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        拉普拉斯算子多項(xiàng)式第二特征值估計(jì)的不等式

        2018-11-02 07:18:18楊曉華錢椿林
        關(guān)鍵詞:拉普拉斯分部常數(shù)

        楊曉華,錢椿林

        (蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部,江蘇 蘇州 215104)

        設(shè)??Rm(m≥2)是一個(gè)有界區(qū)域,Ω的邊界??是逐片光滑的,考慮如下的拉普拉斯算子多項(xiàng)式第二特征值λ2的上界估計(jì)的問題

        式中:ν是區(qū)域Ω的邊界??的外法向量;l和r是非負(fù)整數(shù)且l≥2r;P(t)=al-rtl+al-r-1tl-1+…+a1tr+1,常數(shù)al-r=1,當(dāng)i=1,2,…,l-r-1時(shí),常數(shù)ai≥0;Q(t)=brtr+br-1tr-1+…+b1t,常數(shù)br=1,當(dāng)i=1,2,…,r-1時(shí),常數(shù)bi≥0。

        關(guān)于此類第二特征值估計(jì)已有結(jié)果[1-7]。在本文中,將文獻(xiàn)[8]與[9]中的常微分方程的第二特征值估計(jì)推廣到拉普拉斯算子更廣泛的一類問題,即問題(1)。

        1 主要結(jié)果

        定理1 設(shè)λ1,λ2是問題(1)的第一、第二特征值,且0<λ1≤λ2,則有

        式中r1={j│b1=b2=…=bj-1=0,bj≠0}。對于給定l與r選正整數(shù)參數(shù)σ使得式(2)的右端達(dá)到最小值,且r≤σ≤l-r。

        注2 在式(1)中,取r=r1,ai=0(i=1,2,…,l-r-1)與bi=0(i=1,2,…,r-1),則式(2)變?yōu)?,此結(jié)果是文獻(xiàn)[6]中的定理1。在文獻(xiàn)[5]中,取s=l,ai1i2…il(x) = 1(i1,i2,…,il=1,2,…,m),r=1,bii(x)=1(i=1,2,…,m),與bij(x)=0 (i≠j),此結(jié)果是文獻(xiàn)[5]中的定理1.1。

        注3 在式(1)中,取bi=0(i=1,2,…,r-1),則式(2) 變?yōu)?/p>

        在文獻(xiàn)[7]中,取 ai1i2…is(x)=as-r(s=r+1,r+2,…,l;i1,i2,…,is=1,2,…,m),t=l與r=rt,式(3)是文獻(xiàn)[7]中的定理2。因此,本文的結(jié)果是文獻(xiàn)[1]-[7]的推廣。

        2 定理的證明

        假設(shè)

        式中:k=1,2,…,m;x=(x1,x2,…,xm);hk是一個(gè)實(shí)常數(shù),且

        設(shè)λ1是問題(1)的第一特征值,相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)為u,為簡便起見,用∫替代∫?,且滿足

        利用分部積分,得

        由式(4)知,φk與u正交,k=1,2,…,m,得

        利用Rayleigh定理,有

        計(jì)算得

        利用分部積分,容易得

        利用式(7)和式(8),計(jì)算得

        引理1 設(shè)u是問題(1)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù),則

        證明 ①利用數(shù)學(xué)歸納法,容易證明

        利用式(1)與式(5),有

        因?yàn)閘≥2r,所以r≤σ≤l-r。利用①與②,得到

        引理2 設(shè)u是問題(1)所對應(yīng)第一特征值λ1的特征函數(shù),則

        證明 利用分部積分,容易證明。

        引理3 設(shè)λ1是問題(1)的第一特征值,則

        式中:r1={j│b1=b2=…=bj-1=0,bj≠0};正整數(shù)σ=r,r+1,…,l-r。證明 利用 ?k=( xk- hk) u、引理2②和引理1③,有

        類似地得

        結(jié)合式 (13) 和式 (14) ,有

        引理4 設(shè)λ1是問題(1)的第一特征值,則

        式中:r1={j│b1=b2=…=bj-1=0,bj≠0};σ=r,r+1,…,l-r。

        證明 利用引理2②,得

        利用式(15)、分部積分、引理1②和Schwarz不等式,有

        因此引理4成立。

        定理1的證明 利用引理3、引理4和式(10),容易證明。

        3 結(jié)論

        本文利用變分法、Rayleigh定理、分部積分、Schwartz不等式和Young不等式等估計(jì)方法與技巧,考慮拉普拉斯算子多項(xiàng)式的第二特征值上界估計(jì),獲得了用第一特征值來估計(jì)第二特征值的上界的不等式,上界與區(qū)域的幾何度量無關(guān),很多結(jié)果都是本文的特例。

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