褚鼎立，陳 紅，宣章健

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院， 安徽 合肥 230037)

0 引言

盲源分離(Blind Signal Separation,BSS)是20世紀出現(xiàn)的新研究領(lǐng)域，在對源信號和傳輸通道幾乎沒有可利用信息的情況下，僅從觀測到的混合信號中提取或恢復(fù)源信號各分量的一種信號處理方法[1]。盲信號分離，本質(zhì)上就是一種信號處理方式，適用于各個信息領(lǐng)域，其中包括無線通信、圖像處理、語音識別等。當(dāng)前，盲信號分離受到各國學(xué)者的關(guān)注和討論，已經(jīng)成為研究的熱點與重點，尤其在信號處理、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面[2]，具有極為重要的研究價值。

盲處理的方法是依據(jù)一定的獨立性準則構(gòu)造目標函數(shù)的無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法。針對目標函數(shù)的計算法方法，文獻[3]提出了隨機梯度法，由于算法需要對矩陣求逆，計算量大，當(dāng)矩陣奇異時，計算不穩(wěn)定；文獻[4]提出了自然梯度法，相較于隨機梯度法更穩(wěn)定，但計算量仍很大，收斂性有待改進[5]；文獻[6]提出了FastICA方法，計算量更少，但存在對初始值敏感的問題，導(dǎo)致算法不穩(wěn)定。文獻[7]提出基于粒子群算法的盲分離方法，該方法不易陷入局部極值，但參數(shù)設(shè)置較多、收斂速度較慢，針對粒子群算法存在的問題，本文對鯨魚優(yōu)化算法[8]進行改進，并應(yīng)用于盲源分離。

1 盲分離問題描述

假設(shè)：x(t)是n個未知的相互統(tǒng)計獨立的源信號s(t)的線性組合，即：

x(t)=As(t)

(1)

式(1)中，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，A為m×n階未知混合矩陣。由于A和s未知，盲分離要通過特定算法來實現(xiàn)x(t)的處理，從而獲得n×m階的分離矩陣，用W表示，使得輸出信號：

y(t)=Wx(t)=WAs(t)

(2)

就是s(t)的估計值。

由于s(t)和A未知，盲源分離依據(jù)條件和要求，將s(t)從觀測信號x(t)中將源信號分離出來，使得最終分離出的信號無限逼近于源信號s(t)，即通過分離矩陣W來實現(xiàn)盲源分離。一些混合信號中含有噪聲成分，在處理這類信號的過程中，可以將混合信號和噪聲區(qū)別開來，分別看作是不同路信號。

為了保證盲源分離的可能性，需要一些假設(shè)條件，通常為[9]：

1) 滿秩混合矩陣A，源信號數(shù)不得超過觀測信號數(shù)(即n≤m)。

2)基于統(tǒng)計要求，各源信號相互統(tǒng)計獨立。在實際應(yīng)用中，這個假設(shè)也是合理的。

3)至多有一個信號是高斯分布。

在缺乏源信號和信息通道的情況下，經(jīng)過盲分離的信號并不能確定幅值和排列順序，這一特征稱為模糊性。模糊性雖然存在，但是卻并不會影響最終結(jié)果[10]。

根據(jù)大數(shù)定理，多個相互獨立的隨機變量之和趨向于高斯分布。因此，如果觀測信號是源信號的線性組合，那么源信號的非高斯性比觀測信號的非高斯性更強。根據(jù)這個原理，可以通過對分離信號的非高斯性判斷來確定其相互獨立性[11]。分離信號非高斯性越大，其分離效果越好。

由于粒子群算法存在參數(shù)復(fù)雜、收斂速度慢等問題，本文提出利用改進的鯨魚優(yōu)化算法對目標函數(shù)進行優(yōu)化的算法，旨在進一步提升對線性瞬時混疊信號的分離性能和收斂速度。

2 基于改進鯨魚優(yōu)化算法的盲分離

2.1 鯨魚優(yōu)化算法

鯨是世界上最大的哺乳動物，它的大腦構(gòu)造同人腦相似，都具有梭形細胞，該細胞具有情感表達、行為判斷等功能，使得鯨魚與其他生物不同。座頭鯨捕食時會群聚在一起，吐出一串串泡泡，形成一張泡泡網(wǎng)，合作捕食。2016年，Mirjalili S等學(xué)者[8]從座頭鯨捕食行為中獲得靈感，設(shè)計出一種新型算法，即鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA),該算法具備一定的自然靈感。具體來說，上述算法對座頭鯨的捕食行為進行模仿，采取“螺旋氣泡網(wǎng)”策略，即逐步縮小捕食范圍、更新捕食位置，具備結(jié)構(gòu)簡便、調(diào)節(jié)參數(shù)減少等優(yōu)勢。算法數(shù)學(xué)模型有三種：一是包圍獵物，二是發(fā)泡網(wǎng)攻擊，三是搜索捕食。每次位置更新時，每個個體按照一定的準則選擇其中一種更新方式。下面是三種更新方式的介紹。

2.1.1包圍獵物

座頭鯨能夠識別獵物的位置并包圍他們。由于最優(yōu)位置的搜索空間不是預(yù)先知道的，WOA算法假設(shè)當(dāng)前最佳的候選解是目標獵物位置或最接近目標獵物的位置，在定義最佳代理之后，其他搜索代理將向最佳代理靠近，其位置更新的數(shù)學(xué)表達式為

X(j+1)=X(j)-A·D

(3)

D=|C·X*(j)-X(j)|

(4)

式(3)、式(4)中，A和C為系數(shù)變量；X*(j)為當(dāng)前最佳鯨魚位置；X(j)表示當(dāng)前鯨魚位置；j表示迭代次數(shù)。

計算系數(shù)變量A和C：

A=2a×r-a

(5)

C=2r

(6)

2.1.2發(fā)泡網(wǎng)攻擊

為了模擬座頭鯨吐氣泡捕食行為，數(shù)學(xué)模型為：

1)收縮包圍：即減少式(5)中的a值。在這個過程中，A的取值范圍是[-a,a]，一旦這個范圍發(fā)生變動，a也會相應(yīng)的改變，若A在[-1,1]范圍內(nèi)，鯨魚的目標位置將確定在當(dāng)前位置和獵物位置之間，這表現(xiàn)出座頭鯨的局部搜索能力。

2)螺旋式位置更新：通過計算得鯨群個體和獵物的準確具體，并將螺旋式數(shù)學(xué)模型引入：

X(j+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+X*(j)

(7)

(8)

式(7)、式(8)中，D′為表示的是第i頭鯨當(dāng)前最佳位置和獵物之間的距離，b為對數(shù)螺旋形狀常數(shù)；l是[-1,1]上的隨機數(shù)。

座頭鯨在捕殺獵物時不僅以螺旋形狀游向獵物，還要收縮包圍圈，以50%的概率作為閾值來更新鯨魚位置。公式為：

(9)

式(9)中，p為[0,1]上的隨機數(shù)。

2.1.3搜索捕食

座頭鯨除了選擇氣泡網(wǎng)法搜索策略之外，隨機搜索捕食也是一種重要手段。實際上，鯨群個體可以在彼此的距離范圍內(nèi)，隨機捕食獵物。所以，若果A超出[-1,1]范圍，距離數(shù)據(jù)D隨機更新，鯨為了找尋獵物，就會偏離原本的目標獵物，使得捕食能力提高，使得WOA有一定的全局搜索性能。公式為：

D=|C·Xrand-X(j)|

(10)

X(j+1)=Xrand-A·D

(11)

式(10)、式(11)中，Xrand為當(dāng)前鯨群中隨機個體的位置。

2.2 自適應(yīng)權(quán)重

慣性權(quán)重在粒子群算法中有重要作用，權(quán)重較大時，算法可以搜索較大的區(qū)域，收斂速度會加快；權(quán)重較小時，搜索更加精細，不易錯過最優(yōu)解。

受文獻[12]的啟發(fā)，對鯨魚優(yōu)化算法引入自適應(yīng)權(quán)重，權(quán)值計算公式如下：

(12)

式(12)中，j為當(dāng)前迭代次數(shù)，M為最大迭代次數(shù)。文獻[12]將權(quán)重引入到式(3)，如下所示：

X(j+1)=ω·X(j)-A·D

(13)

筆者認為此法欠妥，若將權(quán)重因子引入到鯨魚的當(dāng)前位置上，不符合智能優(yōu)化的初衷，故將其與距離數(shù)據(jù)D結(jié)合，可以通過迭代的次數(shù)來調(diào)整收斂的速度，改進公式如下

X(j+1)=X(j)-ω·A·D

(14)

由于自適應(yīng)權(quán)重對局部搜索作用明顯，而式(3)和式(7)都是用于進行局部搜索的，所以將權(quán)重也同時引入到式(7)中，如下所示

X(j+1)=ω·D′eblcos(2πl(wèi))+X*(j)

(15)

2.3 分離原理

為分離混合信號x(t)，本文選擇通過引入自適應(yīng)權(quán)重的WOA算法，來計算式(2)中的W。根據(jù)隨機變量間的獨立性準則，確定盲源分離方法，求得分離矩陣W，常用的有最小互信息準則、信息最大化準則、非高斯最大化準則等。在此，以文獻[13]給出的四階累積量(峰度)準則來建立目標函數(shù)，采用分離信號峰度作為信號分離的度量。

隨機變量yi的峰度可表示為

(16)

如果K(yi)>0，信號yi(t)滿足超高斯分布的條件；如果K(yi)=0，信號yi(t)滿足高斯分布的條件；如果K(yi)<0，信號yi(t)滿足亞高斯分布的條件。綜合來說，非高斯性和峰度的絕對值之間成正比。所以，峰度最大，也就意味著超高斯信號的存在，足以說明信號分離效果理想；峰值最小，也就意味著亞高斯信號的存在，信號具有分離的可能性。

對n=2的二維混合模型進行分析和說明，可以通過峰度信息來判定分離信號的有效性。假設(shè)源信號為方差等于1的非高斯信號，用s=[s1,s2]表示，s1,s2為隨機變量，設(shè)其峰度為K(s1)>0,K(s2)>0;對x進行中心化、白化處理；基于此，以分離信號y=Wx為方差有限信號為假設(shè)前提,不妨設(shè)E(yyT)=I；則分離信號的第i個分量為

yi=Wix=WiAs=us=ui1s1+ui2s2

(17)

式(17)中，Wi為分離矩陣W的第i行。根據(jù)峰度的性質(zhì)，可知

(18)

為了實現(xiàn)超高斯和亞高斯信號的分離，選擇分離信號峰度的絕對值作為分離的度量：

(19)

定義目標函數(shù)為

(20)

在E(yyT)=I的條件下，

(21)

前文的假設(shè)“分離信號y=Wx為方差有限信號”是有必要的，在模糊性的影響下，盲源分離并不能獲得準確的信號幅度，分離矩陣W中的全部元素同時擴大k數(shù)，分離信號y也得到相同倍數(shù)的擴大，但盲源分離信號依然準確，此時的K(y)擴大倍數(shù)卻是k4倍。由此說明，若是沒有上述假設(shè)的限制，式(19)沒有最大值。假設(shè)E(yyT)=I，在均值、白化的處理之下，可知E(xxT)=I，使得

E(yyT)=E(WxxTWT)=E(WWT)=I

(22)

定義了代價函數(shù)式(20)之后，為了求得J(W)的極小值，采用改進的鯨魚優(yōu)化算法來對代價函數(shù)式(20)進行優(yōu)化。

2.4 算法步驟

分離矩陣W為一正交陣，對于一個正交陣，可表示成一系列旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積，以n=3為例，W可表示為：

(23)

式(23)中，θ1,θ2,θ3∈[0,2π)它們分別代表3個不同的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度。

以信號峰度為目標函數(shù)，基于改進鯨魚優(yōu)化算法的盲源分離方法步驟如下(以n=3為例)：

1)收集并采樣觀測信號，對其進行中心化、預(yù)白化處理。

2)WOA算法參數(shù)初始化。將旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度θ=[θ1,θ2,θ3]作為鯨魚個體的位置信息X=[X1,X2,X3]，在求解空間[0,2π)內(nèi)，隨機確定鯨魚位置并初始化WOA參數(shù)，包括種群數(shù)目N、最大迭代次數(shù)M、對數(shù)螺旋形狀常數(shù)b、隨機數(shù)l、當(dāng)前迭代次數(shù)j及算法終止條件。

3)通過式(20)，計算適應(yīng)度Fit(W)=J(W)，找到并保存群體中最佳鯨魚個體位置X*。

4)若j≤M，更新a、A、C、l和p。

5)當(dāng)p<0.5時，若A<1，通過式(14)，重新確定鯨魚位置；如果A≥1，需要在當(dāng)前群體范圍內(nèi)隨機確定鯨魚個體位置Xrand，通過式(11)，更新當(dāng)前鯨魚位置。

6)如果p≥0.5，通過式(15)重新確定鯨魚個體位置。

7)通過式(20)，計算出個體適應(yīng)度Fit(W)，確定群體中最佳鯨魚個體X*。如果算法滿足終止條件，就到步驟8)；反之，令j=j+1，重復(fù)步驟4)～7)，直到滿足條件為止。

8)輸出最優(yōu)個體位置X*并通過式(23)計算分離矩陣W。

9)利用得到的分離矩陣W通過式(2)估計出源信號。

3 仿真驗證

本節(jié)基于Matlab2014a平臺仿真驗證并分析基于改進鯨魚優(yōu)化算法的盲信號分離性能。仿真實驗如下。

實驗一：無噪情況下，采用三路仿真信號作為源信號，采樣頻率為3 000 Hz，共使用500個采樣點。三路仿真信號分別為符號函數(shù)、幅度調(diào)制信號、正弦信號，當(dāng)t從1遍歷到500時，生成信號如下：

它們的峰度分別為-2.000 0，-0.050 3，-0.375 0，三路信號瞬時混合，混疊矩陣取為：

在分離混合信號時，選擇鯨魚優(yōu)化算法，鯨魚的種群數(shù)目取30，迭代次數(shù)取50，鯨魚位置信息區(qū)間為[0,2π),為了證明鯨魚算法的效果，與基于粒子群算法的盲源分離做了對比實驗，為了方便比較，粒子數(shù)取為30，迭代次數(shù)也為50，兩個學(xué)習(xí)因子都設(shè)為0.8，仿真結(jié)果如圖1—圖5所示。

圖1 源信號Fig.1 Source signals

圖2 混合信號Fig.2 Mixed signals

圖3 分離信號(改進鯨魚算法)Fig.3 Separated signals(WOA)

圖4 分離信號(粒子群算法)Fig.4 Separated signals(PSO)

圖5 算法收斂曲線Fig.5 Algorithm convergence curve

由圖1、圖3、圖4可見，分離信號存在幅度和排列順序的不確定性，但這不影響分離效果。從圖5的收斂曲線對比圖中可以看出，經(jīng)過18步迭代，鯨魚算法的適應(yīng)度已經(jīng)收斂，而且從收斂曲線上看出收斂速度非?？欤欢Ｗ尤核惴ㄔ?5步左右才收斂，收斂速度相對鯨魚算法，相對較慢。

選擇相似系數(shù)ζij作為指標，判斷分離效果：

(24)

實驗二：加噪情況下，為了驗證不同信噪比對提出算法分離性能的影響，設(shè)置蒙特卡洛實驗，實驗信號同實驗一，對混合信號作加噪處理，信噪比線性變化范圍從-10 dB以步長5到40 dB，每個信噪比下進行100次實驗，以串音誤差(PI)作為觀測值，100次實驗取平均值作為當(dāng)前信噪比下的串音誤差，并與粒子群算法進行對比。

串音誤差PI定義如下：

(25)

式(25)中，gij是矩陣G第i行第j列的元素，G=WVA，V是混合信號的白化矩陣，PI值越接近0說明算法分離精度越高，實驗結(jié)果如圖6。

圖6 盲分離性能隨信噪比的變化情況Fig.6 Blind separation performance versus SNR

從圖6可見，隨著輸入信噪比的升高，本文算法與粒子群算法的計算誤差逐漸降低，在信噪比低于20 dB時變化尤為明顯，此時，本文算法的計算精度更高，分離效果更明顯；在信噪比高于20 dB后，兩種算法的計算精度趨于一致，都有很好的分離性能。

4 結(jié)論

本文提出了基于改進鯨魚優(yōu)化算法的盲源分離方法。該方法利用獨立性準則，以混合信號的峰度作為目標函數(shù)，用鯨魚優(yōu)化算法代替常規(guī)的粒子群算法，并引入自適應(yīng)權(quán)重，加快收斂速度，實現(xiàn)了對瞬時混疊信號的盲分離，有效地避免了粒子群算法參數(shù)復(fù)雜、收斂速度慢的問題。仿真對比結(jié)果表明，本文方法簡單高效，分離精度和收斂速度相較于粒子群算法有明顯優(yōu)勢，在更低信噪比下也有良好的分離效果，適用于盲信號分離，可為盲信號處理提供一種新的研究思路與方法。