陳彥恒 賈松芳

【摘要】給出了無窮小和差極限的等價(jià)替換定理，在此基礎(chǔ)上給出了底數(shù)是無窮小和差，指數(shù)是無窮小和差的冪指函數(shù)的等階替換定理，推廣了前人的結(jié)果，并通過具體例題說明它們的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】和差極限 冪指極限 等價(jià)無窮小替換

【基金項(xiàng)目】該文由重慶市教委科研資助項(xiàng)目（KJ1710254），重慶三峽學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目（14ZD16），重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教改項(xiàng)目資助。

【中圖分類號(hào)】O17 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）27-0118-02

在求某些極限的過程中，利用等價(jià)無窮小替換定理，往往能夠簡化極限的計(jì)算過程，給極限求解帶來方便，因而等價(jià)無窮小是簡化極限運(yùn)算的有力工具。在微積分教學(xué)過程中，教師往往只強(qiáng)調(diào)函數(shù)乘除極限中可以應(yīng)用等價(jià)無窮小替換求極限，同時(shí)也叮囑千萬不要在函數(shù)和差極限中應(yīng)用，否則將會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。該文給出了無窮小的和差極限可以用等價(jià)無窮小替換的條件，并在此基礎(chǔ)上探討了等價(jià)無窮小替換在冪指函數(shù)極限中的應(yīng)用，推廣了文獻(xiàn)[1-2]的結(jié)果。為了方便，該文僅對自變量趨于有限值情形給出相關(guān)結(jié)論，對自變量趨于無窮大的情形不再贅述但相關(guān)結(jié)論也是成立的，其它未說明的數(shù)學(xué)符號(hào)與文獻(xiàn)[3-4]保持一致。

1.等價(jià)無窮小替換在函數(shù)和差極限中的應(yīng)用

由等價(jià)無窮小替換定理，我們知道等價(jià)無窮小替換只能做無窮小的因式替換，沒有涉及到無窮小的和差替換。很容易舉出反例說明無窮小的和差替換一般是不正確的。例如文獻(xiàn)[3]中的第72頁的第9（4）題，如果如下計(jì)算：

= =0

那肯定是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，

= （1-cosx）·

= · =

那么在什么條件下，無窮小的和差能進(jìn)行無窮小的替換呢？我們得到下面無窮小和差的等價(jià)替換定理：

定理1 設(shè)g（x），g （x），h（x），h （x）在 （x ）上有定義，且當(dāng)x→x 時(shí)，g（x）～g （x），h（x）～h （x），若 =k，則

（1）當(dāng)k≠1時(shí)，有g(shù)（x）-h（x）～g （x）-h （x）（x→x ）；

（2）當(dāng)k≠-1時(shí)，有g(shù)（x）+h（x）～g （x）+h （x）（x→x ）。

證明：由于g（x）+h（x）寫成g（x）-（-h（x）），所以（2）可以轉(zhuǎn)化為（1），從而只需證明（1）即可。

由無窮小量的性質(zhì)易知g（x）-h（x），g （x）-h （x）都是x→x 的無窮小量。

由于k≠1，從而 = = =1，

所以當(dāng)x→0時(shí)，g（x）-h（x）～g （x）-h （x）。

值得說明的是，當(dāng)k為無窮大時(shí)，定理1的結(jié)論仍然成立。

例1 求極限

解 當(dāng)x→0時(shí)，ln（1+x）～x，arcsinx～x，e -1～x，arctanx～x且

=2≠1， = =1≠-1，

根據(jù)定理1，定理2得

= = = 。

當(dāng)然例1也可以利用洛必達(dá)法則求得極限，但計(jì)算過程會(huì)非常繁瑣，充分的體現(xiàn)了定理1的重要性。

2.等價(jià)無窮小替換在冪指函數(shù)極限中的應(yīng)用

形如y=u（x） 的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其中u（x）>0。求這類函數(shù)極限的一般方法是把它轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)e 的極限，再利用洛必達(dá)法則求其極限。在某些冪指函數(shù)極限中，也可以利用等價(jià)無窮小替換來實(shí)現(xiàn)求解，有多位學(xué)者研究了這個(gè)問題并得到下面的結(jié)論：

定理2[2] 設(shè)g（x），g （x），h（x），h （x）在x 的空心鄰域 （x ）上有定義且g（x）>0，g （x）>0。若當(dāng)x→x 時(shí)，g（x）～g （x），h（x）～h （x），則

g（x） = g （x）

由定理1和定理2可得如下定理，即底數(shù)是無窮小和差，指數(shù)是無窮小和差的冪指函數(shù)的等階無窮小替換定理，它是定理2的一個(gè)推廣。

定理3 設(shè)f（x），f （x），g（x），g （x），h（x），h （x），r（x），r （x）在 （x ）上有定義且g（x）±h（x）>0，g （x）±h （x）>0。若x→x 時(shí)，f（x）～f （x），g（x）～g （x），h（x）～h （x），r（x）～r （x），且 =k， =l，則

（1）當(dāng)k≠1，l≠1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（2）當(dāng)k≠-1，l≠-1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x）） ；

（3）當(dāng)k≠1，l≠-1，有

（g（x）-h（x）） = g （x）-h （x）） ；

（4）當(dāng)k≠-1，l≠1，有

（g（x）+h（x）） = g （x）+h （x））

需要注意的是，當(dāng)k，l為無窮大時(shí)，定理3的結(jié)論仍然成立。

例2 求極限 （arctanx+sinx） 。

解 當(dāng)x→0 時(shí)，arctanx～x，sinx～x，arcsinx～x且滿足定理3的（2）的條件，所以 （arctanx+sinx） = （2x） = 2 · （x ） =1。

例3 求極限 （arcsin x+e -1）

解 當(dāng)x→0時(shí)，ln（1+x ）～x ，arcsin x～x ，e -1～x ，arctan x～x 且 =2≠1， = =1≠-1

從而由定理3的（4）得 （arcsin x+e -1） = （2x ） = 2 · （x ） =1。

通過上面的討論，我們知道在一定的條件下，等價(jià)無窮小替換不僅可以在無窮小的和差極限中替換，還可以在底數(shù)是無窮小和差，指數(shù)是無窮小和差的冪指函數(shù)極限中替換，不僅拓寬了等價(jià)無窮小替換的使用范圍，同時(shí)也將會(huì)給某些極限帶來很多方便，比如簡化運(yùn)算過程，減少計(jì)算量等。當(dāng)然在教學(xué)中，可以有意識(shí)地讓學(xué)生來“發(fā)現(xiàn)”上述幾個(gè)定理，這對于拓展學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力是有百益而無一害的。

參考文獻(xiàn)：

[1]崔玉珍.關(guān)于冪指函數(shù)極限計(jì)算中等價(jià)代換問題的研究.河北地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào)，1993（3）：304-307.

[2]陳茜，舒慧穎.淺析冪指函數(shù)的極限問題[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（4）：8-10.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）（第七版）北京：高等教育出版社，2014.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）北京：高等教育出版社，2008.

作者簡介：

陳彥恒（1980-），男，漢族，河南西平人，副教授，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)的教育教學(xué)工作。