趙培焱, 彭華峰, 鄧 兵, 賀 青

(盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610041)

0 引 言

時(shí)延估計(jì)是現(xiàn)代信號(hào)處理的重要內(nèi)容,廣泛應(yīng)用于無(wú)源定位、雷達(dá)聲納、導(dǎo)航遙測(cè)等軍事領(lǐng)域,以及生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)探傷等民用領(lǐng)域[1]。經(jīng)過(guò)多年發(fā)展,形成了以廣義互相關(guān)[1](generalized cross-correlation, GCC)和互譜法[2]為代表的時(shí)延估計(jì)方法,并在實(shí)際工程中取得了廣泛的應(yīng)用。近年來(lái),隨著工程應(yīng)用的深入和領(lǐng)域的拓展,對(duì)時(shí)延估計(jì)精度的要求也在不斷地提高,如在航天測(cè)控等領(lǐng)域出現(xiàn)了一種以相時(shí)延為基本觀測(cè)量的新型的高精度時(shí)延估計(jì)方法[3-4],并已經(jīng)成功應(yīng)用于實(shí)際任務(wù)[5-6]。但是,相時(shí)延估計(jì)面臨整周模糊度解算的問(wèn)題[3-6],往往需要對(duì)測(cè)控信號(hào)的頻點(diǎn)[3,5-6]或測(cè)量基線[4]進(jìn)行一系列特殊設(shè)計(jì),且現(xiàn)有文獻(xiàn)和實(shí)際任務(wù)中的方法[3-6]均無(wú)法一次性獲得高精度且無(wú)模糊的時(shí)延估計(jì)。針對(duì)該問(wèn)題,本文充分挖掘信號(hào)本身所攜帶的信息,提出一種兩步法解決思路,第一步用大頻率孔徑獲得低精度無(wú)模糊預(yù)估值,第二步利用該預(yù)估值引導(dǎo)解模糊,得到較為滿意的估計(jì)結(jié)果,并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所提方法的性能進(jìn)行了評(píng)估。

1 信號(hào)模型

在無(wú)源定位、航天測(cè)控等領(lǐng)域,時(shí)延測(cè)量系統(tǒng)原理可以用圖1表示。

圖1 時(shí)延估計(jì)原理圖Fig.1 Schematic of time delay estimation

兩測(cè)站接收的信號(hào)模型可表示為

(1)

式中,s(t)表示目標(biāo)源信號(hào);r1和r2分別表示對(duì)應(yīng)路徑的衰減;τ表示信號(hào)到達(dá)兩測(cè)站的時(shí)延;n1(t)和n2(t)為加性高斯白噪聲,n1(t)和n2(t)不相關(guān)且分別與源信號(hào)s(t)不相關(guān)。

對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行采集,且忽略兩站同步誤差,可得

(2)

式中,n=0,1,…,N-1,N為信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)。

對(duì)采樣后的信號(hào)做N點(diǎn)DFT可分別得到離散頻譜為

(3)

式中,k=0,1,…,N-1,N為DFT點(diǎn)數(shù);S(k)=DFT[s(n)],Yi(k)=DFT[yi(n)],Ni(k)=DFT[ni(n)],i=1,2。

用X(k)表示兩信號(hào)的互相關(guān)譜(簡(jiǎn)稱互譜)可得

(4)

式中,k=0,1,…,N-1,N(k)為總噪聲;根據(jù)加性高斯白噪聲的特性,N(k)也為加性高斯白噪聲,可以表示為

(5)

式(4)中所示的互譜,如暫不考慮噪聲的影響,可以從結(jié)構(gòu)上分為兩部分,即互幅度譜和互相位譜,分別用A(k)和Ф(k)表示,即

A(k)=r1r2|S(k)|2,k=1,2,…,N

(6)

(7)

從式(7)中可以看出,待估計(jì)的時(shí)延參數(shù)τ存在于互相位譜信息中。由于相位的周期性,所以在互相位譜中各個(gè)頻點(diǎn)的相位均是局限于[-π,π]內(nèi)的。記Wk為頻點(diǎn)k相位的整周模糊度,則互相位譜的完整表達(dá)應(yīng)為

Ψ(k)=Φ(k)+2πWk,k=1,2,…,N

(8)

2 不同時(shí)延定義的區(qū)別與聯(lián)系

當(dāng)信號(hào)通過(guò)某一傳輸系統(tǒng)(自由空間也可以看作是某種系統(tǒng))或網(wǎng)絡(luò)時(shí),信號(hào)輸出相對(duì)于輸入總會(huì)產(chǎn)生時(shí)間滯后,這就是系統(tǒng)時(shí)延。根據(jù)信號(hào)處理的不同應(yīng)用場(chǎng)景,時(shí)延有不同的定義,比較常見(jiàn)的有包絡(luò)時(shí)延、群時(shí)延和相時(shí)延。

包絡(luò)時(shí)延[7]:調(diào)制信號(hào)經(jīng)過(guò)傳輸系統(tǒng),輸出信號(hào)包絡(luò)相對(duì)于輸入信號(hào)的時(shí)間延遲。其表達(dá)式可表示為

(τ)|

(9)

式中,Ry1y2(τ)為信號(hào)的相關(guān)函數(shù),其表達(dá)式表示為

(10)

群時(shí)延[7]:調(diào)制信號(hào)通過(guò)傳輸系統(tǒng)時(shí),單位頻率上信號(hào)相位產(chǎn)生的延遲,即相位對(duì)頻率的微分。其理論表達(dá)式為

(11)

式中,φ(ω)為系統(tǒng)的相位響應(yīng)函數(shù)。

相時(shí)延[7]:單一頻率信號(hào)或群信號(hào)中某個(gè)單頻分量通過(guò)傳輸系統(tǒng),輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)的滯后時(shí)間。表達(dá)式為該頻率上的相位同該信號(hào)角頻率比值為

(12)

上述3種定義分別是從不同的角度來(lái)描述時(shí)延,包絡(luò)時(shí)延利用信號(hào)的幅度信息,群時(shí)延和相時(shí)延利用的是相位信息;從另一個(gè)角度來(lái)看,包絡(luò)時(shí)延是在時(shí)域處理,群時(shí)延和相時(shí)延是在頻域處理。式(11)是從微分定義出發(fā)定義群時(shí)延,但實(shí)際工程中不便于具體計(jì)算,從測(cè)量角度定義群時(shí)延為[7]

(13)

從式(13)出發(fā)并借助頻率孔徑(Δω)的概念,可以將時(shí)延的3種定義統(tǒng)一起來(lái)。

性質(zhì)1對(duì)于非色散系統(tǒng),當(dāng)Δω為信號(hào)整個(gè)帶寬時(shí),包絡(luò)時(shí)延與群時(shí)延相等。

證明假設(shè)兩路信號(hào)時(shí)延為τ(ω),根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的定義式(10)有

(14)

將式(14)變換到頻域,根據(jù)FFT的時(shí)移性質(zhì)可得

X(ω)=FFT(Ry1y2(τ))=FFT(y(t-τ))[FFT(y(t))]*=

S(ω)exp(jωτ(ω))S*(ω)=|S(ω)|2exp(jωτ(ω))

(15)

在式(15)中提取互相位譜

φ(ω)=jωτ(ω)

(16)

當(dāng)傳輸系統(tǒng)為非色散系統(tǒng)時(shí)

φ(ω)=jωτ

(17)

對(duì)式(17)的等號(hào)兩端微分,即包絡(luò)時(shí)延等于群時(shí)延。

證畢

性質(zhì)2當(dāng)Δω趨于0時(shí),群時(shí)延等于相時(shí)延。可以從式(12)中直接得到,無(wú)需證明。

根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2,包絡(luò)時(shí)延和相時(shí)延都可以看作是群時(shí)延的兩種特例。在時(shí)延測(cè)量中,分辨率與精度是兩個(gè)重要指標(biāo)。根據(jù)式(13),在相位測(cè)量精度一定時(shí),Δω的選擇將直接影響群時(shí)延測(cè)量精度與分辨率。Δω越大,測(cè)量分辨率越高,但精度越低;Δω越小,測(cè)量精度越高,但分辨率越低[7]。無(wú)法僅通過(guò)一次測(cè)量獲得分辨率和精度都足夠高的時(shí)延估計(jì),這是時(shí)延測(cè)量的基本矛盾。

3 基于干涉相位的兩步法方案

3.1 兩步法的基本思路

工程實(shí)踐中,通常希望獲得精度和分辨率都足夠高的時(shí)延估計(jì)。但通過(guò)第2節(jié)的分析可知,無(wú)法僅通過(guò)一次測(cè)量就獲得這樣的估計(jì)值。另一方面,頻率孔徑Δω在時(shí)延測(cè)量中扮演中重要的角色。對(duì)于包絡(luò)時(shí)延,Δω趨于信號(hào)全頻段,此時(shí)分辨率最高,但精度最低;對(duì)于相時(shí)延,Δω趨于0,此時(shí)精度最高,但分辨率最低。這與現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)并不矛盾,兩個(gè)單頻信號(hào)做互相關(guān)操作,理論上應(yīng)當(dāng)?shù)玫綗o(wú)數(shù)等幅度的“周期峰”,無(wú)法通過(guò)峰值搜索來(lái)確定時(shí)延。相關(guān)函數(shù)的“周期峰”和互相位譜丟失整數(shù)倍2π的現(xiàn)象,可以統(tǒng)稱為整周模糊。如果借助某種方法預(yù)先將模糊度解算出來(lái),便可以獲得高精度、無(wú)模糊(高分辨率)的時(shí)延估計(jì)。

第2節(jié)包絡(luò)時(shí)延、群時(shí)延和相時(shí)延的定義,盡管表達(dá)形式有所不同,但其理論上都是對(duì)同一物理量的表征,在統(tǒng)計(jì)意義上應(yīng)該具有相同的期望值,即滿足

(18)

式中,E(·)表示取期望。

根據(jù)上述分析,針對(duì)無(wú)法一次性獲得高精度無(wú)模糊時(shí)延估計(jì)的問(wèn)題,提出兩步法解決思路。第一步利用大孔徑(信號(hào)全頻段)獲得無(wú)模糊低精度的預(yù)估值,第二步用其引導(dǎo)小孔徑(單一頻率)模糊度解算,最終得到高精度無(wú)模糊的時(shí)延估計(jì)。

3.2 基于Kalman的濾波干涉相位誤差消除

從式(17)中可以看出,互相位譜的干涉相位與頻率呈線性關(guān)系,故也被稱為“干涉條紋”,條紋斜率即待估時(shí)延。系統(tǒng)傳播、同步偏差、設(shè)備熱噪聲等都可能使得干涉相位測(cè)量值與理論值存在一定偏差。在統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理框架下,干涉相位可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,若其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣先驗(yàn)已知,就可以利用Kalman濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波處理,以改善其信噪比。

根據(jù)Kalman濾波理論,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與測(cè)量方程可以表示為

(19)

式中,wk-1和vk分別表示過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲,兩者相互獨(dú)立且均為零均值高斯白噪聲;xk為頻點(diǎn)k的狀態(tài)向量,定義為

(20)

(21)

(22)

圖2 濾波前后干涉相位對(duì)比圖Fig.2 Comparison of interferometry phase before and after filtering

3.3 理論分析

利用預(yù)估值解模糊時(shí),預(yù)估值精度需要滿足一定的條件,方可保證解算的正確性。以群時(shí)延預(yù)估值為例,可以通過(guò)式(23)得到整周模糊的估計(jì)值。

(23)

(24)

根據(jù)3σ準(zhǔn)則,可以得出

(25)

合并式(24)和式(25),可得

(26)

滿足式(26)時(shí),解模糊正確率理論上為99.7%。例如對(duì)于射頻載頻為2 GHz的信號(hào),群時(shí)延預(yù)估值精度要求為±83.33 ps。在信號(hào)處理領(lǐng)域,克拉美-羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)是常見(jiàn)的理論下界。CRLB是在信息論的理論框架下推導(dǎo)的,與具體采用的方法無(wú)關(guān),只與模型提供的信息量有關(guān)。傳統(tǒng)一步法模型下的CRLB(single stage CRLB, SS-CRLB),可以表示為

(27)

式中,T為信號(hào)持續(xù)時(shí)間；B為帶寬,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)。例如對(duì)于T=0.1 ms,B=10 MHz,SNR=10 dB的信號(hào),CRLB為24.66 ps,滿足式(26)的要求,采用適當(dāng)?shù)姆椒?能引導(dǎo)正確的模糊解算。

兩步法模型中的第一步就是傳統(tǒng)的模型,但第二步利用了信號(hào)的射頻信息,以及待估值的結(jié)構(gòu)信息,所以兩步法模型信息量大于一步法模型。因此,兩步法估計(jì)值理論上能突破SS-CRLB,這在第4節(jié)仿真部分將得到驗(yàn)證。

3.4 基于中位數(shù)信任域的統(tǒng)計(jì)方法

傳統(tǒng)相時(shí)延估計(jì)方法中只利用率單一頻點(diǎn)(如載頻處)的相位進(jìn)行估計(jì),但實(shí)際工程中接收到的信號(hào)通常都是有一定帶寬的,含有豐富的頻率信息,傳統(tǒng)方法的頻帶利用率顯然不高;其次,只利用單一頻點(diǎn)處的信息,估計(jì)結(jié)果易受相位噪聲干擾,影響估計(jì)精度。為此,利用基于中位數(shù)信任域的統(tǒng)計(jì)方法[8]進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理,進(jìn)一步提升估計(jì)精度。該方法可表示為

(28)

(29)

3.5 算法步驟

步驟1對(duì)兩路接收信號(hào)做FFT,分別得其頻譜;

步驟2利用兩路信號(hào)頻譜生成互譜,并提取互相位譜;

步驟3對(duì)互相位譜進(jìn)行Kalman濾波,抑制相位噪聲;

步驟4依據(jù)濾波結(jié)果得到時(shí)延預(yù)估值;

步驟5對(duì)信號(hào)頻段內(nèi)所有頻點(diǎn)解算整周模糊,利用濾波后的干涉相位測(cè)量值得該頻點(diǎn)上的相時(shí)延估計(jì);

步驟6設(shè)定信任域半徑,按照式(28)、式(29)對(duì)多個(gè)頻點(diǎn)得到的估計(jì)值統(tǒng)計(jì)平滑,最終得到高精度無(wú)模糊的時(shí)延估計(jì)值。

上述步驟1～步驟4為本文定義兩步法的第一步,對(duì)應(yīng)大頻率孔徑;步驟5～步驟6為第二步,對(duì)應(yīng)單頻孔徑,可見(jiàn)該方法綜合了大、小孔徑的優(yōu)點(diǎn)。

4 仿真與分析

首先定義時(shí)延估計(jì)的均方根誤差(root mean square error, RMSE)如式(30)所示

(30)

仿真實(shí)驗(yàn)1固定信號(hào)帶寬和采集時(shí)間比較不同方法均方根差(root mean square error, RMSE)隨SNR的變化情況。條件設(shè)置為:信源編碼采用二進(jìn)制頻移鍵控(binary phase shift keying, BPSK),碼元速率為10 Mbps,射頻載頻為2 GHz,采樣率為5 GHz,信號(hào)采集時(shí)間為0.1 ms,真實(shí)時(shí)延設(shè)為30倍采樣間隔,即τ=6 ns,第二步統(tǒng)計(jì)過(guò)程中的信任域半徑D=10 ps。SNR從0～30 dB,每隔3 dB取一個(gè)值進(jìn)行1 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)RMSE變化曲線如圖3所示。

圖3 不同算法RMSE隨SNR變化曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of changes of RMSE with SNR

仿真實(shí)驗(yàn)2固定信號(hào)SNR和采集時(shí)間比較不同方法RMSE隨信號(hào)帶寬的變化情況。基本條件設(shè)置同實(shí)驗(yàn)1,SNR設(shè)為20 dB,信號(hào)帶寬從0～30 MHz,每隔2 MHz取一個(gè)值進(jìn)行1 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)RMSE變化曲線如圖4所示。

圖4 不同算法RMSE隨帶寬變化曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of changes of RMSE with bandwidth

需要注意的是,由于相位對(duì)噪聲的敏感性,為保證估計(jì)的準(zhǔn)確度,實(shí)際系統(tǒng)中需采用高精度的時(shí)頻同步方案,如基于光纖連接線的時(shí)頻傳遞方案[9]。為簡(jiǎn)化仿真中采集的同步過(guò)程,采用射頻直采的方式。

從圖3和圖4中可以看出,本文方法估計(jì)精度明顯優(yōu)于對(duì)照方法,包括經(jīng)典的GCC法,互譜法以及文獻(xiàn)[3]中的單一載頻處的相時(shí)延法。參與比較的還有式(27)所示的SS-CRLB。

圖3中在SNR低于15 dB的區(qū)域,GCC方法精度最低,本文方法、互譜法以及載頻相時(shí)延法性能差別不大,且都在SS-CRLB范圍內(nèi);隨著SNR的逐漸增大,所有方法的精度都有所提升,其中GCC法和互譜法的增長(zhǎng)趨勢(shì)同SS-CRLB一致,這和理論分析相符,但載頻相時(shí)延法和本文方法卻突破了SS-CRLB,其原因已在第3.3節(jié)中描述。進(jìn)一步看出,本文方法的精度優(yōu)于載頻相時(shí)延法,得益于在信號(hào)頻段內(nèi)所有頻點(diǎn)處都進(jìn)行了估計(jì),并引入了統(tǒng)計(jì)平均的過(guò)程,一定程度上平滑了相位噪聲的影響。圖4中以帶寬為7 MHz為界分為了兩部分,在小于7 MHz的區(qū)域,現(xiàn)象同圖3相仿;大于7 MHz的區(qū)域卻有所區(qū)別,載頻相時(shí)延以及文本方法估計(jì)精度不再隨帶寬的增加而有明顯提升,后者精度同樣優(yōu)于前者。綜上,本文方法實(shí)現(xiàn)了高精度無(wú)模糊的時(shí)延估計(jì),性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法,對(duì)于10 MHz的信號(hào),SNR高于18 dB時(shí),估計(jì)精度優(yōu)于1 ps。

5 結(jié) 論

借助頻率孔徑的概念,將包絡(luò)時(shí)延、群時(shí)延和相時(shí)延的定義統(tǒng)一起來(lái),揭示了分辨率與精度的矛盾是時(shí)延測(cè)量領(lǐng)域的基本矛盾。針對(duì)無(wú)法通過(guò)一次測(cè)量得到分辨率和精度都高的時(shí)延估計(jì),提出兩步法解決方案。第一步用大孔徑獲得無(wú)模糊、低精度的預(yù)估值,第二步利用預(yù)估值引導(dǎo)高精度相時(shí)延模糊度解算,最終得到高精度、無(wú)模糊的估計(jì)值。在第一步中,利用Kalman濾波器改善干涉相位抗噪聲性能;在第二步中充分利用信號(hào)頻段內(nèi)豐富的頻率信息得到多個(gè)估計(jì)值,采用基于中位數(shù)信任域的方法對(duì)多個(gè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)平均,提升了頻帶利用率,進(jìn)一步提高了估計(jì)精度,對(duì)于10 MHz的信號(hào),SNR高于18 dB時(shí),估計(jì)精度優(yōu)于1 ps。該方法簡(jiǎn)單可靠、運(yùn)算量小,具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。低信噪比和窄帶條件下高效的解模糊方法是下一步研究重點(diǎn)。