王旭光，陳 紅，褚鼎立

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230031)

0 引言

盲均衡算法不需要訓(xùn)練序列，只需要依靠自身接收的信號的統(tǒng)計(jì)信息來更新均衡器向量，可以有效提高系統(tǒng)的寬帶利用率[1]。由于計(jì)算量小、實(shí)時(shí)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，常模盲均衡算法(CMA，Constant Modulus Blind Equalization Algorithm)備受關(guān)注。上世紀(jì)90年代，基于CMA的分?jǐn)?shù)間隔均衡器得到了廣泛發(fā)展和應(yīng)用[2]。CMA算法的代價(jià)函數(shù)不含相位信息，對相偏反應(yīng)遲鈍，僅適用于均衡幅度恒定的信號。最初的盲均衡算法研究是在無噪聲的假設(shè)下進(jìn)行的，這是由于當(dāng)時(shí)大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為碼間串?dāng)_(Intersymbol Interface，ISI)是引起通信信號失真的主要原因。這一假設(shè)對有線通信情況，如同軸電纜、光纖或雙絞線是適用的，但是對于無線通信系統(tǒng)不合適[3]。而后，F(xiàn)ijalkow等人將信道噪聲建模為高斯白色噪聲模型，研究了加性高斯噪聲信道對CMA算法的影響[4]。但是自然界中的很多噪聲，如槍炮聲、電器開關(guān)、雷電磁暴等，都具有很強(qiáng)的脈沖性，在很短時(shí)間內(nèi)具有很強(qiáng)的幅度。而α穩(wěn)定分布是唯一一種滿足廣義中心極限定理的分布，可以有效描述這一類噪聲干擾，Nikias等人最先將其引入信號處理領(lǐng)域[5]。α穩(wěn)定分布具有很強(qiáng)的代表性，可以描述各種不同類型的脈沖噪聲。在這種噪聲條件下，許多傳統(tǒng)的信號處理方法性能下降嚴(yán)重，如CMA。因此，將CMA加以改進(jìn)，使它能夠在脈沖噪聲環(huán)境下也有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，是當(dāng)前一個(gè)重要的研究方向。

布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)是一種新式的元啟發(fā)算法，一經(jīng)出現(xiàn)就受到了國際學(xué)者的廣泛關(guān)注。具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：操作簡單、參數(shù)少，在處理優(yōu)化問題時(shí)無需重新匹配參數(shù)。但是布谷鳥算法也具有收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)、末期缺少種群更新緩慢等缺點(diǎn)[6]。針對以上問題，我們將椋鳥群行為[7]引入到布谷鳥算法中,提出了一種引入椋鳥群行為的布谷鳥算法(Cuckoo Search Inspired By Starling Flock Behavior，SCS)。椋鳥群行為仿照了自然界中，椋鳥遇到天敵后，種群個(gè)體之間相互傳遞信息，從而迅速規(guī)避天敵的行為。當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，根據(jù)椋鳥的集體行為更新巢，增加了變異幾率，提高了搜索精度與效率。本文針對此問題，提出了基于改進(jìn)布谷鳥算法的分?jǐn)?shù)低階盲均衡算法。

1 脈沖噪聲與分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

在無線通信中，尤其是在復(fù)雜電磁環(huán)境下，信號中的噪聲和干擾往往具有較強(qiáng)的脈沖性而且不服從高斯分布，而α穩(wěn)定分布模型則更適用于描述這些噪聲[8]。其特征函數(shù)為：

(1)

式(1)中，α是特征指數(shù)(0<α≤2)，當(dāng)α=2，β=0時(shí)，式(1)可化簡為φ(t)=exp(jat-γ|t|α)，此時(shí)α分布可以看作為高斯分布。此外，α越小，噪聲的脈沖性就越強(qiáng),γ是分散系數(shù)，又叫尺度參數(shù)，反映了α穩(wěn)定分布的離散程度，其值必須取正數(shù),β是對稱系數(shù)，反映了α分布的傾斜程度，當(dāng)β=0時(shí)，α穩(wěn)定分布是關(guān)于μ對稱的,μ是位置參數(shù)[9]。圖1是一個(gè)α=1.5時(shí)的對稱α穩(wěn)定分布序列。

圖1 α=1.5時(shí)的對稱α穩(wěn)定分布序列Fig.1 Symmetric alpha-stable distribution when α=1.5

當(dāng)α<2時(shí)，α穩(wěn)定分布不再存在二階以及高階統(tǒng)計(jì)量，這使得CMA算法在脈沖噪聲條件下性能嚴(yán)重退化。而在α穩(wěn)定分布噪聲條件下，分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量(Fractional Lower Order Statistics, FLOS)在信道均衡中可以起到抑制脈沖噪聲的效果[9]。Rupi等提出了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法利用輸入信號的分?jǐn)?shù)低階矩設(shè)計(jì)代價(jià)函數(shù)，但是穩(wěn)態(tài)誤差仍比較大[9]。

2 改進(jìn)的布谷鳥算法

2.1 布谷鳥算法

自然界中，有一些布谷鳥會將卵偷偷產(chǎn)在其他鳥的巢中，讓宿主鳥替自己哺育后代,經(jīng)過研究， Yang Xinshe教授和Deb教授提出了一種新型元啟發(fā)式算法——布谷鳥算法(Cuckoo Search，CS)[6]。

為了易于仿照布谷鳥繁衍后代的方式，Yang教授等對其作了以下幾點(diǎn)假設(shè)：

假設(shè)1 每一只布谷鳥一次只產(chǎn)一枚卵，并隨機(jī)放在宿主巢中。

假設(shè)2 最優(yōu)的巢(適應(yīng)度最優(yōu))將被保留到下一代。

假設(shè)3 每一代巢數(shù)量是固定的，且布谷鳥卵被宿主鳥發(fā)現(xiàn)的概率為P∈(0,1)。

(2)

L(λ)～u=t-λ,1<λ<3

(3)

設(shè)布谷鳥蛋被宿主鳥發(fā)現(xiàn)的概率為Pa。經(jīng)過Levy飛行后，得出一組新巢位置[X1,X2,…，XN]，此時(shí)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)p∈(0,1)，若p>P，則表示宿主鳥發(fā)現(xiàn)布谷鳥蛋，此時(shí)布谷鳥將另外尋找一個(gè)巢產(chǎn)卵，位置更新公式如下[6]：

(4)

2.2 椋鳥群行為

椋鳥群經(jīng)常像云團(tuán)一樣飛行，他們聚集起來主要是為了躲避天敵。當(dāng)有威脅出現(xiàn)時(shí)，椋鳥群會迅速改變方向。這種改變首先從鳥群中個(gè)別個(gè)體開始，迅速傳導(dǎo)至整個(gè)種群，使得整個(gè)種群的方向改變，從而躲避天敵。

在椋鳥群中，每一個(gè)個(gè)體的飛行方向不僅僅取決于自己，而且可以被周圍的其他鳥傳遞的信息影響，這就會最終造成整個(gè)鳥群的方向變換。在椋鳥群中，椋鳥個(gè)體一般會與其附近的7個(gè)個(gè)體進(jìn)行信息交流，這7個(gè)個(gè)體再分別與其附近的7個(gè)個(gè)體進(jìn)行交流，最終可以完成整個(gè)種群的信息共享。有分析表明，6個(gè)或7個(gè)個(gè)體組成一個(gè)群體交流網(wǎng)絡(luò)將有效平衡整個(gè)種群凝聚性及個(gè)體交流[7]。

2.3 引入椋鳥群行為的布谷鳥算法(SCS)

CS算法在搜索過程中很難收斂到全局最優(yōu)，而且后期缺乏有效變異手段，搜索效率比較低。將椋鳥群行為引入到布谷鳥算法中，將有利于加大種群多樣性，減少算法后期陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)。為了增加向有利方向調(diào)整的概率，我們設(shè)定了一個(gè)迭代停滯上限(Max_limit)。Max_limit的大小是由經(jīng)驗(yàn)決定的，過大則會導(dǎo)致算法靈敏度不高，不能有效判定是否陷入局部最優(yōu)；過小則會使算法頻繁被椋鳥群行為修正，影響計(jì)算效率。當(dāng)算法判定陷入局部最優(yōu)時(shí)，挑選一定適應(yīng)度較差的巢，將這些巢的位置進(jìn)行變換，然后重新計(jì)算這些巢的適應(yīng)度，若優(yōu)于變換前則加以替換。

其中，位置變換公式為[10]：

(5)

(6)

若得出更新后的適應(yīng)度值優(yōu)于原始巢，則加以替換，反之維持原巢。

以上述公式和假設(shè)為基礎(chǔ)，SCS算法步驟描述如下：

Step1：初始化目標(biāo)函數(shù)f(X)，其中X=(x1,x2，…，xd)，種群數(shù)n，布谷鳥蛋被發(fā)現(xiàn)的概率P，最大迭代次數(shù)N_iter，迭代停滯參數(shù)count=0，迭代停滯上限Max_limit，算法終止門限，巢位置上下限Ub，Lb，初始化n個(gè)鳥巢的位置(X1,X2,…，Xn)，并確保其在上下限范圍里。

Step2：計(jì)算每個(gè)鳥巢的適應(yīng)度值，并找出當(dāng)前最優(yōu)解以及所對應(yīng)的巢。

Step3：保留最優(yōu)巢，利用Levy飛行得到一組新巢。

Step4：將Step3中得到的新解與上一代的一一對比，保留適應(yīng)度最優(yōu)的，進(jìn)入下一步。

Step5：生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)p∈(0，1)，若p>P，則此巢中蛋被宿主發(fā)現(xiàn)，布谷鳥利用公式(4)尋找一個(gè)新巢；否則保持不變。將更新后的鳥巢與上一步得到的最優(yōu)解比較，選取較優(yōu)解。若前后兩者適應(yīng)度值沒有變化或者變化不大，則迭代停滯參數(shù)count+1(初始值為0)；若有較明顯變化，則count置零。

Step6：判斷count是否大于Max_limit，若大于則從種群中挑選出適應(yīng)度較差的num個(gè)個(gè)體，利用式(9)更新鳥巢的位置，然后與原種群比較，替換掉適應(yīng)度差的個(gè)體，count置零；若小于則進(jìn)入Step7。

Step7：當(dāng)超出算法終止門限或達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，回到Step3；否則跳出并輸出[11]。

3 基于改進(jìn)布谷鳥算法的分?jǐn)?shù)低階常模盲均衡算法

針對條件下的傳統(tǒng)盲均衡算法穩(wěn)態(tài)誤差過大的問題，文獻(xiàn)[10]提出了FLOSCMA算法， 該算法利用了信號的分?jǐn)?shù)低階恒模特性設(shè)計(jì)代價(jià)函數(shù)，在脈沖條件下該算法具有很好的適應(yīng)性但是收斂速度緩慢。為了提高α穩(wěn)定分布噪聲條件下盲均衡算法的性能，本文將SCS算法引入到FLOSCMA，將均衡器權(quán)向量建模為SCS算法的宿主巢，將FLOSCMA的代價(jià)函數(shù)加以改進(jìn)，作為SCS算法的適應(yīng)度函數(shù)，將均衡器輸入信號作為SCS算法的輸入。然后讓SCS算法在一定范圍內(nèi)尋找FLOSCMA代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解或其附近的解，并找到對應(yīng)的巢作為均衡器的初始權(quán)向量，然后再利用FLOSCMA算法精確搜索。SCS-FLOSCMA算法框圖如圖2所示。

圖2 SCS-FLOSCMA算法流程圖Fig.2 The flow chart of SCS-FLOSCMA

(7)

利用JFLOSCMA可以得到SCS算法的適應(yīng)度函數(shù)為：

(8)

這樣就可以利用SCS算法來求得JFLOSCMA的最小值，進(jìn)而求出所對應(yīng)的均衡器權(quán)向量。然后，將SCS算法得到的最優(yōu)巢位置作為初始權(quán)向量，再利用FLOSCMA算法精確求解。

根據(jù)隨機(jī)梯度下降法，得到FLOSCMA算法的均衡器權(quán)向量更新公式為[12]：

(9)

式(9)中，μ為步長，p(0

通過以上分析可以看出，SCS-FLOSCMA算法首先依靠SCS算法在一定搜索范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，得到一個(gè)靠近最優(yōu)解的次最佳解作為FLOSCMA的初始權(quán)向量，然后再依靠FLOSCMA進(jìn)行精確搜索，以提高算法的收斂速度，并有助于使剩余穩(wěn)態(tài)誤差更穩(wěn)定。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證SCS-FLOSCMA性能穩(wěn)定性，將CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA做對比，仿真平臺為Matlab R2014a。

仿真一：在高斯噪聲下，比較CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法的性能，采用水聲信道h=[0.313 2，-0.104 0,0.890 8,0.313 4]，發(fā)射信號為4 000點(diǎn)的4QAM信號，信噪比為SNR=20 dB，均衡器長度為7，CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001，低階統(tǒng)計(jì)量p=1.7，SCS-FLOSCMA算法中種群數(shù)量均為20，最大迭代次數(shù)300，判決門限為適應(yīng)度fit≤0.1，迭代停滯上限Max_limit=5，發(fā)現(xiàn)概率為Pa=0.25，特征指數(shù)α=1.5，蒙特卡洛400次仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3表明，當(dāng)環(huán)境噪聲為高斯噪聲時(shí)，CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法最后均可以達(dá)到理想的均衡效果。而SCS-FLOSCMA算法可以最快收斂，CMA算法收斂速度則最慢。

圖3 高斯噪聲環(huán)境下均方誤差曲線Fig.3 Curve of mean square error under gaussian noise

仿真二：在α穩(wěn)定分布噪聲中，比較CMA算法、FLOSCMA算法、SCS-FLOSCMA算法的性能。采用廣義信噪比GSNR來衡量信號與脈沖噪聲之間的強(qiáng)弱關(guān)系，如式(10)所示[13]：

GSNR=10lg(E(|y(k)|2)/γ)

(10)

仿真實(shí)驗(yàn)中取GSNR=25 dB，均衡器長度為7，CMA、FLOSCMA、SCS-FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001， SCS-FLOSCMA算法中種群數(shù)量為20，最大迭代次數(shù)300，判決門限為適應(yīng)度fit≤0.1，迭代停滯上限Max_limit=5，發(fā)現(xiàn)概率為Pa=0.25，脈沖噪聲的特征指數(shù)α=1.7，β=a=0，蒙特卡洛400次仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 三種算法星座圖Fig.4 Constellation of CMA、FLOSCMA and SCS-FLOSCMA

圖5 脈沖噪聲環(huán)境下均方誤差曲線Fig.5 Curve of mean square error impulse noise

從圖4、圖5可以看出，在脈沖噪聲環(huán)境下，CMA不能達(dá)到理想均衡效果，如圖4、圖5所示，其均方誤差曲線波動極大，而FLOSCMA、SCS-FLOSCMA則相對來說可以有效收斂。其中SCS-FLOSCMA星座圖中點(diǎn)最集中，收斂速度最快且均方誤差曲線最平穩(wěn)。所以SCS-FLOSCMA算法可以在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下很好的工作，在不同噪聲環(huán)境下適應(yīng)力都較強(qiáng)。

5 結(jié)論

本文提出了基于改進(jìn)布谷鳥算法的分?jǐn)?shù)低階盲均衡算法。該算法改進(jìn)CS算法，引入了椋鳥群行為，增大了CS的搜索效率，可以使得算法有效收斂至全局最優(yōu)；然后考慮FLOSCMA的特點(diǎn)，將其代價(jià)函數(shù)加以修正，作為SCS的適應(yīng)度函數(shù)，將巢作為FLOSCMA的初始權(quán)向量，并進(jìn)行精細(xì)搜索。仿真表明，該算法在不同噪聲環(huán)境下均能有效工作，特別在脈沖噪聲環(huán)境下，穩(wěn)態(tài)誤差以及收斂速率要明顯優(yōu)于CMA、FLOSCMA。