向?明，王?智，王德倫，吳南星

?

回轉(zhuǎn)副測(cè)量安裝位姿不確定性影響分析與評(píng)價(jià)

向?明1, 2，王?智1，王德倫1，吳南星2

(1. 大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，大連 116024；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333001)

將測(cè)量?jī)x軸線(xiàn)矢量描述為直紋面的直母線(xiàn)，直母線(xiàn)隨回轉(zhuǎn)軸一起誤差運(yùn)動(dòng)，其軌跡形成直紋面，通過(guò)建立的直紋面幾何模型分析測(cè)量?jī)x安裝位姿不確定性對(duì)測(cè)量結(jié)果影響，并提出一種消除儀器安裝位姿不確定性影響的評(píng)價(jià)新方法．定義了球面像誤差和腰線(xiàn)誤差去描述直紋面的誤差運(yùn)動(dòng)范圍，并通過(guò)優(yōu)化得到全局不變量．采用全局不變量對(duì)主軸誤差運(yùn)動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)具有唯一性，可以剔除安裝位姿不確定對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響．通過(guò)Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量?jī)x實(shí)際測(cè)量得到主軸誤差運(yùn)動(dòng)參數(shù)，通過(guò)3次安裝實(shí)驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證該方法的有效性．

運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)；直紋面；不確定性；回轉(zhuǎn)副；誤差運(yùn)動(dòng)

回轉(zhuǎn)軸在真實(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中做六自由度誤差運(yùn)動(dòng)．在ASME標(biāo)準(zhǔn)B89.3.4中，介紹了回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)(error motion)的測(cè)量方法與分析[1]．標(biāo)準(zhǔn)中定義了回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)為軸線(xiàn)偏離平均軸線(xiàn)的程度[2-3]. Anandan等[4]采用激光測(cè)量高轉(zhuǎn)速主軸的誤差運(yùn)動(dòng)，并對(duì)測(cè)量不確定性的影響因素進(jìn)行研究．陳衡等[5]對(duì)超精密主軸進(jìn)行測(cè)量，并通過(guò)試驗(yàn)分析了影響測(cè)量結(jié)果不確定性的因素．崔中等[6]建立柔性體動(dòng)力學(xué)模型研究高速磨床主軸精度，對(duì)其不確定性進(jìn)行數(shù)值模擬和研究．文獻(xiàn)[7-9]研究測(cè)量中不確定度評(píng)定方法和影響因素．為了獲得實(shí)測(cè)環(huán)節(jié)中的各測(cè)量因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，艾燁霜等[10]采用反演方法進(jìn)行數(shù)值模擬研究遙感測(cè)量中的影響因素．

在主軸測(cè)量過(guò)程中有許多影響因素導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的不確定性，其影響因素自身也具有不確定性．本文關(guān)注測(cè)量?jī)x安裝位姿的不確定性對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響．標(biāo)準(zhǔn)[2-3]中介紹了在平面內(nèi)測(cè)量中，儀器安裝偏心會(huì)產(chǎn)生心形線(xiàn)，在評(píng)價(jià)結(jié)果時(shí)需要消除安裝偏心對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響．武利生等[11]研究如何消除CCD平面與被測(cè)尺寸平面不平行而帶來(lái)的測(cè)量誤差．林清鋒等[12]分析了球桿儀的安裝位置對(duì)測(cè)量誤差的影響規(guī)律，提出了一種安裝誤差分離的方法．

上述文獻(xiàn)說(shuō)明安裝不確定性與精度測(cè)量不確定性有著密切關(guān)聯(lián)．在分析和研究回轉(zhuǎn)誤差運(yùn)動(dòng)中，王德倫等[13-15]以運(yùn)動(dòng)微分幾何學(xué)為基礎(chǔ)，提出定軸圓柱、定軸回轉(zhuǎn)、定軸螺旋運(yùn)動(dòng)不變量的表達(dá)式．本文采用Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)試獲得主軸誤差運(yùn)動(dòng)參數(shù)．建立描述回轉(zhuǎn)誤差運(yùn)動(dòng)的直紋面運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)模型，通過(guò)誤差運(yùn)動(dòng)的反演，分析儀器軸線(xiàn)矢量的位置和方向不確定性對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響．定義了球面像誤差和腰線(xiàn)誤差概念去描述誤差運(yùn)動(dòng)的角擺誤差和位移誤差．通過(guò)優(yōu)化得到固定坐標(biāo)系上最小球面像誤差矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量．最小球面像矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量是全局不變量，具有唯一性．采用全局不變量對(duì)回轉(zhuǎn)副誤差運(yùn)動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，可以剔除儀器安裝位姿不確定性對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響.

1?回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)模型

回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)描述為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的六自由度誤差運(yùn)動(dòng)．其誤差運(yùn)動(dòng)變換矩陣可以通過(guò)離散測(cè)量得到．本文采用車(chē)床主軸作為回轉(zhuǎn)軸測(cè)量實(shí)例，采用Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)試儀進(jìn)行實(shí)際測(cè)試．雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量?jī)x軸線(xiàn)表示為直紋面的直母線(xiàn)，離散測(cè)量得到的直母線(xiàn)在空間中的軌跡形成直紋面．

1.1?運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與運(yùn)動(dòng)幾何模型

如圖1所示，沿主軸方向?yàn)閒軸方向，在理想加工過(guò)程中，車(chē)床主軸繞f軸旋轉(zhuǎn)，其他5個(gè)自由度被約束．但是在實(shí)際工況中，主軸做無(wú)規(guī)律誤差運(yùn)動(dòng)，對(duì)于回轉(zhuǎn)誤差運(yùn)動(dòng)通常采用5個(gè)自由度的誤差運(yùn)動(dòng)來(lái)描述(不關(guān)注繞f軸的誤差運(yùn)動(dòng))．

圖1?誤差運(yùn)動(dòng)幾何模型

???(1)

?????(2)

???(3)

1.2?主軸誤差運(yùn)動(dòng)測(cè)量的幾何方程

圖2?雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量圖

在固定坐標(biāo)系中，有閉環(huán)矢量方程

???(4)

(5)

1.3?車(chē)削主軸測(cè)試與直紋面

采用雙標(biāo)準(zhǔn)球精度測(cè)試儀進(jìn)行車(chē)床CKD6136主軸測(cè)量，轉(zhuǎn)速100,r/min．雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量?jī)x球體圓度誤差小于50,nm，非接觸測(cè)量距離值范圍為50,μm．將雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)試儀安裝在臥式車(chē)床上，如圖3所示．

圖3?車(chē)削誤差運(yùn)動(dòng)測(cè)量實(shí)驗(yàn)

Fig.3 Measurement experiment of turning error motion

根據(jù)式(1)～(5)計(jì)算并繪制出雙標(biāo)準(zhǔn)球、兩球在空間運(yùn)動(dòng)形成的直紋面．如圖4(a)所示上述測(cè)量結(jié)果得到主軸誤差運(yùn)動(dòng)的直紋面，圖4(b)、(c)為主軸誤差運(yùn)動(dòng)的腰點(diǎn)和球面像(去除安裝方向誤差).

圖4?直紋面及其腰點(diǎn)和球面像

Fig.4 Ruled surface and its spherical image points and striction points

2?直紋面的誤差運(yùn)動(dòng)參數(shù)

在運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)[14-15]中，球面像和腰線(xiàn)是描述直紋面性質(zhì)參數(shù)．給出球面像誤差和腰線(xiàn)誤差的定義和計(jì)算方法，對(duì)應(yīng)為誤差運(yùn)動(dòng)中的角擺誤差和位置誤差.

2.1?離散誤差運(yùn)動(dòng)的球面像和腰線(xiàn)

???(6)

直紋面的腰點(diǎn)處公垂線(xiàn)：在固定坐標(biāo)系中直紋面腰線(xiàn)計(jì)算公式為

???(7)

(8)

2.2?球面像誤差和腰線(xiàn)誤差

在分析回轉(zhuǎn)誤差運(yùn)動(dòng)時(shí)需要進(jìn)行方向誤差和位置誤差的擬合，得到回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的擬合軸線(xiàn)，擬合軸線(xiàn)分為方向擬合和位置擬合兩步完成．軸線(xiàn)方向擬合函數(shù)為

???(9)

軸線(xiàn)位置擬合函數(shù)表示為

???(10)

為了描述誤差運(yùn)動(dòng)的方向與距離變化范圍，定義了球面像誤差和腰線(xiàn)誤差概念．

圖5?球面像誤差示意

圖6?腰線(xiàn)誤差示意

球面像誤差和腰線(xiàn)誤差在幾何意義上直觀(guān)地表達(dá)了方向和位置誤差范圍，建立了運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)與剛體誤差運(yùn)動(dòng)的幾何聯(lián)系．

3?測(cè)量?jī)x安裝不確定性對(duì)測(cè)量結(jié)果影響分析

安裝在卡盤(pán)上的矢量可抽象表示為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的矢量．如圖7所示，在卡盤(pán)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中有兩矢量.

圖7?運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系上的兩個(gè)矢量

每次安裝時(shí)，測(cè)量矢量都不會(huì)重復(fù)上一次安裝的位置和方向，這就是儀器安裝的不確定性．如圖8所示，設(shè)置兩個(gè)位置不同矢量，矢量端點(diǎn)[0，7.5mm，1.0mm]和[20×103mm，7.5,mm，1,mm]，矢量端點(diǎn)[0，7.5,mm，4.0,mm]和[20×103mm，7.5,mm，4.0,mm]，對(duì)比兩個(gè)矢量，通過(guò)誤差運(yùn)動(dòng)的反演，即通過(guò)式(1)～(3)可得到不同的直紋面．

由于每次測(cè)量?jī)x器安裝矢量不確定性，對(duì)于相同的主軸誤差運(yùn)動(dòng)，其直接測(cè)量值會(huì)有所不同．那么，在測(cè)得主軸誤差運(yùn)動(dòng)后，如何消除安裝矢量不確定性對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響呢？

圖8?兩個(gè)相同球面像的矢量

如圖9(a)為矢量所形成的直紋面，9(b)為矢量所形成的直紋面．從圖可以看出工件安裝在卡盤(pán)不同的位置得到的直紋面是不同的．同時(shí)，其球面像誤差和腰線(xiàn)誤差也是不同的．

圖9?兩個(gè)工件安裝位置矢量的直紋面

4?全局不變量與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

從上述分析中可以看出，對(duì)于相同的誤差運(yùn)動(dòng)變換矩陣，即在相同的誤差運(yùn)動(dòng)情況下，測(cè)量?jī)x器的安裝位置和方向?qū)τ跍y(cè)量結(jié)果會(huì)產(chǎn)生影響．本節(jié)通過(guò)優(yōu)化方法得到最小球面像誤差矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量，最小球面像誤差矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量為全局不變量，具有唯一性．

4.1?最小球面像誤差矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量

如圖4的直紋面測(cè)量，通過(guò)優(yōu)化方法可得到球面像誤差最小矢量，其優(yōu)化方程可表示為

???(11)

如圖4的直紋面測(cè)量，通過(guò)優(yōu)化方法同樣可得到腰線(xiàn)誤差最小矢量，其優(yōu)化方程可表示為

???(12)

通過(guò)上述分析可得到最小球面像誤差矢量和最小腰線(xiàn)誤差矢量，其值具有唯一性．其物理意義可以理解為儀器矢量最佳安裝位姿，當(dāng)儀器安裝矢量與最佳安裝位姿重合時(shí)，其測(cè)得直紋面角擺(球面像)誤差和位置(腰線(xiàn))誤差值為全局最小值．并且全局不變量可以通過(guò)反演計(jì)算得到，不需要調(diào)整儀器矢量位姿，即測(cè)量結(jié)果可以排除安裝位姿不確定性的影響．

4.2?兩次安裝對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響

通過(guò)優(yōu)化得到儀器矢量最佳安裝位姿．針對(duì)同一機(jī)床主軸，3次安裝雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量?jī)x并測(cè)量，求得第2次球面像誤差和腰線(xiàn)誤差，并將第1次、第2次和第3次計(jì)算結(jié)果兩兩對(duì)比，得到最大差值百分比，如表1所示．

表1?3次安裝所得直紋面球面像誤差和腰線(xiàn)誤差

Tab.1 Error of the spherical surface and the waist line from the three installations

由于主軸本身誤差運(yùn)動(dòng)具有不確定性．所以，通過(guò)3次測(cè)量并以不變量進(jìn)行描述同一主軸誤差運(yùn)動(dòng)時(shí)，球面像誤差最大相差4.41%,，腰線(xiàn)誤差最大相差1.96%,．

5?結(jié)?論

(1) 建立描述回轉(zhuǎn)副誤差運(yùn)動(dòng)的直紋面模型，全面、直觀(guān)地描述測(cè)量?jī)x器安裝矢量的空間誤差運(yùn)動(dòng)．通過(guò)直紋面模型，采用反演方法可以分析得到儀器安裝矢量對(duì)回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律．提出了一種新的回轉(zhuǎn)副評(píng)價(jià)方法，該方法可以消除儀器安裝位姿不確定性對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響．

(2) 從運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)角度定義了球面像誤差和腰線(xiàn)誤差概念對(duì)應(yīng)回轉(zhuǎn)軸誤差運(yùn)動(dòng)的角擺和位置誤差，建立了運(yùn)動(dòng)幾何學(xué)與剛體誤差運(yùn)動(dòng)的幾何聯(lián)系．

(3) 通過(guò)建立誤差運(yùn)動(dòng)分析模型，優(yōu)化找到了最小腰線(xiàn)誤差和最小球面像誤差矢量，對(duì)應(yīng)儀器矢量最佳安裝位姿．從運(yùn)動(dòng)幾何角度分析了最小腰線(xiàn)誤差和最小球面像誤差矢量具有唯一性．

(4) 本文通過(guò)Lion公司的雙標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)試儀實(shí)際測(cè)量得到主軸誤差運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)3次安裝測(cè)量同一主軸誤差運(yùn)動(dòng)，計(jì)算最小腰線(xiàn)誤差和最小球面像誤差矢量，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行,．

［1］ ASME B89. 3. 4—2010.：[M]. New York：ASME，2010.

［2］ ISO 13041-6：2009. Test Conditions for Numerically Controlled Turning Machines and Turning Centers-Part 6：Accuracy of a Finished Test Piece[S]. ISO，2009.

［3］ ISO 10791-1：2015. Test Conditions for Machining Centers-Part 1：Geometric Tests for Machines with Horizontal Spindle[S]. ISO，2015.

［4］ Anandan K P，Tulsian A S，Donmez A，et al. A technique for measuring radial error motions of ultra-high-speed miniature spindles used for micromachining[J].，2012，36(1)：104-120.

［5］ 陳?衡，胡?秋，許耀宇. 基于反轉(zhuǎn)法的超精密氣體主軸回轉(zhuǎn)精度測(cè)量不確定度研究[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2017(4)：10-13.

Chen Heng，Hu Qiu，Xu Yaoyu. Uncertainty evaluation of aerostatic spindle rotation accuracy by Donaldson reversal method[J].，2017(4)：10-13(in Chinese).

［6］ 崔?中，文桂林，趙子衡，等. 基于區(qū)間數(shù)的高速磨床主軸系統(tǒng)的不確定性?xún)?yōu)化研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，37(8)：29-34.

Cui Zhong，Wen Guilin，Zhao Ziheng，et al. The uncertain structural optimization based on interval number program for the spindle system of high speed grinder[J].：，2010，37(8)：29-34(in Chinese).

［7］ 程銀寶，陳曉懷，王漢斌，等. 基于精度理論的測(cè)量不確定度評(píng)定與分析[J]. 電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2016，30(8)：1175-1182.

Cheng Yinbao，Chen Xiaohuai，Wang Hanbin，et al. Measurement uncertainty estimation and analysis based on accuracy theory[J].，2016，30(8)：1175-1182(in Chinese).

［8］ 陳曉懷，王漢斌，程銀寶，等. 基于測(cè)量不確定度的產(chǎn)品檢驗(yàn)中誤判率計(jì)算[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2015，26(14)：1847-1850.

Chen Xiaohuai，Wang Hanbin，Cheng Yinbao，et al. Calculation of misjudgment probability in product tests based on measurement uncertainty[J].2015，26(14)：1847-1850(in Chinese).

［9］ 程銀寶，陳曉懷，王漢斌，等. CMM尺寸測(cè)量的不確定度評(píng)定模型研究[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào)，2016，37(5)：462-466.

Cheng Yinbao，Chen Xiaohuai，Wang Hanbin，et al. Research on uncertainty estimation modeI of CMM for size measurement[J].，2016，37(5)：462-466(in Chinese).

［10］ 艾燁霜，沈永林. 顧及測(cè)量不確定性的水體懸浮物濃度遙感定量反演方法[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào)，2016，36(7)：10-20.

Ai Yeshuang，Shen Yonglin. Measurement uncertainty-aware quantitative remote sensing inversion to retrieve suspended matter concentration in inland water[J].，2016，36(7)：10-20(in Chinese).

［11］ 武利生，楊麗鳳，李元宗. CCD尺寸檢測(cè)中安裝誤差對(duì)測(cè)量精度的影響[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)，2005，26(10)：1093-1096.

Wu Lisheng，Yang Lifeng，Li Yuanzong. Effect of alignment error to measurement accuracy in CCD dimension measuring system[J].，2005，26(10)：1093-1096(in Chinese).

［12］ 林清鋒，林述溫. 球桿儀安裝誤差對(duì)測(cè)量誤差的影響規(guī)律及其分離方法[J]. 工具技術(shù)，2014，48(9)：81-85.

Lin Qingfeng，Lin Shuwen. Influence and separation of set up errors of double ball bar on geometric error measurement[J].，2014，48(9)：81-85(in Chinese).

［13］ Wang D，Wang Z，Wu Y，et al. Invariant errors of discrete motion constrained by actual kinematic pairs[J].，2017，119：74-90.

［14］ Wang D，Wang W.[M]. New York：John Wily & Sons，2015.

［15］ 王德倫，汪?偉. 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分幾何學(xué)分析與綜合[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015.

Wang Delun，Wang Wei.[M]. Beijing：China Machine Press，2015(in Chinese).

(責(zé)任編輯：孫立華)

Analysis and Evaluation of Installation Uncertainty in Rotary Pair Measurement

Xiang Ming1，2，Wang Zhi1，Wang Delun1，Wu Nanxing2

(1. School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China； 2. School of Mechanical and Electrical Engineering，Jingdezhen Ceramic Institute，Jingdezhen 333001，China)

The axis of two master balls is expressed as straight generatrix of a ruled surface. The straight generatrix traces a ruled surface along with the error motion of spindle. The paper presents a new ruled surface model to describe the error motion and analyze the influence of measuring equipment installation error on measurement results. Based on the analysis，a new method of evaluation is formed that can eliminate the influence of equipment installation error on measurement results. The spherical image error and the striction error are defined as parameters to describe the range of the error motion. The minimum spherical image error vector and the minimum waist line error vector are obtained by traversing the vectors on all the discrete points in the moving coordinate system. The influence of equipment installation error on measurement results can be eliminated by using the best position and attitude vector. The error motion measurement is obtained by actual measurement of the two master balls of Lion Corporation. The feasibility of the method is verified by three contrast tests.

kinematic geometry；ruled surface；uncertainty；rotary pair；error motion

the National Natural Science Foundation of China(No.51775079).

TH122

A

0493-2137(2018)11-1210-07

2018-03-28；

2018-05-01.

向?明（1977—??），男，博士研究生.

向?明，xiangmingjx@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51775079).

10.11784/tdxbz201803104