斂到設(shè)置的目標(biāo)棲落域Ωf內(nèi)。

圖5描述了質(zhì)點(diǎn)模型采樣棲落軌跡與吸引域在xh平面的關(guān)系。仿真時(shí),選取了5個(gè)在0 s對(duì)應(yīng)的橢圓吸引域內(nèi)不同的初始狀態(tài),仿真結(jié)果顯示,棲落軌跡全都在所求吸引域內(nèi),且終點(diǎn)位置都收斂到所設(shè)的目標(biāo)棲落域Ωf內(nèi),驗(yàn)證了對(duì)質(zhì)點(diǎn)模型計(jì)算出的吸引域的有效性。

圖5 質(zhì)點(diǎn)模型棲落軌跡與吸引域在xh平面的投影Fig.5 Perching trajectory of particle model and the projection of thedomain of attraction in xh plane

圖6描述了原六維非線性棲落機(jī)動(dòng)模型棲落軌跡與吸引域在xh平面的關(guān)系。仿真時(shí)根據(jù)第2.2節(jié)相關(guān)內(nèi)容設(shè)置切換控制器,使原六維模型的狀態(tài)變量(x,h,v,μ)快速跟蹤質(zhì)點(diǎn)模型的狀態(tài)變量(xr,hr,vr,μr)。已知質(zhì)點(diǎn)模型的棲落機(jī)動(dòng)仿真曲線在吸引域內(nèi),則原六維非線性模型棲落機(jī)動(dòng)仿真曲線也應(yīng)在吸引域內(nèi)。仿真結(jié)果顯示,原六維非線性模型的棲落軌跡全都在所求吸引域內(nèi),且終點(diǎn)位置都收斂到所設(shè)的目標(biāo)棲落域Ωf內(nèi)。

圖6 六維非線性模型棲落軌跡與吸引域在xh平面的投影Fig.6 Perching trajectory of 6-d nonlinear model and the projection of domain of attraction in xh plane

5 結(jié) 論

本文采用基于切換控制與最優(yōu)控制相結(jié)合的綜合控制算法,設(shè)計(jì)飛行器棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制律。然后,運(yùn)用SOS最優(yōu)化算法,計(jì)算了棲落軌跡吸引域。針對(duì)切換系統(tǒng)的特性,研究了降低吸引域計(jì)算保守性的方法。最后對(duì)飛行器棲落機(jī)動(dòng)過程進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明,基于切換控制與最優(yōu)控制設(shè)計(jì)的控制器使得飛行器可以跟蹤上參考軌跡,驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器的有效性。仿真結(jié)果還表明,基于SOS算法沿著參考軌跡計(jì)算的吸引域Ω,當(dāng)X∈Ω時(shí),飛行器能棲落在目標(biāo)范圍內(nèi),驗(yàn)證了所計(jì)算的軌跡吸引域的正確性。