劉佳玥， 李翠香

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河北 石家莊 050024)

自20世紀(jì)70年代以來，金融衍生產(chǎn)品在全球范圍內(nèi)迅猛發(fā)展，期權(quán)的定價(jià)問題越來越引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)家及金融學(xué)家的重視。1900年，法國數(shù)學(xué)家Bachelier[1]首先提出了關(guān)于期權(quán)定價(jià)的問題。1973年，Black和Scholes[2]第一次提出了期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型(以下簡稱B-S模型)，并進(jìn)一步得出了歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格公式。但是，B-S模型中的一些假設(shè)并不能完全反映實(shí)際市場中的某些現(xiàn)象，為了使期權(quán)的定價(jià)模型更加貼合實(shí)際市場，許多學(xué)者對B-S模型進(jìn)行了擴(kuò)展，比如，將常數(shù)參數(shù)擴(kuò)展為關(guān)于t的確定函數(shù)。2008年，劉海媛等[3]研究了參數(shù)與時(shí)間有關(guān)的幾種新型期權(quán)的定價(jià)。近幾年，跳擴(kuò)散模型下的期權(quán)定價(jià)成為了研究熱點(diǎn)。Merton[4]最早提出了期權(quán)定價(jià)的跳擴(kuò)散模型。2012年，李翠香等[5]得到了基于隨機(jī)利率下跳-擴(kuò)散過程的復(fù)合期權(quán)定價(jià)。2017年，耿延靜[6]研究了跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的定價(jià)。袁國軍等[7]、鄧國和[8]、Ren Xue-min等[9]、Vipul Kumar Singh[10]也都得到了期權(quán)定價(jià)的重要結(jié)論。本文主要研究跳擴(kuò)散模型下乘積期權(quán)的定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識

乘積期權(quán)是以兩個資產(chǎn)的價(jià)格或者股票指數(shù)的乘積作為標(biāo)的物執(zhí)行的期權(quán)。資產(chǎn)價(jià)值為S1(t),S2(t)，到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的看漲與看跌乘積期權(quán)在到期日的收益分別為

c(S1(T),S2(T))=max(S1(T)S2(T)-K,0),

p(S1(T),S2(T))=max(K-S1(T)S2(T),0)。

乘積期權(quán)有兩個主要的應(yīng)用，一個是外股本幣期權(quán)，另一個是公司收入期權(quán)。2014年，Zhang P G[11]得到了普通歐式乘積期權(quán)的定價(jià)公式。

本文設(shè)(Ω,F,{Ft},Q)為帶有域流{Ft}的概率測度空間，其中Ω為樣本集合，F(xiàn)為Ω生成的σ域，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測度，{Ft}為本文所涉及到的隨機(jī)過程所生成的域流。假設(shè)乘積期權(quán)的資產(chǎn)價(jià)格Si(t)服從如下隨機(jī)微分方程(簡稱SDE)：

(1)

2 跳擴(kuò)散模型下乘積期權(quán)的定價(jià)

首先介紹幾個重要的引理。

引理1[12](Ito’s引理) 設(shè)Xi(t)(i=1,2,…,n)是具有如下隨機(jī)微分形式的Ito’s過程:

dXi(t)=μi(t)dt+σi(t)dWi(t),i=1,2,…,n，

其中Wi(t)為布朗運(yùn)動，若n元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

引理2 若隨機(jī)變量X是測度Q下期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布變量，即X～N(μ,σ2)，則

(2)

其中N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)。

由此引理2得證。

引理3 假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格Si(t)(i=1,2)服從SDE(1)，則

(3)

其中當(dāng)Qi(T)

證明當(dāng)Si(u)在[0,t]內(nèi)沒有發(fā)生跳躍時(shí)，則由引理1可知：當(dāng)u∈(0,t)時(shí)，

兩邊從0到t積分得

假設(shè)只在T1∈[0,t]時(shí)刻發(fā)生了一次跳躍，則

因此

當(dāng)跳躍次數(shù)為Qi(t)時(shí)，則

從而有

由此引理3得證。

定理1 設(shè)乘積期權(quán)的兩資產(chǎn)S1(t),S2(t)服從SDE(1)，則到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的看漲乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

[S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(d1)-KN(d2)],

其中利率r(u)為關(guān)于時(shí)間u的確定函數(shù)，u∈[t,T]，

證明由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理可得

(4)

首先計(jì)算I2，令

則由引理3得

S1(T)S2(T)=S1(t)S2(t)exp{A(t,T)+Y(t,T)}。

(5)

由布朗運(yùn)動及Possion過程的獨(dú)立增量性可知

得

由此得

,T,λ1,m1)b(t,T,λ2,m2)KN(d2)。

(6)

下面計(jì)算I1。由式(5)及布朗運(yùn)動和Possion過程的獨(dú)立增量性可知

由此得

,T,λ1,m1)b(t,T,λ2,m2)S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(d1)。

(7)

結(jié)合式(4)、(6)和(7)定理1得證。

定理2 設(shè)乘積期權(quán)的兩資產(chǎn)S1(t),S2(t)服從SDE(1)，則到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的看跌乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

[KN(-d2)-S1(t)S2(t)exp{M(t,T)}N(-d1)],

參數(shù)記號同定理1。

推論1 在SDE(1)中，當(dāng)μi(t)=μi,σi(t)=σi均為常數(shù)，λi=0時(shí)，乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

c0(S1(t),S2(t))=e-rτ[S1(t)S2(t)eμτN(d10)-KN(d20)],

p0(S1(t),S2(t))=e-rτ[KN(-d20)-S1(t)S2(t)eμτN(-d10)],

其中

證明把μi(t)=μi,σi(t)=σi,λi=0代入定理1和定理2可得推論1。

注推論1正是文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果。

本文假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從帶跳的幾何布朗運(yùn)動，利用Ito’s積分的性質(zhì)得到乘積期權(quán)的定價(jià)公式。因?yàn)檫@個模型更符合現(xiàn)實(shí)市場的實(shí)際情況，所以研究更具有實(shí)際意義。