代麗麗, 曹春玲

(1. 通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 通化 134002; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

橢圓方程在幾何學(xué)、 電磁學(xué)、 彈性力學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 橢圓方程分為線性與非線性?xún)深?lèi), 目前, 關(guān)于非線性橢圓方程的研究已得到廣泛關(guān)注. 除幾類(lèi)特殊的方程及有特定定解條件的方程外, 給出非線性橢圓方程的顯示解非常困難, 需要通過(guò)其他途徑表達(dá)一個(gè)非線性橢圓方程刻畫(huà)的物理意義及內(nèi)在規(guī)律. 研究非線性橢圓方程解的適定性問(wèn)題, 即研究其解的存在性、 唯一性和正則性等. 目前, 解決該類(lèi)問(wèn)題的方法主要有不動(dòng)點(diǎn)定理、 單調(diào)性方法(也稱(chēng)為上下解方法)、 拓?fù)涠壤碚揫1]、 臨界點(diǎn)理論[2-6]和變分法[7-8]等. 本文考慮一類(lèi)具權(quán)函數(shù)的退化橢圓方程

(1)

解的性質(zhì). 其中:Ω是N(N≥2)中的有界區(qū)域;為加權(quán)的Sobolev空間,ω(x)為權(quán)函數(shù),p是滿(mǎn)足1

(H2)a(x,s,ξ)={ai(x,s,ξ)}1≤i≤N:Ω××N→N是一個(gè)Carathéodory向量值函數(shù), 對(duì)任意的s∈及幾乎所有的x∈Ω和每個(gè)ξ∈N, 以下不等式均成立:

(2)

(3)

[a(x,s,ξ)-a(x,s,η)]·(ξ-η)>0, ?ξ≠η∈N,

(4)

其中:k(x)是Lp′(Ω)中的一個(gè)非負(fù)函數(shù);p-1+(p′)-1=1;c0,c1為正數(shù);

(H3)g(x,s,ξ)是一個(gè)Carathéodory函數(shù), 對(duì)任意的s∈及幾乎所有的x∈Ω和每個(gè)ξ∈N, 滿(mǎn)足

g(x,s,ξ)sgn(s)≥0,

(5)

(6)

其中:b:+→+是一個(gè)連續(xù)增函數(shù);d(x)是L1(Ω)中的非負(fù)函數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

k-Tk(s)定義為

其函數(shù)圖像分別如圖1和圖2所示.

圖1 Tk(s)的函數(shù)圖像Fig.1 Functional image of Tk(s)

圖2 k-Tk(s)的函數(shù)圖像Fig.2 Functional image of k-Tk(s)

引理1[11]設(shè)g∈Lr(Ω,γ),gn∈Lr(Ω,γ), 且‖gn‖Lr(Ω,γ)≤c, 1

引理2[11]假設(shè)條件(H1)成立,G:→是一致Lipschitz連續(xù)函數(shù), 且若G′不連續(xù)點(diǎn)的集合D是有限的, 則

(x,u,u)·vdx,

(7)

(8)

2 主要結(jié)果

對(duì)每個(gè)Ω中的緊子集K, 定義K關(guān)于Ω的p-容量集為

其中:χK是K的特征函數(shù). 記inf ?=+∞.Ω的任意開(kāi)子集U的p-容量集定義為

capp(U,Ω)=sup{capp(K,Ω),K是緊集,K?U};

Ω的任意開(kāi)子集B的p-容量集定義為

capp(B,Ω)=inf{capp(U,Ω),U是開(kāi)集,B?U}.

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[14-15]可得如下結(jié)論:

定理1設(shè)E是Ω中的Borel集, 滿(mǎn)足capp(E,Ω)=0,λ∈Mb(Ω)是集中在E上的正測(cè)度,fn是L∞(Ω)中的非負(fù)函數(shù)序列, 滿(mǎn)足

(10)

g滿(mǎn)足式(5),(6),un是方程

(11)

b(k)k≤c0/2,

(12)

其中b由式(6)定義. 由于b是連續(xù)函數(shù), 因此存在k使得式(12)成立.

在式(8)中選取一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)[14-15]v=(k-Tk(un))ψδ, 有

下面分別估計(jì)I1,I2,I3,I4. 對(duì)于I2, 由k-Tk(un)在L∞(Ω)中弱*收斂于k-Tk(u)且在Ω上幾乎處處收斂可知,ψδ(k-Tk(un))在(Lp(Ω,ω))N中強(qiáng)收斂于ψδ(k-Tk(u)), 結(jié)合式(9)中第一個(gè)等式, 有

(13)

對(duì)于I3, 當(dāng)un>k時(shí),k-Tk(un)=0, 結(jié)合式(5), 可得

由式(9)可知,ψδ在L∞(Ω)中弱*收斂于0. 通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膋, 并結(jié)合式(12), 有

同時(shí), 通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膋, 有

整理得

對(duì)于I1, 結(jié)合式(2), 有

由于I4非負(fù), 因此可去掉非負(fù)項(xiàng), 并結(jié)合I1,I2,I3的估計(jì), 可得

即

(14)

若在式(8)中選取v=Tk(un)(1-ψδ)作為一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù), 則有

對(duì)于J3, 由于Tk(s)與s同號(hào), 因此結(jié)合式(5), 有J3≥0. 同時(shí), 類(lèi)似估計(jì)I2的方法, 可得J2=εn,δ. 對(duì)于J4, 結(jié)合式(11)中第二個(gè)等式及式(10), 有

對(duì)于J1, 結(jié)合式(2), 可得

(15)

(16)

證畢.