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        關(guān)于N(2,2,0)代數(shù)的廣義交換性

        2018-11-06 04:53:12鄧方安
        關(guān)鍵詞:蘊涵正整數(shù)正則

        鄧方安

        (陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

        許多學(xué)者使用代數(shù)工具對模糊邏輯進行了研究,給出模糊邏輯的代數(shù)抽象(如偏序集上的蘊涵代數(shù)),研究偏序集上蘊涵代數(shù)與其他代數(shù)結(jié)構(gòu)(如MV-代數(shù)、Heyting代數(shù))之間的關(guān)系,以及偏序集上蘊涵代數(shù)的濾子與其結(jié)構(gòu)等。1996年,筆者在研究模糊蘊涵代數(shù)時,提出了一個與著名的Hilbert第十問題H10有關(guān)的、比DA重寫系統(tǒng)更廣泛的代數(shù)系統(tǒng),稱為N(2,2,0)代數(shù)[1]。并證明了:在一個N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中,若*運算冪等,則(S,*,Δ,0)就是DA重寫系統(tǒng),此時N(2,2,0)代數(shù)的合一問題是不可判定的;若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)關(guān)于Δ運算冪零,則(S,Δ,0)是一個結(jié)合的BCI-代數(shù)。后來,有學(xué)者相繼研究了N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元[2]、中間單位[3]、理想與關(guān)聯(lián)理想[4]、正則半群[5]、RC-半群[6]以及E-反演半群[7]等問題。本文主要討論N(2,2,0)代數(shù)的交換性、廣義交換性。

        1 預(yù)備知識

        定義1.1[1]設(shè)S是含常元0的集合。在S中定義兩個二元運算*和Δ,若滿足以下公理:?x,y,z∈S,

        (F1)x*(yΔz)=z*(x*y);

        (F2) (xΔy)*z=y*(x*z);

        (F3) 0*x=x;

        則稱(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)。

        定理1.1[1]在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中,?x,y,z∈S,恒有下列等式成立:

        (F4)x*y=yΔx;

        (F5) (x*y)*z=x*(y*z), (xΔy)Δz=xΔ(yΔz);

        (F6)x*(y*z)=y*(x*z), (xΔy)Δz=(xΔz)Δy。

        推論1.2[1]若(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群。

        2 主要結(jié)果

        定義2.1[8]設(shè)S是一個半群,?(a,b)∈S×S,如果存在一個元素u∈S,使得ab=bau,則稱S是一個R-交換半群。

        定義2.2[8]一個半群S,?(a,b)∈S,如果有ab=ba成立,則必有

        axb=bxa, ?x∈S

        成立,則稱S為條件交換半群。

        定義2.3[9]如果一個半群S既是R-交換半群,又是條件交換半群,則稱S是RC-交換半群。

        定義2.4[9]設(shè)S是一個半群,?(x,y)∈S×S,如果滿足x2yx=xyx2,則稱S是一個廣義條件交換半群(簡記GC-交換半群)。

        定義2.5[10]設(shè)S是一個半群,對任意一對(x,y)∈S×S和每一個正整數(shù)n,如果有一個正整數(shù)m,使得(xy)n+m=xnyn(xy)m=(xy)mxnyn,則稱S是一個弱指數(shù)半群。

        定理2.1 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)中,如果?a∈S,有a*a=0成立,則半群(S,*,0)是一個R-交換半群。

        證明由假設(shè),在半群(S,*,0)中,?a∈S,有a*a=0,則

        且由F6易得,?a,b∈S,有

        a*b=a*(b*0)=b*(a*0)=b*a,

        同理可得:此種情況下(S,Δ,0)也是一個R-交換半群。

        定理2.2N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是條件交換半群。

        證明?a,b,x∈S,若有a*b=b*a成立,則有

        x*(a*b)=x*(b*a)?a*(x*b)=b*(x*a)?a*x*b=b*x*a,

        因此(S,*)是一個條件交換半群。

        由定理2.1和定理2.2及定義2.3得到如下結(jié)論:

        定理2.3 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的每一個半群(S,*,0)中,如果?a∈S,有a*a=0成立,則半群(S,*,0)是一個RC-交換半群。

        定理2.4N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)都是廣義條件交換半群。

        證明由定理1.1知在半群(S,*,0)中,?x,y,z∈S有

        x*(y*z)=y*(x*z)

        成立,于是?(x,y)∈S×S,有x2*y*x=x*x*y*x=x*y*x*x=x*y*x2成立,因此(S,*,0)是一個廣義條件交換半群。

        定理2.5 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)中,?(x,y)∈S×S和任意正整數(shù)m,n有:

        (1)xn*y*x=x*y*xn;

        (2) (x*y)m*xn*yn=xn*yn(x*y)m。

        定理2.6[8]一個GC-交換半群S是一個弱指數(shù)廣義交換半群,當(dāng)且僅當(dāng)對任意一對(x,y)∈S×S,存在一個正整數(shù)m,使得(xy)m+2=x2y2(xy)m。

        定理2.7N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)一定是弱指數(shù)廣義交換半群。

        證明由N(2,2,0)代數(shù)的性質(zhì)知,對任意一對(x,y)∈S×S和任意正整數(shù)m都有

        (x*y)m+2= (x*y)2*(x*y)m=(x*y*x*y)*(x*y)m=

        (x*x*y*y)*(x*y)m=x2*y2*(x*y)m,

        因此,N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)一定是弱指數(shù)廣義交換半群。

        定義2.6[9]一個半群S,?a,b,x,y∈S,如果滿足等式:

        (1)axyb=ayxb,稱為中間半群;

        (2)axy=ayx,稱為右交換半群;

        (3)xya=yxa,稱為左交換半群。

        容易驗證下列兩個定理成立。

        定理2.8N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是中間半群,且(S,*,0)是左交換半群,而(S,Δ,0)是右交換半群。

        定理2.9 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)中分別有下列等式成立:

        (1) (a*b)n=an*bn;

        (2) (aΔb)n=anΔbn。

        定理2.10 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中,下列條件等價:

        (1)x*0=x,?x∈S;

        (2)x*y=y*x,?x,y∈S。

        證明(1)?(2):x*y=x*(y*0)=y*(x*0)=y*x;

        (2)?(1):x*0=0*x=x。

        注:一個N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0),若滿足?x∈S,x*0=x,則(S,*,0)是交換半群,此時*與Δ運算相同,N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)退化為一個交換幺半群,0是一個幺元。

        定理2.11 在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中,若*運算具有冪零性,則下列條件等價:

        (1)x*0=x,?x∈S;

        (2)x*y=0?x=y,?x,y∈S;

        (3)x*y=y*x,?x,y∈S。

        證明(1)?(2):x=0*x=(x*y)*x=x*(y*x)=y*(x*x)=y*0=y;

        (2)?(3):(x*y)*(y*x)=x*(y*(y*x))=x*((y*y)*x)=x*(0*x)=x*x=0,因此,x*y=y*x;

        (3)?(1)由定理2.10可得。

        定義2.7[10]在半群(S,*)中,一個元素a∈S,如果存在x,y∈S,使得x*a2*y=a,則稱a是內(nèi)正則元。如果S的所有元素都是內(nèi)正則元,則稱半群(S,*)是內(nèi)正則半群。

        定義2.8[10]一個正則且是R-交換半群稱為正則R-交換半群。

        定理2.12 若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是一個正則R-交換半群,則(S,*,0)也是內(nèi)正則半群。

        證明設(shè)(S,*,0)是一個正則R-交換半群,由正則性,則對于S的任意元素a∈S,存在x∈S,使得a=a*(x*a),再由R-交換性,則存在y∈S,使得

        a=a*(x*a)=a*(a*x*y)=a2*x*y=x*a2*y,

        于是(S,*,0)也是內(nèi)正則半群。

        3 結(jié)束語

        本文主要討論了N(2,2,0)代數(shù)半群的交換性和廣義交換性,探討了N(2,2,0)代數(shù)的正則R-交換半群與內(nèi)正則半群的關(guān)系,指出了乘法運算具有冪零性的半群一定是交換半群、N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)和(S,Δ,0)都是條件交換半群等結(jié)論。而這種交換性及廣義交換性在非經(jīng)典邏輯中的應(yīng)用將是我們后續(xù)研究的一個方向。

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