王海青，曹廣福

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基于整體理解的“勾股定理”教學(xué)再探——與吳增生老師商榷

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程要講清知識(shí)的來(lái)龍去脈，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)精神．據(jù)此確定勾股定理的教學(xué)重點(diǎn)為：定理的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法．教師需借助歷史梳理知識(shí)背后的精神實(shí)質(zhì)并依據(jù)教材把握教學(xué)內(nèi)容的地位與作用，從而建構(gòu)對(duì)勾股定理的整體認(rèn)知．結(jié)合學(xué)生實(shí)際設(shè)置合適的問(wèn)題情境與探究活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)”的高效數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”并體驗(yàn)相應(yīng)的思想方法．

數(shù)學(xué)教學(xué)；勾股定理；教學(xué)價(jià)值；整體教學(xué)觀

在數(shù)學(xué)的浩瀚海洋里，能受眾廣泛又自帶娛樂(lè)色彩的數(shù)學(xué)定理也許非“勾股定理”莫屬了．古往今來(lái)，從數(shù)學(xué)家到普通民眾甚至是位高權(quán)重的總統(tǒng)都樂(lè)于尋找勾股定理各種有趣的證明方法．有著者[1]從近四百種不同的證法中精選出365種編寫成冊(cè)供讀者賞析，其中不乏簡(jiǎn)明直觀的初等證明．關(guān)于勾股定理的研究文獻(xiàn)[2-5]有很多，大家從情境創(chuàng)設(shè)，探究活動(dòng)的組織，內(nèi)容剖析或文化差異等不同視角提出建議與見解．那么，從教學(xué)的角度審視，如何看待勾股定理在教材中的地位和作用？它的教學(xué)價(jià)值與重點(diǎn)是什么？

1 爭(zhēng)鳴的背景

2017年2月，吳增生老師等人在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》的第26卷第1期發(fā)表了題為“勾股定理教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究——讓學(xué)生真正經(jīng)歷勾股定理的‘再發(fā)現(xiàn)’過(guò)程”[6]的文章．作者力求讓學(xué)生自然經(jīng)歷知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程來(lái)展開教學(xué)探究活動(dòng)．文[6]歸納了日本、新加坡及國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教材的幾個(gè)不同版本關(guān)于“勾股定理”教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式：直接給出命題并加以證明；讓學(xué)生直接測(cè)量直角三角形的三邊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論再利用面積法加以證明；在網(wǎng)格中計(jì)算直角三角形三邊所對(duì)應(yīng)的正方形的面積，發(fā)現(xiàn)3個(gè)面積之間的關(guān)系引出命題；直接讓學(xué)生用4個(gè)全等的直角三角形拼出正方形，根據(jù)面積關(guān)系來(lái)發(fā)現(xiàn)定理．第一種方式是公理化體系的典型表現(xiàn)，而后面3種方式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程又顯得造作生硬，難于讓學(xué)生自然經(jīng)歷定理的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程．因此，文[6]結(jié)合數(shù)學(xué)史和學(xué)生的認(rèn)知設(shè)計(jì)了以下探究活動(dòng)：（1）用大小相同的正方形紙片剪拼成一個(gè)大正方形；（2）用大小不同的正方形紙片剪拼成一個(gè)大正方形．學(xué)生在類比任務(wù)（1）的基礎(chǔ)上完成任務(wù)（2），在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)勾股定理．實(shí)驗(yàn)表明這樣的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程獲得較好的教學(xué)效果．

教材的各種呈現(xiàn)方式以及文[6]的教學(xué)改進(jìn)反映了勾股定理教學(xué)的3個(gè)層面[2]：（1）知道勾股定理；（2）證明勾股定理；（3）發(fā)現(xiàn)勾股定理．知道或證明勾股定理是較為容易的，屬于淺層次的教學(xué)，也是目前教案設(shè)計(jì)中常見的情形．要讓學(xué)生在不知道勾股定理的情況下發(fā)現(xiàn)它卻是很困難的工作．文[6]正是基于第（3）層面的考慮，將教學(xué)重心放在對(duì)定理的“再發(fā)現(xiàn)”這個(gè)深層次的教學(xué)目標(biāo)上，凸顯了教學(xué)設(shè)計(jì)的高度．

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾認(rèn)為：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變了．”[7]所以數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程，他強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)依據(jù)歷史及學(xué)生的實(shí)際對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，更要體驗(yàn)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法．那么，文[6]創(chuàng)設(shè)的探究活動(dòng)（1）和（2）是否符合勾股定理的歷史發(fā)展過(guò)程？文[6]的探究目的是引導(dǎo)學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理，體驗(yàn)自我發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)與成就感，除此之外，還應(yīng)讓學(xué)生掌握哪些更為重要的數(shù)學(xué)本質(zhì)呢？

2 基于整體理解的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思考

教學(xué)設(shè)計(jì)總是要圍繞著3個(gè)基本問(wèn)題[8]（教什么，怎么教以及教的效果）展開探討，也即對(duì)應(yīng)于教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式和教學(xué)效果3個(gè)方面．回答“教什么”要遠(yuǎn)比“怎么教”重要，因?yàn)榻虒W(xué)內(nèi)容決定著教學(xué)的形式．李大潛院士說(shuō)：“數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是一種素質(zhì)教育，學(xué)數(shù)學(xué)不是學(xué)定理，背公式，而是提高素養(yǎng)．”[9]因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該講清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，豐富的內(nèi)涵和廣泛的應(yīng)用性，及其背后的精神實(shí)質(zhì)和思想方法．高水平的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是教師通過(guò)具體知識(shí)的教學(xué)揭示其中的隱性知識(shí)——數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過(guò)程、思想和結(jié)構(gòu)[10]．

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)大都是為了解決生活問(wèn)題、自然科學(xué)問(wèn)題或是數(shù)學(xué)自身的邏輯問(wèn)題而形成的，都有真實(shí)的背景，它們具有一定的生活意義、數(shù)學(xué)價(jià)值或科學(xué)價(jià)值[11-12]．所以，教師要掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)才能更好地把握承載在具體知識(shí)之上的數(shù)學(xué)本質(zhì)．另外，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要原則是“揭示內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”[13]．這也亟待教師具備整體的思考理念和教學(xué)觀，將具體的課時(shí)知識(shí)置于單元、學(xué)段乃至數(shù)學(xué)學(xué)科的整體框架中進(jìn)行分析．而數(shù)學(xué)史記載著數(shù)學(xué)知識(shí)和思想的形成過(guò)程，教師可以借助歷史追溯知識(shí)的本源與發(fā)展過(guò)程，解決問(wèn)題過(guò)程中所使用的方法策略．?dāng)?shù)學(xué)史也能幫助教師預(yù)測(cè)學(xué)生的認(rèn)知困難，因?yàn)閭€(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展順序，即通常所說(shuō)的“歷史相似性”[7，14]．

可見，教師需依據(jù)歷史揭示知識(shí)背后的思想方法，借助教材的整體結(jié)構(gòu)把握教學(xué)內(nèi)容的地位與作用．由此結(jié)合學(xué)生的實(shí)際進(jìn)行“再創(chuàng)造”，設(shè)置合適的問(wèn)題情境與探究活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)”[5，11，15]的高效數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”并體驗(yàn)相應(yīng)的思想方法．

3 中西方數(shù)學(xué)發(fā)展史中的“勾股定理”

3.1 勾股定理與古希臘數(shù)學(xué)

勾股定理起源于實(shí)際測(cè)量和計(jì)算是沒有疑問(wèn)的．在西方，勾股定理被稱為畢達(dá)哥拉斯定理．直角三角形中的三邊關(guān)系，早在古巴比倫時(shí)期人們就已經(jīng)知道并用于計(jì)算，他們還知道許多勾股數(shù)組．但那時(shí)還沒有嚴(yán)格證明的思想，他們是在解決實(shí)際問(wèn)題中從直觀認(rèn)識(shí)得出結(jié)果并用于一般情況．到了古希臘，勾股定理雖然以畢達(dá)哥拉斯命名，但許多研究表明這個(gè)學(xué)派可能并未給予證明，最合理的解釋是：他們根據(jù)一些特例來(lái)肯定所得的結(jié)果[16]．

有史學(xué)家把勾股定理的第一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)證明歸功于古希臘的數(shù)學(xué)家歐幾里得（公元前325年—前265年）．歐幾里得的《原本》是一本知識(shí)豐富且最早以公理化體系組織內(nèi)容的數(shù)學(xué)書籍．他關(guān)于勾股定理的證明過(guò)程突出體現(xiàn)了《原本》在處理幾何與代數(shù)問(wèn)題時(shí)所采用的主要思想——數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與等積變換．在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不管是在幾何還是在代數(shù)方面，這些思想的適用性都不勝枚舉．

圖1

圖2

圖3

圖4

3.2 勾股定理與古代中國(guó)數(shù)學(xué)

在古代中國(guó)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)要遠(yuǎn)早于西方．《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》是數(shù)學(xué)經(jīng)典巨著，凝聚了前人的智慧結(jié)晶，也高度反映了當(dāng)時(shí)的中國(guó)數(shù)學(xué)家重視計(jì)算與應(yīng)用的典型特征．

中國(guó)最古老的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》成書于公元前1世紀(jì)西漢商高時(shí)代，東漢三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的趙爽（約公元182年—250年）曾為其作注．《周髀算經(jīng)注》中記載了趙爽為證明勾股定理所作“勾股圓方圖”即“趙爽弦圖”（如圖5）．這是極具東方特色的勾股定理無(wú)字證明法，證明的思路直觀體現(xiàn)在由4個(gè)直角三角形所構(gòu)造的正方形圖形中．而《九章算術(shù)》成書于東漢初期，現(xiàn)今流傳的大多是東漢末年三國(guó)時(shí)期魏晉數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—295年）的《九章算術(shù)注》．劉徽根據(jù)“出入相補(bǔ)原理”即割補(bǔ)術(shù)給出了青朱出入圖（如圖6）證明了勾股定理．與《原本》類似，劉徽在注中也根據(jù)面積概念幾何地論證了平方差公式．

圖5

圖6

出入相補(bǔ)原理或稱割補(bǔ)術(shù)就是一種面積變換法．所以，不管是在古希臘還是在古代中國(guó)，面積法的使用都非常廣泛．在《九章算術(shù)》第一章“方田”[17]中就專門介紹了出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用，平面幾何圖形的面積公式都利用割補(bǔ)“以盈補(bǔ)虛”轉(zhuǎn)化為已知圖形面積來(lái)推導(dǎo)．比如，三角形面積的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為等積的矩形來(lái)計(jì)算．如圖7，過(guò)三角形兩邊的中點(diǎn)作高構(gòu)造出矩形，易得三角形的面積為“半廣乘正從”，“廣”指三角形的底，“正從”指三角形的高．

圖7

多邊形可以分割成三角形，三角形則可轉(zhuǎn)化為等積的矩形，而利用直角三角形的射影定理可以作一正方形為等積的矩形（方出于矩）．因此，正方形是一個(gè)特殊的存在，三角形、矩形、平行四邊形與梯形等平面圖形的面積公式都由此衍生．這也就不難理解古人為何如此熱衷于此類尺規(guī)作圖問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體體積的兩倍（倍立方問(wèn)題）；作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積（化圓為方問(wèn)題）；做一個(gè)正方形為兩個(gè)已知正方形的面積等．前兩個(gè)是歷史上有名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題的解答則對(duì)應(yīng)于劉徽的“青朱出入圖”，詳解如圖8．如果問(wèn)題三中的兩個(gè)正方形變?yōu)閮蓚€(gè)全等矩形，也可以類比“青朱出入圖”構(gòu)造出正方形，如圖9，這就是前面提到的“趙爽弦圖”．

圖8

圖9

由此可見，文[6]設(shè)置的探究活動(dòng)是符合歷史的發(fā)展情形的．依據(jù)歷史，或許可以得出這樣的結(jié)論：古人在丈量土地和實(shí)際的測(cè)量中歸納出勾股定理這個(gè)結(jié)論，而在利用等積變換的思想處理作圖等數(shù)學(xué)問(wèn)題中自然地發(fā)現(xiàn)了圖中隱含了勾股定理的證明過(guò)程．也正是因?yàn)楣垂啥ɡ淼慕Y(jié)論與證明不同步，造成了教學(xué)處理上的困難．

4 對(duì)勾股定理教學(xué)內(nèi)容的整體理解

數(shù)學(xué)史所展現(xiàn)的知識(shí)脈絡(luò)有助于教師對(duì)勾股定理的整體認(rèn)識(shí)，理解知識(shí)及背后所涉及的思想與方法，幫助教師分析其在教材中的地位并確定教學(xué)重點(diǎn)．

4.1 勾股定理在教材中的地位與作用

從教材的橫向結(jié)構(gòu)即初中學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容看，勾股定理能解決許多關(guān)于三角形的長(zhǎng)度和角度的計(jì)算與證明問(wèn)題，且其證明思想與許多看似無(wú)關(guān)的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密．事實(shí)上，面積法是處理平面幾何問(wèn)題不可或缺的重要方法．比如，三角形中位線定理就可看作是利用割補(bǔ)法推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)的一個(gè)衍生結(jié)論，圖7就隱含了它的證明過(guò)程．自然可以通過(guò)問(wèn)題“如何將一個(gè)三角形變?yōu)榈确e的矩形”來(lái)展開三角形中位線定理的探究教學(xué)．在代數(shù)方面，比如前面提到的完全平方公式和平方差公式的幾何解釋，就是直接利用了勾股定理的證明思路，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系，將代數(shù)的形式表述轉(zhuǎn)化為幾何的直觀描述．

圖10

4.2 勾股定理的教學(xué)價(jià)值與重點(diǎn)

不言而喻，勾股定理在整個(gè)中學(xué)階段具有舉足輕重的地位，其證明所涉及的轉(zhuǎn)化、等積變換與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)．教材是知識(shí)的載體，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想性，揭示知識(shí)背后的研究精神與價(jià)值．因此，勾股定理的教學(xué)價(jià)值在于：一是它能解決實(shí)際問(wèn)題具有生活意義；二是定理證明所蘊(yùn)含的豐富而重要的數(shù)學(xué)思想方法；三是定理證明所反映的東西方數(shù)學(xué)文化的差異性；四是定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)仗工整與簡(jiǎn)潔之美．這些恰恰是學(xué)生為什么要學(xué)，教師為什么要教的原因，也是勾股定理的教學(xué)重點(diǎn)所在．

5 從歷史到課堂：勾股定理的教學(xué)思路分析

教學(xué)過(guò)程要揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)精神．對(duì)照前面提到的勾股定理教學(xué)的3個(gè)層面，教師更應(yīng)該著眼于教學(xué)的第四個(gè)層面：勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法．勾股定理的結(jié)論屬于知識(shí)層面，而發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程中所使用的思維方式與研究方法等屬于思想層面．因此，文[6]的教學(xué)設(shè)計(jì)還有優(yōu)化的空間，在引導(dǎo)學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)勾股定理的基礎(chǔ)上需進(jìn)一步揭示知識(shí)的思想性．基于對(duì)勾股定理的整體認(rèn)識(shí)，可按以下教學(xué)思路帶領(lǐng)學(xué)生展開探究．

（1）設(shè)置具有生活意義的現(xiàn)實(shí)情境引入課題．

人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中要處理許多的測(cè)量問(wèn)題，比如長(zhǎng)度、面積或體積等．由于受到實(shí)際情形的限制，有些數(shù)值需借助其它容易測(cè)量的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．看下面一個(gè)問(wèn)題．

維修工人要對(duì)一面有圓形拱門的墻體進(jìn)行修繕，如圖11．工人們要測(cè)量圓形拱門的最高點(diǎn)與地面的距離，但身邊只有一把短尺和一架已知長(zhǎng)度為5米的梯子．他們將梯子的末端架在拱門的頂部位置，測(cè)出此時(shí)梯子接觸地面的一端到拱門底部的距離為3米，從而計(jì)算出拱門的高．你知道圓形拱門的高是多少嗎？為什么？

圖11

圖12

顯然之前的知識(shí)不夠用了．這節(jié)課大家的主要任務(wù)就是一起“解碼”直角三角形的三邊關(guān)系并解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題．

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生體會(huì)到即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)的重要性，它具有現(xiàn)實(shí)意義和生活價(jià)值，激發(fā)求知欲．同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與問(wèn)題，重視“橫向數(shù)學(xué)化”[7]的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想．）

（2）新課探究，提煉結(jié)論和數(shù)學(xué)思想．

在測(cè)量技術(shù)與工具都比較落后的古巴比倫和古中國(guó)時(shí)代，因?yàn)榻?jīng)常洪水泛濫沖毀田地，人們需要不斷丈量土地的距離與面積．慢慢地人們歸納出許多計(jì)算長(zhǎng)度和面積的實(shí)用方法和公式．在面積計(jì)算上，正方形是最簡(jiǎn)單也是最重要的平面圖形．因此，古代的數(shù)學(xué)家對(duì)有關(guān)正方形的作圖問(wèn)題非常感興趣．

問(wèn)題1：如何作一個(gè)大正方形為兩個(gè)大小相同的正方形面積之和？

圖13

分析歸納圖13的構(gòu)造要點(diǎn)：沿對(duì)角線剪取三角形是為了拼補(bǔ)后的圖形鄰邊相等且相互垂直（小學(xué)已有正方形的定義）．再改變問(wèn)題1的條件將其一般化．

問(wèn)題2：如何作一個(gè)大正方形為兩個(gè)大小不同的正方形面積之和？

引領(lǐng)學(xué)生歸納探究過(guò)程：?jiǎn)栴}1和問(wèn)題2的解決都運(yùn)用了割補(bǔ)即等積變換的思想；從問(wèn)題1到問(wèn)題2的過(guò)程涉及特殊到一般、類比的思想；在概括定理的文字表述和代數(shù)形式描述時(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；正方形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了一維的長(zhǎng)度問(wèn)題與二維的面積問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化．證明過(guò)程還提供了一個(gè)解決代數(shù)問(wèn)題的思路：許多代數(shù)表達(dá)式中兩數(shù)乘積，3數(shù)乘積可轉(zhuǎn)化為面積、體積來(lái)處理．

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題的探究讓學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)勾股定理，經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程與樂(lè)趣．更為重要的是，在探究過(guò)程中和探究之后教師重視引導(dǎo)學(xué)生歸納所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，揭示知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)．）

（3）定理的應(yīng)用與鞏固．

利用勾股定理立刻可以解決前面圓形拱門高的實(shí)際問(wèn)題．然后結(jié)合學(xué)生實(shí)際和教材內(nèi)容設(shè)置有梯度的習(xí)題加以練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用．

（限于篇幅，習(xí)題從略．）

（4）不同證明的欣賞與比較，突出思想的統(tǒng)一性和東西方文化的差異性．

根據(jù)教學(xué)時(shí)間向?qū)W生介紹“趙爽弦圖”（圖9）和歐幾里得證法（圖1），它們也都充分運(yùn)用了等積變換、轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，卻又各具特色．歐幾里得證法推理嚴(yán)謹(jǐn)，重在演繹．趙爽和劉徽的證法通俗易懂，重在應(yīng)用．兩者的證明也反映了古代中國(guó)和古希臘兩種不同風(fēng)格的數(shù)學(xué)文化．古希臘人追求用公理進(jìn)行邏輯推演，注重理性思維的培養(yǎng)，而中國(guó)古代數(shù)學(xué)則崇尚實(shí)用和算法．

（5）課堂小結(jié)．

引導(dǎo)學(xué)生從以下3個(gè)方面對(duì)該節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行梳理和歸納：

首先，利用勾股定理可以解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

其次，在勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中，運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？

最后，勾股定理及其證明的美學(xué)價(jià)值在哪里？

[1] 李邁新．挑戰(zhàn)思維極限——勾股定理的365種證明[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2016：1-247．

[2] 張廣祥．從勾股定理看數(shù)學(xué)探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003（2）：1-3．

[3] 楊小麗．勾股定理的PCK內(nèi)涵解析[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（3）：40-43．

[4] 王芳，張維．多元文化下的勾股定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（4）：34-36．

[5] 張蜀青，曹廣福．以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的原理課教學(xué)——以勾股定理教學(xué)為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（8）：34-35．

[6] 吳增生，鄭燕虹，李宏彥，等．勾股定理教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究——讓學(xué)生真正經(jīng)歷勾股定理的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（1）：50-54．

[7] 弗萊登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．上海：上海教育出版社，1992：94-95．

[8] 馬蘭．整體化有序設(shè)計(jì)單元教學(xué)探討[J]．課程·教材·教法，2012，32（2）：23-31．

[9] 李大潛．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是提高素質(zhì)[N]．中國(guó)青年報(bào)，2012-07-16（9）．

[10] 李祎．高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（6）：31-35．

[11] 曹廣福，張蜀青．論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評(píng)價(jià)的核心要素——以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（4）：17-20．

[12] 曹廣福．論數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)[DB/OL]．（2016-05-26）[2018-04-01]．http://blog.sciencenet.cn/blog-40247- 979814.html．

[13] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：176．

[14] 汪曉勤，方匡雕，王朝和．從一次測(cè)試看關(guān)于學(xué)生認(rèn)知的歷史發(fā)生原理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：30-33．

[15] 張蔭南．新概念數(shù)學(xué)——用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的數(shù)學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004（4）：1-2．

[17] 徐品方．白話九章算術(shù)[M]．成都：成都時(shí)代出版社，2002：37．

Reconsideration of Pythagorean Theorem Teaching Based on Holistic Understanding——Discussion with WU Zeng-sheng

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China; 2. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Mathematical development, mathematical nature and spirit should be revealed in mathematics teaching. Therefore, discovery of Pythagorean theorem of and thought of mathematical in proof procedure which were teaching important points. To construct the overall recognition of the Pythagorean theorem, teachers needed to know the essence of mathematics knowledge with the help of history and grasp the status and role of teaching content based on teaching material. Hence, teacher could create appropriate problem situation and exploration activity combined with students’ reality, to achieve effective mathematics classroom based on “issue-driven teaching”. Which made students to experience the real “rediscovery” of knowledge and the corresponding thinking.

mathematics teaching; Pythagorean theorem; teaching value; view of holistic approach

2018–05–20

廣東省教育科學(xué)研究課題——基于課程群理念的數(shù)學(xué)學(xué)科教育課程重構(gòu)與教學(xué)方式研究（2014GXJK144）；廣東省本科高校高等教育教學(xué)改革課題——卓越人才培養(yǎng)模式下職前數(shù)學(xué)教師整體教學(xué)觀的形成研究（2016）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，博士生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究．

G632

A

1004–9894（2018）05–0037–05

王海青，曹廣福．基于整體理解的“勾股定理”教學(xué)再探——與吳增生老師商榷[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（5）：37-41．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]