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(1.安徽城市管理職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，安徽 合肥 230011；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

比色法是化學(xué)鄰域中一種常見的測量物質(zhì)濃度的方法。該方法指的是把物質(zhì)溶液經(jīng)過一定的處理后，產(chǎn)生相應(yīng)的顏色，再把該顏色與一個標(biāo)準(zhǔn)比色階進(jìn)行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了。比色法作為一種定量分析的方法，大約開始于19世紀(jì)的30～40年代。目視比色法就是其中一種，但由于眼睛觀察存在誤差，現(xiàn)如今拍照即可得到清楚的顏色分辨率，因此希望借助現(xiàn)代化拍照技術(shù)，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度，基于實驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上來探究這兩者之間的關(guān)系。

1 問題的提出

以硫酸鋁鉀為例，給出該物質(zhì)的在不同濃度下的一組顏色讀數(shù)的平均值(每種濃度做了不止一次實驗)(如表1所示)，即B、G、R、H、S的顏色讀數(shù)。這里，B、G、R是將顏色利用RGB色彩模式，分解為藍(lán)(B) 、 綠(G)、紅(R)三個顏色通道的值.以及顏色參數(shù)，色調(diào)(H)，飽和度(S)。

表1

現(xiàn)探究由這組數(shù)據(jù)能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系。

2 因子分析法

因子分析旨在利用少數(shù)幾個變量來表示原來多個變量的主要信息，是常用的數(shù)據(jù)降維方法之一。以表1數(shù)據(jù)為例，稱B、G、R、H、S為原始變量，它們與潛在因子的關(guān)系用如下模型來刻畫：

(1)

其中，l1…lm是潛在因子，是B、G、R、H、S都包含的因子，稱作共性因子.m是潛在因子個數(shù)，這里1m5， 通過此因子分析模型來確定m=1還是m>1。e1…e5為5個只包含在某個原始變量中，只對一個原始變量起作用的個性因子，是該變量特有的特殊因子。cij為第j個潛在因子在第i個原始變量中的因子負(fù)荷.cij的絕對值越大，表示第j個潛在因子和第i個原始變量的關(guān)系越強(qiáng)。

利用SPSS軟件來求解上述因子分析模型，求解過程中需經(jīng)歷如下幾個重要步驟：

(1)因子提取。 通過分析原始變量之間的關(guān)系，從中提取出數(shù)量較少的因子。其中最常見的是主成分分析法和主軸因子法，此處選擇主成分分析法。

(2)因子旋轉(zhuǎn)。利用因子提取方法得到的結(jié)果雖然保證了因子之間的正交性，但因子對變量的解釋能力較弱，不容易解釋和命名。這時，可以通過因子模型的旋轉(zhuǎn)變換，使得公共因子的復(fù)合和數(shù)接近1或者0，通過這種方法得到的公共因子對變量的命名和解釋將變得更容易。在此問求解過程中，若公共因子個數(shù)超過了1個，則做因子旋轉(zhuǎn)。

(3)計算因子得分。計算因子得分的方法主要有回歸分析法、巴特利特法和Anderson-Rubin法.這里利用線性回歸法計算因子得分.

3 問題的求解與分析

3.1 數(shù)據(jù)處理

將表1中的數(shù)據(jù)錄入SPSS軟件，并利用因子分析法(1)計算，得到表2如下。

表2

此表中，第1列是因子分析的5個初始解的序號；第2列是因子變量的方差貢獻(xiàn)，是衡量因子重要程度的指標(biāo)；第3列是各個因子變量的方差貢獻(xiàn)率；第4列是因子變量的累積方差貢獻(xiàn)率；第5--7列是從初始解中按照方差貢獻(xiàn)率提取公共因子后對原變量總體的描述情況。

3.2 結(jié)果分析

從表2的第5--7列可以看出，按照方差貢獻(xiàn)率提取的公共因子只有1個。從第3列可以看出，該公共因子的方差貢獻(xiàn)率達(dá)到97.165%，其余初始解的方差貢獻(xiàn)率都很小，加起來不超過5%。這說明，該公共因子對B、G、R、H、S的解釋能力非常強(qiáng)。由于實驗過程中只改變濃度，其他條件不變，因此，該公共因子就是濃度?；蛘哒f，濃度的變化唯一決定著組胺顏色讀數(shù)的變化，且決定程度達(dá)到97.165%。

3.3 實驗數(shù)據(jù)優(yōu)劣評價

由于實驗數(shù)據(jù)可能由于觀察、記錄等原因造成誤差，可以通過表2對于實驗數(shù)據(jù)優(yōu)劣進(jìn)行評價?？煽紤]兩方面：一是看公共因子的個數(shù)，公共因子只有1個的數(shù)據(jù)強(qiáng)于擁有2個公共因子的數(shù)據(jù)。在公共因子個數(shù)相同的情況下，再看第一公共因子的方差貢獻(xiàn)率，方差貢獻(xiàn)率高的數(shù)據(jù)強(qiáng)于方差貢獻(xiàn)率低的數(shù)據(jù)。根據(jù)以上所述，由表2中看出硫酸鋁鉀的實驗數(shù)據(jù)即表1還是比較好的。

4 問題的檢驗與誤差分析

4.1 單因素方差分析

單因素方差分析是指對單因素試驗結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的方法。

因素：影響研究對象的某一指標(biāo)、變量。本文所指為物質(zhì)的濃度。

水平：因素變化所分的組別。文中的例子指濃度不同分為不同的組，即不同的水平。如硫酸鋁鉀實驗數(shù)據(jù)有六個不同的濃度(0、0.5、1、1.5、2、5ppm)，可分為六組，序列號標(biāo)位1、2、3、4、5、6。

單因素方差分析模型，主要含有以下比較重要的計算步驟：

(1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)

H0(零假設(shè))：m組樣本的均值都相同，即μ1=μ2=...=μm。例中m=6，假設(shè)6組濃度下的顏色讀數(shù)均值相同。

H1：m組樣本的均值不相同或不全相同，即各μi不等或不全相等。

取顯著性水平α=0.05。

(2)計算組間、組內(nèi)差異，確定P值(顯著性)作出統(tǒng)計性判斷

一般認(rèn)為不同的組別均值間差別源于兩個：組間差異(實驗條件的變化)指的是不同的處理形成的不同組間的差異；組內(nèi)差異(隨機(jī)誤差)指的是同一組間某種原因形成的差異，如測量誤差等。例中組間差異為不同濃度之間的差異。將組間、組內(nèi)差異除以各自的自由度，得到其均方.如果組間均方遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)均方，即各組間具有顯著性差異。例中所指為不同濃度間的讀數(shù)均值差異遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同一濃度下讀數(shù)均值差異。從而可推斷物質(zhì)濃度和顏色讀數(shù)具有顯著性相關(guān)。

同時，當(dāng)P<0.05拒絕零假設(shè)，組別間有差異，具有統(tǒng)計意義，可進(jìn)一步深入分析；否則P>0.05不能拒絕零假設(shè)，不用進(jìn)行多重比較。

4.2 方差齊性檢驗

針對硫酸鋁鉀指標(biāo)B不同濃度的顏色數(shù)據(jù)(表3)進(jìn)行分析。

表3

進(jìn)行方差分析前，首先進(jìn)行方差齊性檢驗。檢驗不同濃度下觀察得各顏色讀數(shù)總體方差是否相等。將表3對應(yīng)的數(shù)據(jù)錄入SPSS軟件，得到如下表格4。

表4

該表中第2、3列是自由度，第4列是P值.可見顯著性P值均小于0.05，說明不同濃度下，硫酸鋁鉀B指標(biāo)的方差是不等的，也即不同濃度對B指標(biāo)是有影響的。

4.3 單因素方差分析

同樣利用SPSS軟件可得如下表5。

表5

該表的第2列看出，組間離差平方和為7836.941，組內(nèi)離差平方和為445.762，總的離差平方和為8282.703，第4列組間均方為1567.388遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)均方14.379。反映出不同濃度對硫酸鋁鉀B指標(biāo)顏色讀數(shù)具有顯著性影響。同時從最后一列顯著性P值均小于0.05看，各組之間均有很明顯差別，驗證了顏色讀數(shù)受濃度影響大。

由此，通過單因素方差分析，可得出結(jié)論物質(zhì)濃度與顏色讀數(shù)具有顯著性相關(guān)。但以上分析僅為硫酸鋁鉀指標(biāo)B的分析結(jié)果，對于其余四項指標(biāo)G、R、H、S完全可使用同樣的模型并利用SPSS軟件進(jìn)行驗證。

5 結(jié) 語

綜上所述，基于實驗中所給出的數(shù)據(jù)，首先利用因子分析的方法進(jìn)行求解并得出結(jié)論，然后利用單因素方差分析驗證了因子分析結(jié)果的正確性。即物質(zhì)濃度對顏色讀數(shù)具有顯著影響。為比色法的研究進(jìn)一步提供了理論基礎(chǔ)。