潘 葳，王 瑗

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院 物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，上海 200240)

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)學(xué)的重要物理量. 常用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)試方法有扭擺法[1]、三線擺法[2]和落體法[3]. 相比而言，落體法儀器設(shè)備簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，原理容易理解，適合本科一年級(jí)學(xué)生的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué). 恒力矩法是落體法中的常用測(cè)試方法，它利用力矩、角加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的聯(lián)系，通過僅考慮摩擦力矩的減速運(yùn)動(dòng)過程以及在阻力矩和砝碼產(chǎn)生的恒拉力矩共同作用下的加速過程計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[4]. 雖然在參考了大量文獻(xiàn)后，從各種角度出發(fā)來減小恒力矩法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差[5-11]，但在實(shí)際教學(xué)工作中發(fā)現(xiàn)，效果仍不夠理想，測(cè)量結(jié)果存在較大的誤差. 為了進(jìn)一步完善這種測(cè)量方法，減小學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差及不穩(wěn)定性，還需要在減小滑輪摩擦力上進(jìn)行一些改進(jìn)工作. 因此我們?cè)诮虒W(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上進(jìn)行了的改進(jìn)，使大部分學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論值之間的誤差都能控制在5%以內(nèi)，收到了良好的實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果.

1 恒力矩法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)原理

剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所受的合外力矩M和角加速度β及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J滿足M=Jβ，測(cè)得M及β，就可以得到J[5-11].

如圖1所示，恒力矩法測(cè)量J時(shí)，將質(zhì)量為m的砝碼通過輕質(zhì)細(xì)繩拴在半徑為R的塔輪槽上提供拉力矩，帶動(dòng)轉(zhuǎn)盤以角加速度β1進(jìn)行加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在不考慮滑輪和繩子質(zhì)量、繩子形變的情況下，繩子拉力可表示為T=m(g-Rβ1). 此時(shí)轉(zhuǎn)盤還受到阻力矩Mμ，因此，根據(jù)M=Jβ，有

m(g-Rβ1)R-Mμ=Jβ1,

(1)

去除繩子后拉力T消失，轉(zhuǎn)盤在阻力矩Mμ作用下做角加速度為β0的減速運(yùn)動(dòng)，即

-Mμ=Jβ0,

(2)

聯(lián)立(1)～(2)式，可得

(3)

圖1 恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)裝置圖

很明顯，對(duì)于任意情況下的轉(zhuǎn)盤來說，只要測(cè)得落體質(zhì)量m，塔輪半徑R，角加速度β1和β0(利用角位置-時(shí)間關(guān)系)，就可以得到其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加原理，分別測(cè)量空轉(zhuǎn)盤和載有待測(cè)物體時(shí)轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0和J1，就可以用J=J1-J0計(jì)算出待測(cè)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J.

2 恒力矩法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中存在的問題

恒力矩法是比較成熟的測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)方法，但從大量的學(xué)生實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，該實(shí)驗(yàn)還是存在比較明顯的測(cè)量誤差. 這些誤差問題在很多文獻(xiàn)上都討論過[5-11]，并提出過各種減小實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差的方法，如：

1) 選擇小質(zhì)量的砝碼、控制細(xì)繩直徑和繞線方式來實(shí)現(xiàn)恒力矩；

2) 選擇定滑輪的位置、調(diào)整塔輪和小滑輪間拉線水平度及距離來實(shí)現(xiàn)恒力矩；

3) 改進(jìn)測(cè)量方法，降低阻力矩隨角速度變化對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響；

4) 通過數(shù)據(jù)處理尋找特征時(shí)間以優(yōu)化測(cè)試手段.

在實(shí)驗(yàn)中我們已經(jīng)注意了這些問題，但誤差偏大問題還未能很好地解決. 通過深入地分析發(fā)現(xiàn)，除了文獻(xiàn)[5]提及了公式推導(dǎo)中的系統(tǒng)誤差外，大多數(shù)文獻(xiàn)的討論都忽略了最根本的問題，即式(3)的成立是有條件的，需要式(1)和式(2)中的阻力矩Mμ相同. 式(1)中的阻力矩不僅來源于空氣和轉(zhuǎn)軸，還來源于滑輪，而式(2)中的阻力矩主要來源于空氣和轉(zhuǎn)軸. 這是以前沒有明確分析過的問題，也是真正能減小學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差的關(guān)鍵問題. 只有消除來自滑輪的阻力矩，同時(shí)保證式(1)和式(2)中空氣和轉(zhuǎn)軸阻力矩基本相同(即二次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度基本相同)，才能使用式(3)獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果.

具體來說，采用輕質(zhì)滑輪來減小滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，利用滾動(dòng)摩擦來減小滑輪的摩擦力. 在本實(shí)驗(yàn)中，采用了世紀(jì)中科的ZKY-ZS轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀(如圖1所示)測(cè)量圓盤和圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在圖2的滑輪裝置圖中可以看出，儀器的滑輪固緊螺絲和細(xì)繩走線方式對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果影響很大. 很明顯，假如固緊螺絲過緊，滑輪在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就

會(huì)受到較大的摩擦力，此外，如果細(xì)繩走線時(shí)未對(duì)準(zhǔn)滑輪軌道的中心，砝碼向下運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)對(duì)滑輪產(chǎn)生橫向的力，增大摩擦. 為此，實(shí)驗(yàn)時(shí)需要學(xué)生調(diào)節(jié)滑輪固緊螺絲和細(xì)繩走線方式來最小化滑輪摩擦力. 否則，學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)依賴于所用儀器滑輪和細(xì)繩走線狀態(tài)，測(cè)量結(jié)果誤差較大并難以重復(fù)，同時(shí)學(xué)生很難理解究竟是哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，整體教學(xué)效果較差.

(a) 細(xì)繩走線對(duì)準(zhǔn)滑輪中心 (b) 細(xì)繩走線偏離滑輪中心圖2 滑輪裝置圖

3 教學(xué)方案的改進(jìn)

為了解決上述問題，針對(duì)該實(shí)驗(yàn)，改進(jìn)了教學(xué)模式. 在原理介紹中詳細(xì)說明理論公式成立的前提條件，讓學(xué)生自己思考并分別說明式(1)和式(2)中阻力矩來源，加深學(xué)生對(duì)滑輪固緊螺絲調(diào)節(jié)、細(xì)繩走線方式及2次轉(zhuǎn)動(dòng)過程中角速度基本相同這3個(gè)要素重要性的理解. 在此基礎(chǔ)上，自然地將滑輪的調(diào)整引入實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，要求學(xué)生自行調(diào)節(jié)滑輪固緊螺絲位置，并將細(xì)繩穿過滑輪的中心，使滑輪的摩擦阻力最小. 然后將一次落體法引入教學(xué)過程，同時(shí)測(cè)量細(xì)繩帶落體的加速過程和拉繩自動(dòng)脫離后減速過程的角位置-時(shí)間關(guān)系，分別計(jì)算出加速過程的β1和拉繩自動(dòng)脫離后減速過程的β0. 最后，要求學(xué)生把不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下測(cè)到的時(shí)間t-角位置θ數(shù)據(jù)畫在同一張圖上(如圖3所示)，定性地比較轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小和角加速度的關(guān)系，同時(shí)有助于判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性.

(a) 對(duì)應(yīng)有落體的加速過程

(b) 對(duì)應(yīng)細(xì)繩脫離后的減速過程圖3 空載物臺(tái)、圓盤和圓環(huán)的時(shí)間-角位置關(guān)系圖

4 改進(jìn)前后學(xué)生的實(shí)驗(yàn)誤差對(duì)比

從圖4～5給出的改進(jìn)前后學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差的統(tǒng)計(jì)可以看出，學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差明顯降低，說明這種解決問題的思想和方法是正確的. 實(shí)驗(yàn)改進(jìn)后，學(xué)生不僅從機(jī)理上理解了滑輪固緊調(diào)節(jié)、細(xì)繩走線方式及角速度控制的重要性，而且思路清晰，實(shí)驗(yàn)中不再需要教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)提醒后去調(diào)節(jié)儀器，既做好了實(shí)驗(yàn)，又減小了誤差，收到良好的實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果.

(a)圓盤

(b)圓環(huán)圖4 實(shí)驗(yàn)教學(xué)改進(jìn)前學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差統(tǒng)計(jì)圖(其中大于100%的誤差全部被歸到100%)

(a)圓盤

(b)圓環(huán)圖5 實(shí)驗(yàn)教學(xué)改進(jìn)后學(xué)生實(shí)驗(yàn)誤差統(tǒng)計(jì)圖

5 結(jié)束語

從最初的原理出發(fā)，理論聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析實(shí)驗(yàn)中造成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量誤差增大的各種原因，使學(xué)生從機(jī)理上理解了滑輪固緊調(diào)節(jié)、細(xì)繩走線方式及角速度控制等實(shí)驗(yàn)操作的重要性，并使大部分學(xué)生的誤差控制在5%之內(nèi)，明顯降低了學(xué)生實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)較大誤差的概率.