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(吉林師范大學數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

0 引 言

瑞利分布是統(tǒng)計學中一種重要的連續(xù)概率分布，當今有許多學者對瑞利分布進行統(tǒng)計研究，Abbas Pak等[1]在Estimation of System Reliability under Bivariate Rayleigh Distribution中研究了二元瑞利分布的可靠性估計問題。楊慧超等[2]對缺失部分數(shù)據(jù)的兩個Rayleigh分布參數(shù)進行矩估計與檢驗。在對觀測數(shù)據(jù)做統(tǒng)計分析時，常會碰到數(shù)據(jù)缺失的情況，田霆等[3]對定時截尾缺失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布進行統(tǒng)計推斷。探究當缺失部分數(shù)據(jù)時混合瑞利分布總體的參數(shù)估計問題，利用矩估計的方法求出參數(shù)的矩估計，給出其漸近正態(tài)性，并且隨機模擬的結果也表明了參數(shù)估計是正確的。

1 矩估計及其漸近性質

假設有四個混合瑞利分布[1]，其密度函數(shù)分別為

首先設定為常數(shù)0.2，(1-q)為常數(shù)0.8，然后分別取δi>0(i=1,2)為兩個總體的未知參數(shù)，ηi(i=1,2)為另兩個總體的未知參數(shù)，接著依次對混合瑞利分布獨立觀測n次，從每個分布總體抽取樣本進行觀測時，記1-p為缺失樣本時的概率。Xi是第一個總體的第i個樣本觀測值，i=1,2,…,n，且(Xi,θi)是第一個混合瑞利分布第i個總體觀測值，假設沒有觀測到第i個樣本記θi=0，如果不是這樣記θi=1，Yi是第二個總體的第i個樣本觀測值，i=1,2,…,n，且(Yi,βi)為第二個混合瑞利分布總體的第i個總體觀測值，若沒有觀測到第i個樣本記βi=0，如果不是這樣記βi=1。

下面對參數(shù)δ1,δ2進行矩估計。根據(jù)(Xi,θi)，i=1,2,…,n,可以建立如下的矩估計方程[2]

其中

解出方程得

同理可得得到另一組觀測值(Yi,βi)后，得到η1,η2的矩估計

對如上參數(shù)δi(i=0,1),ηi(=0,1)的矩估計，下證相合性以及漸近正態(tài)性[3]。

證明： 因為{Xi,θi,1

并且

同理得出

因此得出

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是根據(jù)多元中心極限定理得出

令

于是得出

根據(jù)引理1

并且

同理令

根據(jù)引理1

并且

同理證出

2 隨機模擬

表1 隨機模擬結果

通過上述得出當缺失部分數(shù)據(jù)時,混合瑞利分布的參數(shù)矩估計具有漸近正態(tài)性，由矩估計的方法得到的隨機模擬結果見表1，參數(shù)估計值的誤差也都相對很小，充分表明矩估計的方法具有穩(wěn)健性。