胡海濤，張劍云，李小波，周青松

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

近年來(lái)抗雷達(dá)主瓣干擾成為研究的熱點(diǎn)，針對(duì)雷達(dá)的主瓣干擾已經(jīng)提出了多種算法，王建明提出了利用特征矩陣近似聯(lián)合對(duì)角化的盲源分離算法抗主瓣干擾技術(shù)[1]，但當(dāng)信噪比較低的情況下效果下降顯著，之后周青松等人對(duì)此做了改進(jìn)，首先對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行盲源分離，然后利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變化(FRFT)對(duì)分離的信號(hào)進(jìn)行處理[2]，但是這種算法破壞了信號(hào)的本身特性，對(duì)后期信號(hào)的參數(shù)估計(jì)帶來(lái)了困難。董瑋等人提出了基于約束獨(dú)立分量分析的雷達(dá)抗主瓣干擾算法[3]，該算法對(duì)非相干干擾信號(hào)可以取得較好的分離效果，但是對(duì)于相干干擾不能有效地分離目標(biāo)信號(hào)和干擾信號(hào)。戴幻堯利用天線的極化特性，研究了利用信號(hào)的極化特性濾除主瓣干擾的算法[4]，但是這種算法的抗干擾性能有限。胡航研究了單脈沖四通道主瓣干擾抑制算法[5]，這種算法相對(duì)于三通道而言多構(gòu)造出一個(gè)雙差波束，將主瓣干擾抑制掉。但是這種算法相對(duì)于傳統(tǒng)的三通道單脈沖測(cè)角而言，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度，且這種算法只能抑制掉一個(gè)主瓣干擾。S.J.Yu提出了用阻塞矩陣預(yù)處理的算法[6]，但是當(dāng)存在主瓣干擾時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致主瓣波束失真等問(wèn)題。由于該算法思路比較清晰，而且取得了很好的效果，得到了廣泛的關(guān)注，Carlson B D.說(shuō)明了對(duì)自適應(yīng)線性約束最小功率波束形成算法最優(yōu)權(quán)矢量可以表示為波束形成的對(duì)角加載形式[7]，但無(wú)法對(duì)加載電平進(jìn)行精確地求解，只能用數(shù)值估計(jì)的方法得到近似解。Yang J提出了一種基于對(duì)角加載和線性約束相結(jié)合的方法[8]來(lái)解決主瓣波束失真的問(wèn)題，加載電平選取為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣除去較大特征值后的平均值，但是這種方法對(duì)特征值平均值的計(jì)算也不易選取。本文針對(duì)這一問(wèn)題，對(duì)主瓣方向發(fā)生的原因進(jìn)行了詳細(xì)的分析，提出了改進(jìn)的基于阻塞矩陣預(yù)處理的抗主瓣干擾算法。

1 信號(hào)模型

X=[x1,…,xM]=AS(t)+n(t)

(1)

當(dāng)采用自適應(yīng)波束形成算法抗干擾時(shí)，對(duì)接收到的樣本進(jìn)行加權(quán)，生成的權(quán)矢量能自適應(yīng)地在樣本信號(hào)方向形成零陷，從而能抑制干擾。假設(shè)樣本中只有干擾和噪聲信號(hào)，則可表示為：

Xn+i(k)=An+iSn+i(k)+n(k)=

(2)

式(2)中，k為快拍數(shù)，k=1,…,K，Xn+i為N×1維的干擾噪聲的數(shù)據(jù)，An+i表示干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量組成的矩陣，Sn+i表示干擾信號(hào)的P×1維矢量。為了方便分析，在后面算法的推導(dǎo)中均用X(k)表示陣元接收到的干擾和噪聲Xn+i(k)。

2 基于阻塞矩陣預(yù)處理的抗主瓣干擾算法

2.1 阻塞矩陣預(yù)處理算法波形失真分析

假設(shè)有干擾信號(hào)從天線的主瓣進(jìn)入，為了抑制干擾，首先利用空間譜估計(jì)理論估計(jì)出干擾信號(hào)的方位角，由于主瓣的干擾信號(hào)是從主瓣進(jìn)入的，所以干擾信號(hào)的能量一般大于信號(hào)和干擾的噪聲，利用ESPRIT算法或者M(jìn)USIC算法可以精確地估計(jì)出干擾信號(hào)從主瓣進(jìn)入的方向：

(3)

式(3)中，Un為陣列接收到的干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)的特征向量，a(θ)為導(dǎo)向矢量。與MUSIC算法譜峰相對(duì)應(yīng)的是干擾信號(hào)的DOA，由于利用阻塞矩陣對(duì)消主瓣上的干擾只需要知道主瓣的干擾方向，所以在搜索從主瓣方向進(jìn)入干擾信號(hào)的DOA時(shí)，只需在主瓣寬度方向上搜索，這樣可以減少計(jì)算量。

當(dāng)估計(jì)出主瓣干擾的DOA時(shí)，對(duì)樣本信號(hào)進(jìn)行干擾對(duì)消預(yù)處理，假設(shè)預(yù)處理后的信號(hào)為Y,則Y=BX，其中B為：

(4)

干擾對(duì)消前，第k個(gè)天線接收到的信號(hào)可以表示為

(5)

經(jīng)過(guò)處理后的Y顯然為N-1維的向量，干擾對(duì)消后第k個(gè)天線接收到的信號(hào)可以表示為：

(6)

對(duì)于經(jīng)過(guò)阻塞矩陣預(yù)處理之后的天線方向圖會(huì)發(fā)生偏移，分析如下：

Y1=A1S1+n1

(7)

可以看出經(jīng)過(guò)阻塞矩陣對(duì)消后沒(méi)有改變信號(hào)的波達(dá)方向，但是經(jīng)過(guò)預(yù)處理后損失了一個(gè)天線的自由度，導(dǎo)致期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量和經(jīng)過(guò)預(yù)處理后剩余干擾相對(duì)于未經(jīng)預(yù)處理的丟失了一維，而導(dǎo)向矢量的另一維卻沒(méi)有變。假設(shè)用N-1陣列接收只包含目標(biāo)信號(hào)和剩余的干擾信號(hào)，則

Y0=A0S0+n0

(8)

顯然A1=A0，S1=S0Λ，其中Λ=diag{1-ej(u0-u1),1-ej(u2-u1)…,1-ej(uP-u1)}。

所以

RY=E[YYH]=E[Y1YH]=

A1RS1A1H+E[n1n1H]=

A1RS1A1H+σn2BBH

(9)

類(lèi)似的有

RY0=E[Y0Y0H]=A0RS0A0H+E[n0n0H]=A0RS0A0H+σn2I

(10)

式(9)中，RS1=E[S0S0H]。

比較RY和RY0，我們可以看出兩者的協(xié)方差矩陣并不相同，而經(jīng)過(guò)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)RY在自適應(yīng)波束形成時(shí)使用了理想的導(dǎo)向矢量，所以處理后的主瓣方向會(huì)有主瓣發(fā)生偏移、變形和副瓣電平增高等問(wèn)題。

為了克服這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]提出了一種基于對(duì)角加載的算法來(lái)解決主瓣方向偏移的問(wèn)題，通過(guò)該算法有效地解決了阻塞矩陣預(yù)處理之后波束形成主波束發(fā)生偏移的問(wèn)題，但是該算法對(duì)于對(duì)角加載的電平的選取，是靠經(jīng)驗(yàn)選取的，如果加載電平過(guò)小將導(dǎo)致加載量不夠，主瓣偏移不能得到很好地解決，而如果加載電平選取的過(guò)大，盡管主瓣能很好地對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)方向，但將導(dǎo)致副瓣的零陷發(fā)生偏移，與副瓣的干擾方位不同。

2.2 基于二次不等式約束的LCMV波束形成算法

對(duì)于線性約束最小方差(LCMV)波束形成算法的加權(quán)矢量二次約束可以有效地改善波束指向與信號(hào)的不適配問(wèn)題，最佳加權(quán)矢量可以表示為L(zhǎng)CMV算法的對(duì)角加載形式為：

w=(Rx+λI)-1C[CH(Rx+λI)-1C]-1f

(11)

通過(guò)仿真驗(yàn)證了該算法能有效解決波束指向發(fā)生偏移的問(wèn)題，但是對(duì)于加載量λ的選取沒(méi)有理論的分析，經(jīng)驗(yàn)因素影響較大。

通過(guò)上述分析，由于利用阻塞矩陣對(duì)信號(hào)預(yù)處理后，得到的導(dǎo)向矢量與真實(shí)的導(dǎo)向矢量有一定的誤差，為了滿(mǎn)足在期望信號(hào)方向無(wú)失真的接收，通常權(quán)值矢量w的模值會(huì)很大，對(duì)導(dǎo)向矢量w進(jìn)行二次不等式約束可有效抑制主瓣方向因此而發(fā)生的偏移問(wèn)題，此時(shí)的LCMV波束形成算法可表示如下：

(12)

對(duì)于該約束方程的求解，利用Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行求解，可以將其轉(zhuǎn)化為如下函數(shù)的極值問(wèn)題，上述約束問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下式關(guān)于變量w,λ,μ的最小值問(wèn)題

f1(w,λ,μ)=wHRxw+λ(‖w‖2-ε)+μH(f-CHw)+(f-CHw)Hμ

(13)

式(13)中，λ為拉格朗日乘數(shù)，且滿(mǎn)足λ≥0，Rx+λI>0，μ為拉格朗日矢量，下面對(duì)式(13)關(guān)于w的最小化求解進(jìn)行分析。

1)當(dāng)λ=0時(shí)，即λ(‖w‖2-ε)=0即：

f1(w,λ,μ)=wHRxw+μH(f-CHw)+

(f-CHw)Hμ

(14)

上式對(duì)于w微分，并令結(jié)果為零，可得

w=Rx-1Cμ

(15)

將w代入約束條件CHw=f，可得

μ=(CHRx-1C)-1f

(16)

由于Rx-1為接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣，故該矩陣為Hermitian矩陣，根據(jù)矩陣的性質(zhì)[Rx-1]H=Rx-1，將μ代入(15)可得最終加權(quán)矢量的表達(dá)式

w=Rx-1C(CHRx-1C)-1f

(17)

由于λ(‖w‖2-ε)=0，此時(shí)約束‖w‖2≤ε不能對(duì)權(quán)值w有效約束，導(dǎo)致算法的穩(wěn)健性較差。

2)當(dāng)λ≠0時(shí)，為了使算法具有較好的穩(wěn)健性，ε應(yīng)滿(mǎn)足

ε=wHw

(18)

該條件約束著ε的上限，則

f1(w,λ,μ)=wHRxw+λ(‖w‖2-ε)+μH(f-CHw)+(f-CHw)Hμ=wH(Rx+λI)w-wHCμ-μHCHw-λε+μHf+fHμ=wH(Rx+λI)w-wHCμ-μHCHw+μHCH(Rx+λI)-1Cμ-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ= [wH(Rx+λI)-μHCH][w-(Rx+λI)-1Cμ]-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ= [w-(Rx+λI)-1Cμ]H(Rx+λI)· [w-(Rx+λI)-1Cμ]-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ

(19)

f2(λ,μ)=-μHCH(Rx+λI)-1Cμ-λε+μHf+fHμ

(20)

對(duì)f2(λ,μ)關(guān)于μ求導(dǎo)

(21)

并令結(jié)果為零，可以求得

(22)

將其代入f2(λ,μ)可得

f3(λ)=-λε+fH[CH(Rx+λI)-1C]-1f

(23)

上式對(duì)λ求導(dǎo)并令結(jié)果為零可得

ε=fH[CH(Rx+λI)-1C]-1· [CH(Rx+λI)-2C][CH(Rx+λI)-1C]-1f

(24)

利用牛頓迭代法對(duì)λ其進(jìn)行求解，可以求得λ的值。

(25)

可以看出上面公式和文獻(xiàn)[7]采用對(duì)角加載項(xiàng)的算法所得的權(quán)值w的表達(dá)式一樣，但是采用對(duì)角加載項(xiàng)的算法，對(duì)于加載電平的選取具有很大的主觀性，選取加載電平的大小是否合適直接影響波束形成的好壞。本文通過(guò)對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行二次不等式約束，并利用牛頓迭代法對(duì)公式(24)求出λ的值，有效地解決了波束形成的最優(yōu)加權(quán)矢量的求解問(wèn)題。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出算法的有效性，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)。假設(shè)陣列為理想的均勻線性陣，陣元個(gè)數(shù)N=16，陣元間距d=λ/2。假設(shè)空間中存在一個(gè)期望信號(hào)和三個(gè)等功率互不相干的干擾信號(hào)，期望信號(hào)的方位角為0°，干擾信號(hào)的方位角分別為5°，-30°和40°，各通道內(nèi)的噪聲均為高斯白噪聲，其中信噪比為0 dB，干噪比為40 dB，陣列采樣快拍數(shù)K=500。

實(shí)驗(yàn)一 首先采用MUSIC算法驗(yàn)證了用阻塞矩陣抑制主瓣干擾的有效性。圖1(a)和圖1(b)分別給出了未經(jīng)阻塞矩陣預(yù)處理和經(jīng)阻塞矩陣預(yù)處理后，利用MUSIC算法對(duì)預(yù)處理前和預(yù)處理后空間譜估計(jì)的結(jié)果。從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)阻塞矩陣處理后有效地消除了主瓣干擾的影響。

圖1 利用MUSIC算法估計(jì)預(yù)處理前 和預(yù)處理后的DOA對(duì)比Fig.1 MUSIC algorithm estimation of pre-and post-pretreatment DOA comparisons

實(shí)驗(yàn)二 圖2(a)分別給出了用LCMV算法、SMI算法和Capon算法形成的未經(jīng)阻塞矩陣預(yù)處理的波束形成方向圖，從圖中可以看出三種算法均在干擾處形成了較深的零陷導(dǎo)致了主波束變形、副瓣電平升高且峰值發(fā)生偏移，這會(huì)導(dǎo)致輸出信干噪比(SINR)下降，虛警概率上升等問(wèn)題。

圖2(b)給出了未經(jīng)過(guò)阻塞矩陣處理和經(jīng)過(guò)阻塞矩陣預(yù)處理之后利用LCMV算法波束形成后得到的方向圖的對(duì)比。從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)阻塞矩陣預(yù)處理之后的方向圖，雖然在一定程度上解決了主波束變形和副瓣電平升高的問(wèn)題，但也導(dǎo)致了主波束指向發(fā)生嚴(yán)重偏移的問(wèn)題，這會(huì)嚴(yán)重影響后期處理的測(cè)角精度。

圖2 不同波束形成算法得到的方向圖Fig.2 different beamforming algorithm obtained by the direction of the map

實(shí)驗(yàn)三 圖3分別用SMI算法、對(duì)角加法和本文提出的算法對(duì)經(jīng)過(guò)阻塞矩陣預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)波束形成的波束方向圖。

圖3 自適應(yīng)波束方向圖Fig.3 Adaptive beam pattern

從圖中可以看出三種算法均在副瓣干擾的角度形成了較深的零陷，而在主瓣的位置有效抑制了干擾，克服了自適應(yīng)波束形成帶來(lái)的主瓣變形和副瓣電平升高等問(wèn)題。但是從圖中可以看出通過(guò)SMI算法得到的方向圖指向和真實(shí)方向有較大的偏差，而通過(guò)采用對(duì)角加法的LCMV算法，雖然主方向指向得到很大的改善，但是副瓣電平有所提高，且存在電平加載量選取與經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，選取過(guò)大會(huì)導(dǎo)致副瓣零陷發(fā)生偏移，選取過(guò)小會(huì)導(dǎo)致加載量不足等問(wèn)題。通過(guò)本文算法，對(duì)基于LCMV算法的導(dǎo)向矢量w進(jìn)行二次不等式約束，然后利用本文提出的Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行求解可以精確求解出λ的值，可有效避免加載電平選取經(jīng)驗(yàn)化問(wèn)題。

實(shí)驗(yàn)四 圖4是分別在不同的快拍下利用不同算法得到的方向圖。

圖4 不同快拍下波束形成方向圖Fig.4 beamforming pattern under different snapshots

從圖中可以看出采用對(duì)角加法的LCMV算法受快拍數(shù)影響較大，當(dāng)在低快拍時(shí)該算法的副瓣發(fā)生嚴(yán)重變形，已經(jīng)不能正常工作，而隨著快拍數(shù)的增加，副瓣波束得到明顯的改善。而本文的算法受快拍數(shù)影響較小，在低快拍時(shí)波束仍能保持較好的性能。

實(shí)驗(yàn)五 為了衡量不同算法形成的波束對(duì)噪聲的抑制效果，引入抗干擾改善因子(IF)的定義：

(26)

式(26)中，SINR0為經(jīng)過(guò)波束形成處理后的信干噪比，SINRi為輸入信號(hào)的信干噪比。由于經(jīng)過(guò)預(yù)處理后，信號(hào)沒(méi)有參與數(shù)據(jù)協(xié)方差R的計(jì)算，也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)自適應(yīng)波束形成得到的自適應(yīng)權(quán)重w不會(huì)對(duì)信號(hào)相消，所以SNR0=SNRi，式(26)可寫(xiě)為：

(27)

從圖5可以看出通過(guò)SMI算法相對(duì)于另外兩種算法得到的改善因子較小，也就是說(shuō)輸出的干噪比仍較大，效果不理想，而通過(guò)對(duì)角加法算法一定程度上使改善因子得到提高，但是改善因子在低快拍時(shí)受快拍數(shù)影響較大。通過(guò)比較可以看出本文的算法獲得的改善因子較高，即使在低快拍時(shí)仍能得到較好的效果。

圖5 改善因子IF隨快拍數(shù)的變化Fig.5 Improve the factor with the rapid changes in the number of shots

4 結(jié)論

本文提出了基于阻塞矩陣預(yù)處理的抗主瓣干擾算法，該算法利用MUSIC算法估計(jì)出主瓣干擾的角度，然后利用估計(jì)出的干擾的角度構(gòu)造阻塞矩陣對(duì)主瓣干擾進(jìn)行預(yù)處理，針對(duì)預(yù)處理得到的數(shù)據(jù)利用LCMV波束形成算法得到的方向圖存在主瓣偏移等問(wèn)題，對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)的分析，最后利用對(duì)加權(quán)矢量二次不等式約束解決波束指向與信號(hào)不匹配的問(wèn)題，但是對(duì)于加載電平λ的選取人為經(jīng)驗(yàn)因素較大。對(duì)此，本文對(duì)方程中λ的求解問(wèn)題提出了利用Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行求解，可以精確地求解出λ的值，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文提出算法的有效性。但是由于本文算法首先需要利用MUSIC算法估計(jì)出干擾所在的角度，然后利用此信息構(gòu)造出阻塞矩陣，如果陣列誤差估計(jì)角度較小的情況下可以取得較好的抗干擾效果，但是若陣列的估計(jì)角度存在較大誤差情況下，構(gòu)造的阻塞矩陣無(wú)法完全將主瓣進(jìn)入的干擾阻塞掉，從而導(dǎo)致輸出信噪比下降，為此需要進(jìn)一步對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化，增強(qiáng)算法的魯棒性。